2024届辽宁省大连市滨城高中联盟高三上学期期中（Ⅱ）考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE2辽宁省大连市滨城高中联盟2024届高三上学期期中（Ⅱ）考试数学试题第I卷一､单项选择题1.已知是实数集，，，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由，即，即，解得或，所以或，因，所以，故.故选：A.2.在复平面内，复数的对应点为，则（）A.2 B.-2 C. D.〖答案〗C〖解析〗由题意.故选：C.3.已知为两条不同的直线，为三个不同的平面，则下列命题正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，且，则〖答案〗D〖解析〗长方体如图所示：对于A，设分别为直线，平面，此时有平面，但，错误；对于B，设分别为直线，平面，平面，其中分别为的中点，此时有面，平面，但平面平面，故B错误；对于C，设分别为直线，平面，平面，此时面，平面，平面平面，但，故C错误；对于D，若，且，则，不妨取交线上一点，作平面的垂线，因为，且点，故，同理可得，故与是同一条直线，因为，故，故D正确.故选：D.4.设是首项为正数的等比数列,公比为则“”是“对任意的正整数”的（）A.充要条件 B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗C〖解析〗由题意得，，故必要不充分条件，故选C.5.8月29日，华为在官方网站发布了Mate60手机，其中大部分件已实现国产化，5G技术更是遥遥领先，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度取决于信道带宽，位道内信号的平均功率以及信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫做信噪比．当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计．按照香农公式，若不改变带宽，而将信噪比从1000提升至5000，则大约增加了（）（参考数值：）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由题意，，大约增加了，故选：C6.在四面体中，底面，，，点为三角形的重心，若四面体的外接球的表面积为，则（）A. B.2 C. D.〖答案〗B〖解析〗设的中点为，因为点是的重心，所以，设的外心为，由题意可得点在上，令，则有，即，解得：，又平面，所以四面体的外接球的半径，由题意得，解得：，所以.故选：B.7.设是双曲线的左，右焦点，点P在C上，若，且(O为坐标原点)，则C的渐近线方程为（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗不妨设点P在C的右支上，设，由双曲线的定义可知：，因为，所以，即，由余弦定理可知：，而，所以，因此C的渐近线方程为，故选：A.8.已知实数满足，，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由题意知，即，令，则，从而，所以，令，则，所以函数在上单调递增，而，所以，所以.故选：D.二､多项选择题9.已知实数，则（）A. B. C. D.〖答案〗ABD〖解析〗A：，则，正确；B：，则，正确；C：当时，，错误；D：由（注意等号取不到），则，正确.故选：ABD.10.抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于两点（点在轴的下方），则下列结论正确的是（）A.若，则中点到轴的距离为4B.弦中点的轨迹为抛物线C.若，则直线斜率D.〖答案〗BCD〖解析〗抛物线，则焦点，准线为，对于A，设、，则，解得，设为线段的中点，则，所以点到轴的距离为，故A错误；对于B，由题意，直线斜率不为0，设：，联立，得，，则，，，设线段中点坐标为，则，消去可得，故弦中点的轨迹为抛物线，故B正确；对于C，易知，，由，可得，，结合B选项可知，则，又，可得，，所以直线的斜率，故C正确；对于D，由选项B可知，，所以，所以，当且仅当，即时取得等号，故D正确.故选：BCD.11.已知函数，在下列结论中正确的是（）A.是的一个周期B.的图象关于直线对称C.在区间上无最大值D.在区间上有最小值〖答案〗CD〖解析〗对于A，因为，又，，所以不是的一个周期，故A错误；对于B，，所以的图象不关于直线对称，故B错误；对于C，D，当时，，令，因为，所以，所以，设，因为在定义域上是减函数，由复合函数的单调性可知为增函数，故在定义域上为增函数，所以无最大值，最小值为，故C，D正确；故选：CD12.