第五章 留数及其应用

第第页第五章留数及其应用复变函数

复变函数与积分变换

复变函数

参考用书《复变函数与积分变换》,华中科技高校数学系,《复变函数与积分变换》,华中科技高校数学系,2022.6高等教育出版社,高等教育出版社,高等教育出版

《复变函数与积分变换学习辅导与习题全解》,华中科大,《复变函数与积分变换学习辅导与习题全解》,华中科大,社《复变函数》,西安交通高校高等数学教研室,《复变函数》,西安交通高校高等数学教研室,1996.5

高等教育出版社,高等教育出版社,

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复变函数

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复数与复变函数解析函数复变函数的积分解析函数的级数表示留数及其应用傅立叶变换拉普拉斯变换3

复变函数

第五章

留数及其应用

本章中心问题是留数定理，前面讲的柯西定理、柯西积分公式都是留数定理的非常状况，并且留数定理在作理论探讨与实际应用中都具有重要意义，它是复积分与复级数理论相结合的产物，为此先对解析函数的孤立奇点进行分类

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第五章5.2留数

留数及其应用

5.1孤立奇点5.3留数在定积分计算中的应用本章小结思索题

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第一节一、奇点的分类

孤立奇点

但在定义：假设函数f(z)在z0处不解析，z0的某一去心邻域0zz0δ内到处解析，

那么称z0为函数f(z)的孤立奇点1如：z=0是函数f(z)=的孤立奇点，也是函数f(z)=ez的孤立奇点.z1如z=0是函数f(z)=的一个奇点，1sinz1

除此之外，zn=

1(n=1,2,)也是它的一个奇点，nπ

1当n的绝对值渐渐增大时，可任意接近z=0,nπ

即在z=0不论怎样小的去心邻域，总有函数f(z)的奇点存在，所以z=0不是函数f(z)的孤立奇点.2022-2-16

复变函数

孤立奇点分类：函数f(z)在孤立奇点z0的邻域0zz0δ内展为洛朗级数为：

f(z)=

∑C(zz)+∑Cnn=0n0n=1

∞

∞

n

(zz0)n

解析部分∞

主要部分

那么称(1)主部消逝即只有∑Cn(zz0)n,z0为函数f(z)的可去奇点n=0

(2)主部仅含有限项(m项),那么称z0为函数f(z)的m阶极点(3)主部含有无限多项，那么称z0为函数f(z)的本性奇点

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说明点z=0是函数f(z)=例1.

sinz的可去奇点.z

解：f(z)在z=0的去心邻域内可开展成洛朗级数为：函数11sinz1z3z5f(z)==(z+)=1z2+z4,3!5!zz3!5!

开展式中不含负幂项，

sinzz=0是函数f(z)=的可去奇点.z

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二、可去奇点可去奇点的解析化：

假设z0为函数f(z)的可去奇点，那么f(z)在z0的去心邻域内的洛朗级数就是一个不含负幂项的级数为：f(z)=C0+C1(zz0)+C2(

zz0)2+Cn(zz0)n+,0zz0δ

显着这个幂级数的和函数F(z)在zz0δ内到处解析.

令f(z0)=C0=limF(z)=limf(z).z→z0z→z0

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复变函数

孤立奇点z0为可去奇点的判别方法：设z0为函数f(z)的孤立奇点，那么以下条件是等价的,

(1)z0为函数f(z)的可去奇点；(2)函数f(z)在z0点的洛朗级数开展式中不含zz0的负幂项，即f(z)=C0+C1(zz)++Cn(zz0)n+

(3)limf(z)=C0,(C0为一常复数);z→z0

(4)函数f(z)在z0某去心邻域内有界.

lim假设z0为f(z)的极点，那么z→zf(z)=?0

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三、极点假如在洛朗级数开展式中只有有限多个zz0的负幂项，且关于(zz0)1的最高幂为(zz0)m,即f(z)=Cm(zz0)m++C2(zz0)2+C1(zz0)1+C0+C1(zz0)+,(m≥1,Cm≠0)

那么孤立奇点z0称为函数f(z)的m阶极点.

下面争论m阶极点的特征：()f(z)=11[Cm+Cm+1(zz0)+Cm+2(zz0)2++C1(zz0)m1(zz0)m+∑Cn(zz0)n+m]=n=0∞

1g(z)m(zz0)

()这里g(z)满意：1在圆域zz0δ内是解析函数；

(2)g(z0)≠0.2022-2-111

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(2)反过来，当任何一个函数f(z)能表示为f(z)=

1g(z)的形式，m(zz0)

g(z)在zz0δ内解析且g(z0)≠0,那么z0是函数f(z)的m阶极点.判定z0是函数f(z)的m阶极点的另一方法.

