高考数学一轮复习数列多选题复习题及答案

高考数学一轮复习数列多选题复习题及答案一、数列多选题1．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，记为数列的前项和，则下列结论正确的是（）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】由题意可得数列满足递推关系，依次判断四个选项，即可得正确答案.【详解】对于A，写出数列的前6项为，故A正确；对于B，，故B错误；对于C，由，，，……，，可得：，故C正确.对于D，斐波那契数列总有，则，，，……，，，可得，故D正确；故选：ACD.【点睛】本题以“斐波那契数列”为背景，考查数列的递推关系及性质，考查方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意递推关系的灵活转换，属于中档题.2．已知数列满足，，，是数列的前n项和，则下列结论中正确的是（）A． B．C． D．【答案】CD【分析】根据数列满足，，得到，两式相减得：，然后利用等差数列的定义求得数列的通项公式，再逐项判断.【详解】因为数列满足，，，所以，两式相减得：，所以奇数项为1，3，5，7，….的等差数列；偶数项为2，4，6，8，10，….的等差数列；所以数列的通项公式是，A.令时，，而，故错误；B.令时，，而，故错误；C.当时，，而，成立，当时，，因为，所以，所以，故正确；D.因为，令，因为，所以得到递增，所以，故正确；故选：CD【点睛】本题主要考查等差数列的定义，等比数列的前n项和公式以及数列的单调性和放缩法的应用，还考查了转化求解问题的能力，属于较难题.3．如图，已知点是的边的中点，为边上的一列点，连接交于，点满足，其中数列是首项为1的正项数列，是数列的前项和，则下列结论正确的是（）A． B．数列是等比数列C． D．【答案】AB【分析】化简得到，根据共线得到，即，计算，依次判断每个选项得到答案.【详解】，故，共线，故，即，，故，故.，正确；数列是等比数列，正确；，错误；，故错误.故选：.【点睛】本题考查了向量运算，数列的通项公式，数列求和，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力.4．（多选题）数列满足，，则以下说法正确的为（）A．B．C．对任意正数，都存在正整数使得成立D．【答案】ABCD【分析】对于A，结合二次函数的特点可确定正误；对于B，将原式化简为，由得到结果；对于C，结合范围和A中结论可确定，由此判断得到结果；对于D，利用数学归纳法可证得结论.【详解】对于A，，若，则，又，可知，，又，，A正确；对于B，由已知得：，，B正确；对于C，由及A中结论得：，，，显然对任意的正数，在在正整数，使得，此时成立，C正确；对于D，（i）当时，由已知知：成立，（ii）假设当时，成立，则，又，即，，综上所述：当时，，D正确.故选：ABCD.【点睛】关键点点睛：本题考查数列与不等式的综合应用问题，关键在于能够熟练应用不等式的性质与函数的性质进行化简辨析，同时对于数列中的不等式证明问题，可采用数学归纳法进行证明.5．两个等差数列和，其公差分别为和，其前项和分别为和，则下列命题中正确的是（）A．若为等差数列，则B．若为等差数列，则C．若为等差数列，则D．若，则也为等差数列，且公差为【答案】AB【分析】对于A，利用化简可得答案；对于B，利用化简可得答案；对于C，利用化简可得答案；对于D，根据可得答案.【详解】对于A，因为为等差数列，所以，即，所以，化简得，所以，故A正确；对于B，因为为等差数列，所以，所以，所以，故B正确；对于C，因为为等差数列，所以，所以，化简得，所以或，故C不正确；对于D，因为，且，所以，所以，所以，所以也为等差数列，且公差为，故D不正确.故选：AB【点睛】关键点点睛：利用等差数列的定义以及等差中项求解是解题关键.6．在递增的等比数列中，已知公比为，是其前项和，若，，则下列说法正确的是（）A． B．数列是等比数列C． D．数列是公差为2的等差数列【答案】ABC【分析】计算可得，故选项正确；，，所以数列是等比数列，故选项正确；，所以数列是公差为的等差数列，故选项错误.【详解】为递增的等比数列，由得解得或∵为递增数列，∴∴，，故选项正确；∴，，∴，，∴数列是等比数列，故选项正确；所以,则，故选项正确.又，∴数列是公差为的等差数列，故选项错误.故选：ABC.【点睛】方法点睛：证明数列为等差（等比）数列常用的方法有：（1）定义法；（2）通项公式法（3）等差（等比）中项法（4）等差（等比）的前项和的公式法.要根据已知灵活选择方法证明.7．在数列中，如果对任意都有（为常数），则称为等差比数列，k称为公差比下列说法正确的是（）A．等差数列一定是等差比数列B．等差比数列的公差比一定不为0C．若，则数列是等差比数列D．若等比数列是等差比数列，则其公比等于公差比【答案】BCD【分析】考虑常数列可以判定A错误，利用反证法判定B正确，代入等差比数列公式判定CD正确.【详解】对于数列，考虑，无意义，所以A选项错误；若等差比数列的公差比为0，，则与题目矛盾，所以B选项说法正确；若，，数列是等差比数列，所以C选项正确；若等比数列是等差比数列，则，，所以D选项正确.故选：BCD【点睛】易错点睛：此题考查等差数列和等比数列相关的新定义问题.解决此类问题应该注意：（1）常数列作为特殊的等差数列公差为0；（2）非零常数列作为特殊等比数列公比为1.8．（多选）设数列是等差数列，公差为d，是其前n项和，且，则（）A． B． C．或为的最大值 D．【答案】BC【分析】根据得到，再根据得到，可得数列是单调递减的等差数列，所以或为的最大值，根据得，故BC正确.【详解】由得，，即，又，，，∴B正确；由，得，又，，∴数列是单调递减的等差数列，，或为的最大值，∴A错误，C正确；，，所以D错误.故选：BC．【点睛】关键点点睛：根据等差中项推出，进而推出是解题关键.二、平面向量多选题9．是边长为的等边三角形，已知向量、满足，，则下列结论中正确的有（）A．为单位向量 B． C． D．【答案】ABD【分析】求出可判断A选项的正误；利用向量的减法法则求出，利用共线向量的基本定理可判断B选项的正误；计算出，可判断C选项的正误；计算出，可判断D选项的正误.综合可得出结论.【详解】对于A选项，，，则，A选项正确；对于B选项，，，，B选项正确；对于C选项，，所以与不垂直，C选项错误；对于D选项，，所以，，D选项正确.故选：ABD.【点睛】本题考查向量有关命题真假的判断，涉及单位向量、共线向量的概念的理解以及垂直向量的判断，考查推理能力，属于中等题.10．如图，已知点为正六边形中心，下列结论中正确的是()A． B．C． D．【答案】BC【分析】利用向量的加法法则、减法法则的几何意义，对选项进行一一验证，即可得答案.【详解】对A，