已知四棱锥，底面是正方形，平面，，点在平面上，且，则（）A.存在，使得直线与所成角为B.不存在，使得平面平面C.当一定时，点与点轨迹上所有的点连线和平面围成的几何体的外接球的表而积为D.若，以为球心，为半径的球面与四棱琟各面的交线长为〖答案〗BCD〖解析〗对A，如图，由题意为直线与平面ABCD所成的角，所以与所成的角不小于，故A错误；对B，平面，平面，，又，面，面，点要在直线上，因为，所以不存在，故B正确.对C，由题意知，几何体为圆锥，作圆锥及外接球的轴截面图，如图，所以外接球的半径满足，解得，所以外接球的表而积为，故C正确；对D，将侧面展开，知球与侧面的交线为以点P为圆心，为半径的圆与侧面展开图的交线，即图中，因为，所以，又，所以，由对称性知，所以,故的长为，又球与底面交线为以点A为圆心，为半径的圆与底面ABCD的交线，故长度为，所以球面与四棱琟各面的交线长为，D正确.故选：BCD.第II卷三､填空题13.已知正四棱台中，，，则其体积为________.〖答案〗〖解析〗如图正四棱台中，则，，过点作交于点，过点作交于点，则，又，所以，即正四棱台的高，所以棱台的体积.故〖答案〗为：14.若函数在区间上存在最小值，则实数取值范围为______〖答案〗〖解析〗由得：，当或时，，当时，，于是得在和上都单调递增，在上单调递减，当时，取得极小值，因在区间上存在最小值，而函数最值不可能在开区间端点处取得，于是得，且，即，解得，所以实数的取值范围为.故〖答案〗为：15.已知数列满足，设，其中表示不超过的最大整数，为数列的前项和，若，则正整数的取值范围为__________.〖答案〗〖解析〗因为，所以，所以是以为首项，为公比的等比数列，所以，所以又因为，其中表示不超过的最大整数，所以，所以，所以，因为，所以，解得，所以，故〖答案〗为：16.历史上第一位研究圆锥曲线的数学家是梅纳库莫斯（公元前375年-325年），大约100年后，阿波罗尼斯更详尽、系统地研究了圆锥曲线，并且他还进一步研究了这些圆锥曲线的光学性质.如图甲，从椭圆的一个焦点出发的光线或声波，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，其中法线表示与椭圆的切线垂直且过相应切点的直线，如图乙，椭圆的中心在坐标原点，分别为其左、右焦点，直线与椭圆相切于点（点在第一象限），过点且与切线垂直的法线与轴交于点，若直线的斜率为，，则椭圆的离心率为______.〖答案〗〖解析〗设，则，，，其中，所以椭圆的离心率为.故〖答案〗为：.四､解答题17.已知圆的圆心与点关于直线对称，且圆与轴相切于原点.（1）求圆M的方程；（2）若在圆中存在弦，且弦中点在直线上，求实数的取值范围.解：（1）设坐标，则，解得，即坐标圆与轴相切于圆方程.（2），圆半径，轨迹是以为圆心，为半径圆，则其轨迹方程为，又在直线上，直线与圆有公共点，即，.18.已知是的内角的对边，是边上的中线，设，且.（1）试判断的形状；（2）若，试求的余弦值.解：（1）设，因为，所以，在中，是边上的中线，所以，在中，由正弦定理及诱导公式可得，在中，由正弦定理及诱导公式可得，所以，即，在中，，所以或，因此的形状是等腰三角形或是直角三角形.（2）因为，所以，由（1）可知的形状是直角三角形.且，所以，所以，在中，由余弦定理可得，所以.19.已知为数列的前项和，，，记.（1）求数列的通项公式；（2）已知，记数列的前项和为，求证：.（1）解：由，得，，则，，，数列是以为首项，为公比的等比数列，，，.（2）证明：，，，当为奇数时，，当为偶数时，，由，可知是递增数列，，综上，.20.如图，在多面体ABCDE中，平面平面ABC，平面ABC，和均为正三角形，，点M为线段CD上一点．（1）求证：；（2）若EM与平面ACD所成角为，求平面AMB与平面ACD所成锐二面角的余弦值．（1）证明：取AC中点O，连接DO、OB，在正和正中，，则，而平面平面ABC，平面平面，平面ACD，平面ABC，于是平面ABC，平面ACD，又平面ABC，即有，而．因此四边形DOBE是平行四边形，则，从而平面ABC，平面ADC，所以.（2）解：由（1）知，平面ADC，为EM与平面ADC的所成角，即，在中，，即M为DC中点，由（1）知，两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，显然平面DAC的一个法向量为，设平面MAB的一个法向量为，则，令，得，，所以平面AMB与平面ACD所成锐二面角的余弦值为．21.