2024届四川省大数据学考联盟高三第一次质量检测数学试题（理）（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE2四川省大数据学考联盟2024届高三第一次质量检测数学试题（理）一、选择题1.已知复数（为虚数单位），则复数在复平面内对应点在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗C〖解析〗因为，所以，所以复数在复平面内对应的点为，位于第三象限.故选：C.2.已知集合，则集合的子集有（）个A.3 B.4 C.7 D.8〖答案〗D〖解析〗，故集合的子集有个.故选：D.3.有一组样本数据，其样本平均数为,现加入一个数据，组成新的一组样本数据，与原数据相比，关于新的样本数据下列说法一定错误的是（）A.平均数不变 B.中位数不变 C.众数不变 D.极差不变〖答案〗A〖解析〗对A，因为加入一个数据，故平均数一定变大，故A错误；对B，如样本数据1，2，2，3，中位数为2，平均数为2，加入一个新数据3后，中位数仍为2，故中位数可能不变，故B正确；对C，众数为数据中出现最多次的数据，故加入一个数据后，众数可能不变，故C正确；对D，加入后整组数据最大最小值的差不一定改变，即极差可能不变，故D正确.故选：A.4.若为第二象限角且，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因为为第二象限角且，所以，所以，所以.故选：A.5.若，满足约束条件，则的最小值为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因为，满足约束条件，则可行域如下图所示：由，解得，则，令，则，平移直线，可知当直线在轴上的截距最小时，取得最小值，由图可知当过点直线在轴上的截距最小，则，即的最小值为.故选：C6.若二项式的展开式中所有项的系数和为243，则展开式中项的系数为（）A.40 B.60 C.80 D.160〖答案〗A〖解析〗令，可得，则，所以的展开式的通项为，令，可得.所以展开式中项的系数为40.故选：A.7.将函数图象上各点横坐标缩短到原来的，再向右平移个单位得到曲线．若曲线的图象关于原点对称，则函数的一条对称轴可以为（）A B.C. D.〖答案〗B〖解析〗将函数图象上各点横坐标缩短到原来的得到，再将向右平移个单位得到，又曲线的图象关于原点对称，所以，解得，又，所以当时，所以函数即，令，，解得，，即函数的对称轴为，，所以函数的一条对称轴可以为.故选：B.8.已知函数，，在同一平面直角坐标系的图象如图所示，则（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗因为图象过，故由图象可得，又图象过，故由图象可得，又图象过，故由图象可得.故，，，故.故选：B9.已知为坐标原点，点为抛物线的焦点，点，直线交抛物线于，两点（不与点重合），则以下说法正确的是（）A. B.存在实数，使得C.若，则 D.若直线与的倾斜角互补，则〖答案〗D〖解析〗由题意可知，抛物线焦点为，准线方程为，又直线恒过，如下图所示：设，作垂直于准线，垂足为，根据抛物线定义可知，，易知，所以，但当时，此时与坐标原点重合，直线与抛物线仅有一个交点，因此，所以，即A错误；联立直线和抛物线，消元、理得，由，所以，则，此时，所以，即，所以不存在实数，使得，故B错误；若，由几何关系可得，结合，可得或，即或，将点坐标代入直线方程可得，所以C错误；若直线与的倾斜角互补，则，即，整理得，代入，解得或，当时，直线过点，与点重合，不符合题意，所以；即D正确.故选：D.10.为了深化教育改革，坚持“五育并举”融合育人．某学校准备组建书法、音乐、美术、体育4个不同的社团．现将甲、乙、丙、丁、戊5名同学分配到这4个社团进行培训，每名同学只能分配到1个社团，每个社团至少分配1名同学，且甲乙两名同学不能在同一个社团培训，则不同的分配方案共有（）A.192种 B.216种 C.240种 D.432种〖答案〗B〖解析〗由题意可得，将5名同学分配到这4个社团进行培训每名同学只能分配到1个社团，每个社团至少分配1名同学，则不同的分配方案共有种，当甲乙两名同学在同一个社团培训，则不同的分配方案有种，综上可得，不同的分配方案共有种.故选：B11.