1g(z)=+∞而limf(z)=limz→z0z→z0(zz)m0limf(z)=∞.判定z0是函数f(z)的m阶极点的又一方法.z→z0

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复变函数

孤立奇点z0为极点的判别方法：设z0为函数f(z)的孤立奇点，那么以下条件是等价的,

(1)z0是函数f(z)的m阶极点；(2)函数f(z)在点z0处的洛朗开展式为：+∞CmC1f(z)=+++∑Cn(zz0)n(zz0)m(zz0)n=0

(Cm≠0,m0)

(3)极限limf(z)=∞,缺点：不能指明极点的阶数.z→z0

(4)函数f(z)在点z0的某去心邻域内能表示成：f(z)=1g(z),(zz0)m

其中g(z)在z0的邻域内解析，且g(z0)≠0.2022-2-113

复变函数

求有理分式函数f(z)=例2.

z2的极点.23(z+1)(z1)

解：函数的孤立奇点有：z=1,z=i.limf(z)=∞,z→1

z→i

limf(z)=∞,

z=1,z=i都是函数f(z)的极点.11z2z2=2=g1(z)(1)当z=1时，2333(z+1)(z1)(z1)(z+1)(z1)

这里g1(z)在z=1的某邻域内到处解析，且g1(1)≠0,z=1是有理函数的3阶极点.11z2z2==(2)对于z=i,有(z2+1)(z1)3(zi)(z+i)(z1)3(zi)g2(z

)11z2z2==(3)对于i,有(z2+1)(z1)3(z+i)(zi)(z1)3(z+i)g3(z)

z=i都是有理函数的1阶极点.2022-2-114

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四、本性奇点假设在洛朗级数开展式中含有无穷多个zz0的负幂项，那么

孤立奇点z0称为函数f(z)的本性奇点.z例如：f(z)=e,=0是它的本性奇点,由于它的洛朗级数为：1z

121ne=1+z+z++z+,含有无穷多个z的负幂项.2!n!1

1z

假设z0为函数f(z)的本性奇点，且具有如下性质：

A,{zn}→z0,使得limf(z)=Az=zn→z0

即：假设z0为函数f(z)的本性奇点，那么极限limf(z)不存在且不是无穷大.z→z0

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函数例3.f(z)=e,点z=0为它的本性奇点.那么函数f(z)=e解：(1)当z沿正实轴趋向于0时，1z

1z

→+∞;1z

那么函数f(z)=e→0;(2)当z沿负实轴趋向于0时，

(3)假设对于给定复数A=i=e

写成

(+2nπ)i2

π

,要使e→i=e

1z

(+2nπ)i2

π

,

1可取数列zn=,n→∞时，zn→0,π(+2nπ)i2当z沿数列{zn}趋向于零时，有：lime=iz=zn→01z

由(1)、(2)、(3)分析得：极限limf(z)不存在.z→z0

故点z=0为f(z)=e的本性奇点.2022-2-116

1z

复变函数

孤立奇点z0为本性奇点的判别方法：设z0为函数f(z)的孤立奇点，那么以下条件是等价的,

(1)z0为函数f(z)的本性奇点；(2)函数f(z)在z0点洛朗级数开展式中含有无穷多个zz0的负幂项；

(3)极限limf(z)不存在(也不是无穷大).z→z0

0利用极限判断奇点的类型，当极限是型时，可以象0《高等数学》中那样用罗必达法那么来求:

假如函数f(z),g(z)是当z→z0,以零为极限的两个

f(z)f′(z)不恒等于零的解析函数，那么lim=lim.z→z0g(z)z→z0g′(z)2022-2-117

复变函数

讨论函数f(z)=例4.

1孤立奇点的类型.2(z1)(z2)

解：z=1,z=2是函数f(z)的两个孤立奇点，当z=1时,11f(z)=,2z1(z2)

1在z=1的某邻域内解析，且z=1处取值不等于0,2(z2)

z=1是函数f(z)的一阶极点；

11,当z=2时,f(z)=2(z2)z11在z=2的某邻域内解析，且z=2处取值不等于0,z1

z=2是函数f(z)的二阶极点.2022-2-118

复变函数

讨论函数f(z)=e例5.

1z1

的孤立奇点的类型.

解：f(z)=e

1z1

在整个复平面内除去点z=1外到处解析，

z=1是它的唯一的孤立奇点.将函数在0|z1|+∞内开展成洛朗级数，得到：e1z1

112=1+(z1)+(z1)++(z1)n+2!n!1

此级数含有无穷多个负幂项，故z=1是它的本性奇点.

201

2-2-1

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五、函数的零点与极点的关系1.零点的定义假设函数f(z)=(zz0)m(z),其中(z)在z0处解析，且(z0)≠0,

m为一正整数，那么称z0为函数f(z)的m阶零点.

例如：函数f(z)=z(z1)3,

z=0,z=1分别是f(z)的一阶零点和三阶零点.

定理1假如函数f(z)在z0处解析，那么z0为f(z)的m阶零点的充要条件是f(n)(z0)=0,n=0,1,2,(m1),f(m)(z0)≠0.

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