高考数学总复习-基础知识名师讲义-第六章-第四节基本不等式≤-(a-b∈R+-)-文

基本不等式：eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)(a，b∈R＋)1.了解基本不等式的证明过程.2.会用基本不等式解决简单的最大小值问题.知识梳理一、算术平均数与几何平均数的概念若a>0，b>0，则a，b的算术平均数是eq\f(a＋b,2)，几何平均数是eq\r(ab).二、常用的重要不等式和基本不等式1．若a∈R，则a2≥0，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))≥0(当且仅当a＝0时取等号)．2．若a，b∈R，则a2＋b2≥2ab(当且仅当a＝b时取等号)．3．若a，b∈R＋，则a＋b≥2eq\r(ab)(当且仅当a＝b时取等号)．4．若a，b∈R＋，则eq\f(a2＋b2,2)≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2(当且仅当a＝b时取等号)．三、均值不等式(基本不等式)两个正数的均值不等式：若a，b∈R＋，则eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)(当且仅当a＝b时取等号)．变式：ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2(a，b∈R＋)．四、最值定理设x>0，y>0，由x＋y≥2eq\r(xy)，有：(1)若积xy＝P(定值)，则和x＋y最小值为2eq\r(P).(2)若和x＋y＝S(定值)，则积xy最大值为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(S,2)))2.即积定和最小，和定积最大．运用最值定理求最值应满足的三个条件：“一正、二定、三相等”．五、比较法的两种形式一是作差，二是作商．基础自测1．(2012·深圳松岗中学模拟)若函数f(x)＝x＋eq\f(1,x－2)(x>2)在x＝n处有最小值，则n＝()A．1＋eq\r(2) B．1＋eq\r(3)C．4 D．3解析：f(x)＝x－2＋eq\f(1,x－2)＋2≥2eq\r(x－2·\f(1,x－2))＋2＝4，当且仅当x－2＝eq\f(1,x－2)，即x－2＝1，x＝3时，f(x)有最小值．故选D.答案：D2．(2013·广州二模)已知0＜a＜1，0＜x≤y＜1，且logax·logay＝1，那么xy的取值范围为()A．(0，a2] B．(0，a]C．(0，eq\f(1,a)] D．(0eq\f(1,a2)]解析：因为0＜a＜1,0＜x≤y＜1，所以logax＞0，logay＞0，所以logax＋logay＝loga(xy)≥2eq\r(logax·logay)＝2，当且仅当logax＝logay＝1时取等号．所以0＜xy≤a2.故选A.答案：A3．(2012·合肥重点中学联考)若直线2ax－by＋2＝0(a，b>0)始终平分圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的周长，则eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)的最小值是________．答案：44．当x>2时，不等式x＋eq\f(1,x－2)≥a恒成立，则实数a的取值范围是________．解析：因为x＋eq\f(1,x－2)≥a恒成立，所以a必须小于或等于x＋eq\f(1,x－2)的最小值．因为x>2，所以x－2>0.所以x＋eq\f(1,x－2)＝(x－2)＋eq\f(1,x－2)＋2≥4.所以a≤4.答案：(－∞，4]1．(2013·福建卷)若2x＋2y＝1，则x＋y的取值范围是()A．[0,2] B．[－2,0]C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2]解析：因为1＝2x＋2y≥2eq\r(2x×2y)，即2x＋y≤2－2，又因为2x＋y是增函数，所以x＋y≤－2，当且仅当2x＝2y，即x＝y时取等号．答案：D2．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x件，则平均仓储时间为eq\f(x,8)天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品()A．60件 B．80件 C．100件 D．120件解析：记平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和为f(x)，则f(x)＝eq\f(800＋\f(x,8)×x×1,x)＝eq\f(800,x)＋eq\f(x,8)≥2eq\r(\f(800,x)×\f(x,8))＝20，当且仅当eq\f(800,x)＝eq\f(x,8)(x＞0)，即x＝80时，取得最小值．故选B.答案：B1．(2012·高州三中模拟)已知a>0，b>0，则eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋2eq\r(ab)的最小值是()A．2 B．2eq\r(2) C．4 D．5解析：eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋2eq\r(ab)≥2eq\r(\f(1,ab))＋2eq\r(ab)≥4，当且仅当a＝b，eq\r(ab)＝1时，等号成立，即a＝b＝1时，表达式取得最小值为4.故选C.答案：C 2．(2013·东莞二模)已知x＞0，y＞0，且eq\f(1,x)＋eq\f(9,y)＝1，则2x＋3y的最小值为________．解析：由题意可得，2x＋3y＝(2x＋3y)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(9,y)))＝eq\f(3y,x)＋eq\f(18x,y)＋29≥2eq\r(\f(3y,x)·\f(18x,y))＋29＝29＋6eq\r(6)，当且仅当eq\f(