已知函数的图象关于直线对称，对任意的，都有成立，且当时，，若在区间内方程有5个不同的实数根，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为函数的图象关于直线对称，所以函数的图象关于轴对称，因为对任意的，都有成立，所以，所以函数的周期为4，画出函数在区间上的图象，如图所示：若在区间内方程有5个不同的实数根，即函数与的图象有5个交点，显然，则，解得，即实数的取值范围为.故选：D．12.如图，在棱长为1的正方体中，点是该正方体对角线上的动点，给出下列三个结论：①；②点到直线的距离的最小值是；③当时，三棱锥外接球的表面积为．其中所有结论正确的个数为（）A.0 B.1 C.2 D.3〖答案〗C〖解析〗因为在正方体中，，所以平面，因为平面，所以，故①正确；设，连接，因为平面，所以，即为到直线的距离，当时，最小，此时，，故②正确；三棱锥外接球主视图如图所示，，，关于直径的对称点为，，设，则即，解得，故，所以，故③错误；故选：C二、填空题13.平面向量，满足，，且，则的值为______．〖答案〗〖解析〗因为，，所以，又，所以，解得.故〖答案〗为：14.函数的图象在点处的切线方程为______．〖答案〗〖解析〗，，，故函数的图象在点处的切线方程为，即.故〖答案〗为：15.在中，，，延长到点，使得，，则的长为______．〖答案〗〖解析〗在中，，，延长到点，使得，，在由正弦定理得，可得，又，所以或，若，则，则，在中，由正弦定理得，即，所以．若，则，则，不符合题意，故舍去；综上可得．故〖答案〗为：．16.已知双曲线的右焦点到它的一条渐近线的距离为，过双曲线上一点作双曲线的一条切线交其渐近线于两点，若两点的横坐标之积为4，则双曲线的标准方程为__________．〖答案〗〖解析〗双曲线渐近线的方程为：，因为右焦点到渐近线的距离为，所以，即.设，则过点的切线方程为：，联立得：，化简可得：，解得：，，即，因为在双曲线上，满足，即，所以，解得，所以双曲线方程为：.故〖答案〗为：三、解答题（一）必考题17.已知为等差数列，公差，且、、成等比数列．（1）求数列的通项公式；（2）记，数列的前项和为，证明：．（1）解：依题意，，又、、成等比数列，所以，即，解得，所以.（2）证明：由（1）可得，所以.18.如图，多面体中，四边形为菱形，，，，．（1）求证：平面平面；（2）当时，求直线与平面所成角的正弦值．（1）证明：因为，所以点四点共面，又四边形为菱形，所以，因为，，平面，所以平面，又平面，所以平面平面.（2）解：因为，，所以，又因为，所以平面，设交于，则以为轴，为轴，过点且平行于的方向为轴，建立如图所示的空间直角坐标系,因为，四边形为菱形，，则，所以有，则，不妨设平面的法向量为，则，取，得，设直线与平面所成角为，则，故直线与平面所成角的正弦值为.19.甲、乙两医院到某医科大学实施“小小医生计划”，即通过对毕业生进行笔试，面试，模拟诊断这3项程序后直接签约一批毕业生．已知3项程序分别由3个部门独立依次考核，且互不影响，当3项程序全部通过即可签约．假设该校口腔医学系170名毕业生参加甲医院的“小小医生计划”的具体情况如下表（不存在通过3项程序考核后放弃签约的现象）．性别参加考核但未能签约的人数参加考核并能签约的人数合计男生582785女生424385合计10070170该校口腔医学系的小华准备参加两医院的“小小医生计划”，小华通过甲医院的每项程序的概率均为，通过乙医院的每项程序的概率依次为，，，其中．（1）判断是否有的把握认为这170名毕业生参加甲医院的“小小医生计划”能否签约与性别有关；（2）若小华通过甲、乙两医院程序的项数分别记为X，Y．当时，求小华参加乙医院考核并能成功签约的概率．参考公式与临界值表：，．0.1000.0500.0250.0102.7063.8415.0246.635解：（1）因为，且，所以有把握认为这170名毕业生参加甲医院的“小小医生计划”能否签约与性别有关；（2）因为小华通过甲医院各程序结果相互不影响，所以，则，的可能取值为0，1，2，3.，，，，随机变量Y的分布列：Y0123P，因为，所以，即，小华参加乙医院考核并能成功签约的概率为.20.已知椭圆的左、右焦点分别为、，离心率为．点在直线上运动，且直线的斜率与直线的斜率之商为2．（1）求的方程；（2）若点A、B在椭圆上，为坐标原点，且，求面积的最小值．解：（1）设，所以，由直线的斜率与直线的斜率之商为2，可得，所以，又离心率，所以，则，所以的标准方程为.（2）当直线，直线其中一条直线斜率不存在时，不妨令，此时面积为；当直线，直线的斜率均存在时，不妨设直线的方程为，则直线的方程为，设点，联立方程可得，所以，联立方程，可得，所以，所以，因为，又，所以，又，所以面积的最小值为，当且仅当，即时等号成立.21.