二次函数专题-等角问题

除了特殊几何图形存在性问题外，相等角存在性也是今年二次函数压轴题中常见的题型，根据题目给的不同的条件，选择恰当的方式去构造相等角，是此类问题的关键．回顾一下在几何图形中有哪些方法能得到相等角，大概如下：（1）平行：两直线平行，同位角、内错角相等；（2）角平分线：角平分线分的两个角相等；（3）等腰三角形：等边对等角；（4）全等（相似）三角形：对应角相等；（5）三角函数：若两个角的三角函数值相等，则两角相等；（6）圆周角定理：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．也许还有，但大部分应该都在此了，同样，在抛物线背景下亦可用如下思路构造相等角．等腰三角形1=/2 全等三角形1=/2平行:Z等腰三角形1=/2 全等三角形1=/2平行:Z1=Z3,Z2=Z3 角平分线Z1=Z2三角函数：t若1=tan2,则4=Z2圆周角定理1比2【2017来宾中考删减】如图，已知抛物（过够BG20）,CQ-4）.（1）求抛物线的解析式；Q）点和阑关于抛物线的对称轴对在抛物线上P曲zC4C求电11的横坐标.【分析】1(1)抛物线:y=x—x—42(2)由题意得£坐标为2,-4),考虑到除C、C三点坐标均已知，故ZCAC的三角函数值.11思路1：构造直角三角形过点C作CH±AC交AC于H点，不难求得点坐标为163),11故HC=、、2,HA=3<2111AtanZCAC―则tanZPA^—13 3，- 1 1 ，- 1 1 — 1转化"4A5二3”为工I=3”，即kpA二土311①当k=一时，设PA解析式yy=-x+bPA3 314将A(4,0)代入，得:y=_x-331 14 4联立方程：X—x—4=_x--，解得：x=4，x=_—2 33 1 2 3/416A故P坐标为-不,--;1k39)11②言「J时，•解析式-3x+11②言「J时，•解析式-3x+b将A(4,0)代入,得:y=-1x+4331 14联立方程：x2-x-4=--x+,解得：x=42 33 i8x=一—23故P坐标为-8,?2k39J综上所述P点坐标为4或-8思路2：发现特殊角．如图构造等腰直角三角啊。易解M点坐标为4-4),故AAMC是等腰直角三角形.MA64S,11考虑tanZMAC=,可知1211/。4。=_12 13下同思路求解尸点坐标.【2018娄底中考】如图，抛物线2+bx^c与两坐标轴相交（-点0）、BR,0）、CQ3）,D是抛物线的顶点是线段屈勺中点.⑴求抛物线的解析式，。点的出标;（2）F（x,y）是抛物线上的动点：①当①当>1y>00寸，求BDF勺面积的最大值;②当/1EFZDB的，求点的坐标.【分析】（1）抛物线：y=—元2+2元+3,D点坐标为（1,4）；（2）①铅垂法可解，当F坐标为（2,3）时，△BDF面积最大，最大值为1；②思路1：构造平行线.考虑到A、E、B三点均在龙轴上，故可构造EF〃BD即可得角相等.AOeAOeBx过点E作EFBD交抛物线劣点，考虑至BD解析式:y=-2x+6故可求EF的解析式为：y=-2x+2联立方程:-x2+2x+3=-2x+2解得：x=2-次,x=2+%：5（舍）1 2故F点坐标Q-."+2<5）将EF作关口轴的对称，如图，交点亦为满足条件的且翻折后的直线解析式片2x-2联立方程厘+2x+3=2x-2解得:x〜5,x=.、5（舍）1 2故F点坐标后厂与5-2）综上，F点坐标Q—、、5/+2各）或5—2：5—2）思路2：三角函数值.设F点坐标C,-m2+2m+3)过方点俯加轴毋轴包点，败点坐标伉0)FH=-m2+2m+3，EH=\m-1,takm”二上m+3二m2-2m-3EH m-1 m-1解得:x=2—丫5,x=2+、/5（舍）x=-5,x=、：5（舍）1 2 3 4故F点坐标Q15-2+2\：5）或Q；5,-2：5-2）【2019海南中考】如图，已知抛物线x+bx+5经过！(-5,0),B(-4-3)两点，与轴的另一个交点为G顶点为，连统独(1)求该抛物线的表达式；⑵点P为该抛物线上一动点(与点不重合)设点的横坐标为该抛物线上是否存在点，使得左£ZBCZ?若存在，求出所有的坐标；若不存在，请说明理由．(1)抛物线:y=x2+6x+5(2)①当/在直邠。上方时，如图，过，珈作。。的平行线，与抛物线交点即点为不难求得直线己解析式为:y=2V+5联立方程工+6x+5=2x+5，解得:x=^4，x=012故P点坐标为0，5).②当点P在直缚C下方时，思路1:利用三角函数值.1连接8〃可结。±6。可tOnnB3CD=-,31若zPBGZBCD则需满j&n/PBC=3,1但鉴于6。并非水平或竖直直线ta由PBC=3这个条件并不好用.考虑至B、。点坐标的特殊性，可以发现，B作点Mlx轴，易得1MC是等腰直角三角形，即MeNMCB可转化问题"RBG=ZBCD为“更BG/CBM=ZBCI+ZBCM,即zPB雁NDCM由题意得:tanZDCM=2，故tanZPBM=2转化为直缚产的条件即k“上BP21可得直缚P解析式为：V=：x-1,解得:X解得:X1=Y联立方程g+6x+5=-x-12,C37