在平面直角坐标系xOy中，点P到点的距离比到y轴的距离大1，记点P的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）过点F且斜率不为零的直线l交椭圆E：于A，B两点，交曲线C于M，N两点，若为定值，求实数λ的值．解：（1）设，依题意，，两边平方并整理，得，所以曲线C的方程为．（2）设，，，，依题意，设直线l的方程为，由消去y并整理，得，而点为椭圆E的右焦点，因此，，则，由（1）知，，若直线l交曲线C于M、N两点，且，则直线l与相交，由消去y并整理，得，而点为抛物线的焦点，则，于是，从而，要使为定值，则，即，所以实数λ的值为3．22.已知函数.（1）若对时，，求正实数的最大值；（2）证明：.（1）解：由题知，令，所以，又因为时，为正实数，故在区间恒成立，所以函数在区间上单调递增，且.①当时，在区间上恒成立，函数在上单调递减，此时，符合题意.②当时，，由零点存在定理，时，有，即函数区间上单调递减，在区间上单调递增，所以当时，有，此时不符合，综上所述，正实数的最大值为1.（2）证明：由（1）知，当时，，令时，有，即，所以，，累加得，即，所以.辽宁省大连市滨城高中联盟2024届高三上学期期中（Ⅱ）考试数学试题第I卷一､单项选择题1.已知是实数集，，，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由，即，即，解得或，所以或，因，所以，故.故选：A.2.在复平面内，复数的对应点为，则（）A.2 B.-2 C. D.〖答案〗C〖解析〗由题意.故选：C.3.已知为两条不同的直线，为三个不同的平面，则下列命题正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，且，则〖答案〗D〖解析〗长方体如图所示：对于A，设分别为直线，平面，此时有平面，但，错误；对于B，设分别为直线，平面，平面，其中分别为的中点，此时有面，平面，但平面平面，故B错误；对于C，设分别为直线，平面，平面，此时面，平面，平面平面，但，故C错误；对于D，若，且，则，不妨取交线上一点，作平面的垂线，因为，且点，故，同理可得，故与是同一条直线，因为，故，故D正确.故选：D.4.设是首项为正数的等比数列,公比为则“”是“对任意的正整数”的（）A.充要条件 B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗C〖解析〗由题意得，，故必要不充分条件，故选C.5.8月29日，华为在官方网站发布了Mate60手机，其中大部分件已实现国产化，5G技术更是遥遥领先，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度取决于信道带宽，位道内信号的平均功率以及信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫做信噪比．当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计．按照香农公式，若不改变带宽，而将信噪比从1000提升至5000，则大约增加了（）（参考数值：）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由题意，，大约增加了，故选：C6.在四面体中，底面，，，点为三角形的重心，若四面体的外接球的表面积为，则（）A. B.2 C. D.〖答案〗B〖解析〗设的中点为，因为点是的重心，所以，设的外心为，由题意可得点在上，令，则有，即，解得：，又平面，所以四面体的外接球的半径，由题意得，解得：，所以.故选：B.7.设是双曲线的左，右焦点，点P在C上，若，且(O为坐标原点)，则C的渐近线方程为（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗不妨设点P在C的右支上，设，由双曲线的定义可知：，因为，所以，即，由余弦定理可知：，而，所以，因此C的渐近线方程为，故选：A.8.已知实数满足，，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由题意知，即，令，则，从而，所以，令，则，所以函数在上单调递增，而，所以，所以.故选：D.二､多项选择题9.已知实数，则（）A. B. C. D.〖答案〗ABD〖解析〗A：，则，正确；B：，则，正确；C：当时，，错误；D：由（注意等号取不到），则，正确.故选：ABD.10.抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于两点（点在轴的下方），则下列结论正确的是（）A.