已知函数．（1）求函数的最小值；（2）当，时，求证：．（1）解：，，在上单调递减，的最小值为.（2）证明：令，则.在上单调递减，，又，，，又由（1）知，，.（二）选考题[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线的极坐标方程为．（1）求曲线的直角坐标方程；（2）若直线的极坐标方程为（为参数），它与曲线分别相交于，两点，若，求．解：（1）曲线的极坐标方程为，又，，即，曲线的直角坐标方程为；（2）联立，可得，由，则，设，两点对应的极径分别为，，则，，，，，，又，又由（1）的直角坐标方程可知的终边只可能在第一或二象限，或，或．[选修4-5：不等式选讲]23.已知函数．（1）当，时，解不等式；（2）若，，，且函数的最小值为4，证明：．（1）解：当，时，所以不等式，即或或，解得或或，综上可得不等式的解集为.（2）证明：因为，当且仅当时取等号，所以，因为，，，所以，当且仅当、、时等号成立，所以.四川省大数据学考联盟2024届高三第一次质量检测数学试题（理）一、选择题1.已知复数（为虚数单位），则复数在复平面内对应点在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗C〖解析〗因为，所以，所以复数在复平面内对应的点为，位于第三象限.故选：C.2.已知集合，则集合的子集有（）个A.3 B.4 C.7 D.8〖答案〗D〖解析〗，故集合的子集有个.故选：D.3.有一组样本数据，其样本平均数为,现加入一个数据，组成新的一组样本数据，与原数据相比，关于新的样本数据下列说法一定错误的是（）A.平均数不变 B.中位数不变 C.众数不变 D.极差不变〖答案〗A〖解析〗对A，因为加入一个数据，故平均数一定变大，故A错误；对B，如样本数据1，2，2，3，中位数为2，平均数为2，加入一个新数据3后，中位数仍为2，故中位数可能不变，故B正确；对C，众数为数据中出现最多次的数据，故加入一个数据后，众数可能不变，故C正确；对D，加入后整组数据最大最小值的差不一定改变，即极差可能不变，故D正确.故选：A.4.若为第二象限角且，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因为为第二象限角且，所以，所以，所以.故选：A.5.若，满足约束条件，则的最小值为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因为，满足约束条件，则可行域如下图所示：由，解得，则，令，则，平移直线，可知当直线在轴上的截距最小时，取得最小值，由图可知当过点直线在轴上的截距最小，则，即的最小值为.故选：C6.若二项式的展开式中所有项的系数和为243，则展开式中项的系数为（）A.40 B.60 C.80 D.160〖答案〗A〖解析〗令，可得，则，所以的展开式的通项为，令，可得.所以展开式中项的系数为40.故选：A.7.将函数图象上各点横坐标缩短到原来的，再向右平移个单位得到曲线．若曲线的图象关于原点对称，则函数的一条对称轴可以为（）A B.C. D.〖答案〗B〖解析〗将函数图象上各点横坐标缩短到原来的得到，再将向右平移个单位得到，又曲线的图象关于原点对称，所以，解得，又，所以当时，所以函数即，令，，解得，，即函数的对称轴为，，所以函数的一条对称轴可以为.故选：B.8.已知函数，，在同一平面直角坐标系的图象如图所示，则（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗因为图象过，故由图象可得，又图象过，故由图象可得，又图象过，故由图象可得.故，，，故.故选：B9.已知为坐标原点，点为抛物线的焦点，点，直线交抛物线于，两点（不与点重合），则以下说法正确的是（）A. B.存在实数，使得C.若，则 D.若直线与的倾斜角互补，则〖答案〗D〖解析〗由题意可知，抛物线焦点为，准线方程为，又直线恒过，如下图所示：设，作垂直于准线，垂足为，根据抛物线定义可知，，易知，所以，但当时，此时与坐标原点重合，直线与抛物线仅有一个交点，因此，所以，即A错误；联立直线和抛物线，消元、理得，由，所以，则，此时，所以，即，所以不存在实数，使得，故B错误；若，由几何关系可得，结合，可得或，即或，将点坐标代入直线方程可得，所以C错误；若直线与的倾斜角互补，则，即，整理得，代入，解得或，当时，直线过点，与点重合，不符合题意，所以；即D正确.故选：D.10.为了深化教育改革，坚持“五育并举”融合育人．某学校准备组建书法、音乐、美术、体育4个不同的社团．现将甲、乙、丙、丁、戊5名同学分配到这4个社团进行培训，每名同学只能分配到1个社团，每个社团至少分配1名同学，且甲乙两名同学不能在同一个社团培训，则不同的分配方案共有（）A.192种 B.216种 C.240种 D.432种〖答案〗B〖解析〗由题意可得，将5名同学分配到这4个社团进行培训每名同学只能分配到1个社团，每个社团至少分配1名同学，则不同的分配方案共有种，当甲乙两名同学在同一个社团培训，则不同的分配方案有种，综上可得，不同的分配方案共有种.故选：B11.已知函数的图象关于直线对称，对任意的，都有成立，且当时，，若在区间内方程有5个不同的实数根，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为函数的图象关于直线对称，所以函数的图象关于轴对称，因为对任意的，都有成立，所以，所以函数的周期为4，画出函数在区间上的图象，如图所示：若在区间内方程有5个不同的实数根，即函数与的图象有5个交点，显然，则，解得，即实数的取值范围为.故选：D．12.如图，在棱长为1的正方体中，点是该正方体对角线上的动点，给出下列三个结论：①；②点到直线的距离的最小值是；③当时，三棱锥外接球的表面积为．其中所有结论正确的个数为（）A.0 B.1 C.2 D.3〖答案〗C〖解析〗因为在正方体中，，所以平面，因为平面，所以，故①正确；设，连接，因为平面，所以，即为到直线的距离，当时，最小，此时，，故②正确；三棱锥外接球主视图如图所示，，，关于直径的对称点为，，设，则即，解得，故，所以，故③错误；故选：C二、填空题13.平面向量，满足，，且，则的值为______．〖答案〗〖解析〗因为，，所以，又，所以，解得.故〖答案〗为：14.函数的图象在点处的切线方程为______．〖答案〗〖解析〗，，，故函数的图象在点处的切线方程为，即.故〖答案〗为：15.在中，，，延长到点，使得，，则的长为______．〖答案〗〖解析〗在中，，，延长到点，使得，，在由正弦定理得，可得，又，所以或，若，则，则，在中，由正弦定理得，即，所以．若，则，则，不符合题意，故舍去；综上可得．故〖答案〗为：．16.已知双曲线的右焦点到它的一条渐近线的距离为，过双曲线上一点作双曲线的一条切线交其渐近线于两点，若两点的横坐标之积为4，则双曲线的标准方程为__________．〖答案〗〖解析〗双曲线渐近线的方程为：，因为右焦点到渐近线的距离为，所以，即.设，则过点的切线方程为：，联立得：，化简可得：，解得：，，即，因为在双曲线上，满足，即，所以，解得，所以双曲线方程为：.故〖答案〗为：三、解答题（一）必考题17.已知为等差数列，公差，且、、成等比数列．（1）求数列的通项公式；（2）记，数列的前项和为，证明：．（1）解：依题意，，又、、成等比数列，所以，即，解得，所以.（2）证明：由（1）可得，所以.18.如图，多面体中，四边形为菱形，，，，．（1）求证：平面平面；（2）当时，求直线与平面所成角的正弦值．（1）证明：因为，所以点四点共面，又四边形为菱形，所以，因为，，平面，所以平面，又平面，所以平面平面.（2）解：因为，，所以，又因为，所以平面，设交于，则以为轴，为轴，过点且平行于的方向为轴，建立如图所示的空间直角坐标系,因为，四边形为菱形，，则，所以有，则，不妨设平面的法向量为，则，取，得，设直线与平面所成角为，则，故直线与平面所成角的正弦值为.19.甲、乙两医院到某医科大学实施“小小医生计划”，即通过对毕业生进行笔试，面试，模拟诊断这3项程序后直接签约一批毕业生．已知3项程序分别由3个部门独立依次考核，且互不影响，当3项程序全部通过即可签约．假设该校口腔医学系170名毕业生参加甲医院的“小小医生计划”的具体情况如下表（不存在通过3项程序考核后放弃签约的现象）．性别参加考核但未能签约的人数参加考核并能签约的人数合计男生582785女生424385合计10070170该校口腔医学系的小华准备参加两医院的“小小医生计划”，小华通过甲医院的每项程序的概率均为，通过乙医院的每项程序的概率依次为，，，其中．（1）判断是否有的把握认为这170名毕业生参加甲医院的“小小医生计划”能否签约与性别有关；（2）若小华通过甲、乙两医院程序的项数分别记为X，Y．当时，求小华参加乙医院考核并能成功签约的概率．参考公式与临界值表：，．0.1000.0500.0250.0102.706