若，则中点到轴的距离为4B.弦中点的轨迹为抛物线C.若，则直线斜率D.〖答案〗BCD〖解析〗抛物线，则焦点，准线为，对于A，设、，则，解得，设为线段的中点，则，所以点到轴的距离为，故A错误；对于B，由题意，直线斜率不为0，设：，联立，得，，则，，，设线段中点坐标为，则，消去可得，故弦中点的轨迹为抛物线，故B正确；对于C，易知，，由，可得，，结合B选项可知，则，又，可得，，所以直线的斜率，故C正确；对于D，由选项B可知，，所以，所以，当且仅当，即时取得等号，故D正确.故选：BCD.11.已知函数，在下列结论中正确的是（）A.是的一个周期B.的图象关于直线对称C.在区间上无最大值D.在区间上有最小值〖答案〗CD〖解析〗对于A，因为，又，，所以不是的一个周期，故A错误；对于B，，所以的图象不关于直线对称，故B错误；对于C，D，当时，，令，因为，所以，所以，设，因为在定义域上是减函数，由复合函数的单调性可知为增函数，故在定义域上为增函数，所以无最大值，最小值为，故C，D正确；故选：CD12.已知四棱锥，底面是正方形，平面，，点在平面上，且，则（）A.存在，使得直线与所成角为B.不存在，使得平面平面C.当一定时，点与点轨迹上所有的点连线和平面围成的几何体的外接球的表而积为D.若，以为球心，为半径的球面与四棱琟各面的交线长为〖答案〗BCD〖解析〗对A，如图，由题意为直线与平面ABCD所成的角，所以与所成的角不小于，故A错误；对B，平面，平面，，又，面，面，点要在直线上，因为，所以不存在，故B正确.对C，由题意知，几何体为圆锥，作圆锥及外接球的轴截面图，如图，所以外接球的半径满足，解得，所以外接球的表而积为，故C正确；对D，将侧面展开，知球与侧面的交线为以点P为圆心，为半径的圆与侧面展开图的交线，即图中，因为，所以，又，所以，由对称性知，所以,故的长为，又球与底面交线为以点A为圆心，为半径的圆与底面ABCD的交线，故长度为，所以球面与四棱琟各面的交线长为，D正确.故选：BCD.第II卷三､填空题13.已知正四棱台中，，，则其体积为________.〖答案〗〖解析〗如图正四棱台中，则，，过点作交于点，过点作交于点，则，又，所以，即正四棱台的高，所以棱台的体积.故〖答案〗为：14.若函数在区间上存在最小值，则实数取值范围为______〖答案〗〖解析〗由得：，当或时，，当时，，于是得在和上都单调递增，在上单调递减，当时，取得极小值，因在区间上存在最小值，而函数最值不可能在开区间端点处取得，于是得，且，即，解得，所以实数的取值范围为.故〖答案〗为：15.已知数列满足，设，其中表示不超过的最大整数，为数列的前项和，若，则正整数的取值范围为__________.〖答案〗〖解析〗因为，所以，所以是以为首项，为公比的等比数列，所以，所以又因为，其中表示不超过的最大整数，所以，所以，所以，因为，所以，解得，所以，故〖答案〗为：16.历史上第一位研究圆锥曲线的数学家是梅纳库莫斯（公元前375年-325年），大约100年后，阿波罗尼斯更详尽、系统地研究了圆锥曲线，并且他还进一步研究了这些圆锥曲线的光学性质.如图甲，从椭圆的一个焦点出发的光线或声波，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，其中法线表示与椭圆的切线垂直且过相应切点的直线，如图乙，椭圆的中心在坐标原点，分别为其左、右焦点，直线与椭圆相切于点（点在第一象限），过点且与切线垂直的法线与轴交于点，若直线的斜率为，，则椭圆的离心率为______.〖答案〗〖解析〗设，则，，，其中，所以椭圆的离心率为.故〖答案〗为：.四､解答题17.已知圆的圆心与点关于直线对称，且圆与轴相切于原点.（1）求圆M的方程；（2）若在圆中存在弦，且弦中点在直线上，求实数的取值范围.解：（1）设坐标，则，解得，即坐标圆与轴相切于圆方程.（2），圆半径，轨迹是以为圆心，为半径圆，则其轨迹方程为，又在直线上，直线与圆有公共点，即，.18.已知是的内角的对边，是边上的中线，设，且.（1）试判断的形状；（2）若，试求的余弦值.解：（1）设，因为，所以，在中，是边上的中线，所以，在中，由正弦定理及诱导公式可得，在中，由正弦定理及诱导公式可得，所以，即，在中，，所以或，因此的形状是等腰三角形或是直角三角形.（2）因为，所以，由（1）可知的形状是直角三角形.且，所以，所以，在中，由余弦定理可得，所以.19.已知为数列的前项和，，，记.（1）求数列的通项公式；（2）已知，记数列的前项和为，求证：.（1）解：由，得，，则，，，数列是以为首项，为公比的等比数列，，，.（2）证明：，，，当为奇数时，，当为偶数时，，由，可知是递增数列，，综上，.2