高等数学下考试题库(附答案)

高等数学下考试题库(附答案)

高等数学》试卷1（下）一、选择题（3分×10）1.点M1(2,3,1)到点M2(2,7,4)的距离M1M2=（）.A.3B.4C.5D.62.向量a=-i+2j+k，b=2i+j，则有（）.A.a∥bB.a⊥bC.a,b=D.a,b=3.函数y=2-x^2-y^2+1/x+y-12/2+y^2的定义域是（）.A.{(x,y)|1<x<2,1≤x^2+y^2≤2}B.{(x,y)|x,y<0}C.{(x,y)|1<x≤2,2+y^2<2}D.{(x,y)|2+y^2<x}4.两个向量a与b垂直的充要条件是（）.A.a·b=0B.a×b=0C.a-b=0D.a+b=05.函数z=x+y-3xy的极小值是（）.A.2B.-2C.1D.-16.设z=xsiny，则∂z/∂y|(π/4,3/4)=（）.A.2/√2B.-2/√2C.2D.-27.若p级数∑n=1∞pn收敛，则（）.A.p1D.p≥18.幂级数∑n=1∞xn/n的收敛域为（）.A.[-1,1]B.(-1,1)C.[-1,1)D.(-1,1]9.幂级数∑n=2∞x^n/(n-1)在收敛域内的和函数是（）.A.1/(1-x)B.2/(1-x)^2C.2/(1+x)D.1/(1+x)10.微分方程xy'-ylny=0的通解为（）.A.y=cxB.y=e^xC.y=cxe^xD.y=ex二、填空题（4分×5）1.一平面过点A(1,2,3)且垂直于直线AB，其中点B(2,-1,1)，则此平面方程为______________________.2.函数z=sin(xy)的全微分是______________________________.3.设z=xy-3xy^2+1，则(∂^2z)/(∂x∂y)|3/2=-___________________________.三、计算题（5分×6）4.1.设z=esinv，而u=xy,v=x+y，求u∂z/∂x-∂z/∂y.2.已知隐函数z=z(x,y)由方程x^2+y^2+z^2=1确定，求∂z/∂x.3.设f(x,y)=x^2y-xy^2，求f在点(1,1)处的方向导数沿向量i+j的值.4.设z=f(x^2+y^2)，其中f(u)在u=1处可导，求∂z/∂x|P，其中P为曲线x^2+y^2=1,z=1上的点.5.设z=ln(x+y)cos(x-y)，求∂^2z/∂x^2-2∂^2z/∂x∂y+∂^2z/∂y^2.6.设f(x,y)在点(0,0)处可微，且f(0,0)=0，证明：∂f/∂x和∂f/∂y在点(0,0)处连续.1.已知函数f(x)在区间[0,1]上连续，且f(0)=0，f(1)=1，则方程f(x)=0在区间(0,1)内至少有（）个实根。A.0B.1C.2D.3答案：B解析：由题意可知，f(x)在[0,1]上连续，且f(0)=0，f(1)=1，因此f(x)在[0,1]上必然存在一点c使得f(c)=0.又因为f(x)在(0,1)内连续，所以方程f(x)=0在(0,1)内至少存在一个实根。2.设f(x)在区间[0,1]上连续，且f(0)=0，f(1)=1，则下列函数在[0,1]上必定存在零点的是（）。A.2x-1B.x^2-xC.x^3-xD.x^2-x+1答案：B解析：由题意可知，f(x)在[0,1]上连续，且f(0)=0，f(1)=1.对于选项A，当x=1/2时，函数值为0；对于选项B，当x=0或x=1时，函数值为0；对于选项C和D，它们在[0,1]上都没有零点。因此，选项B是正确答案。3.设f(x)在区间[0,1]上连续，且f(0)=0，f(1)=1，则函数g(x)=f(x)-x在[0,1]内必有（）个零点。A.0B.1C.2D.3答案：B解析：由题意可知，f(x)在[0,1]上连续，且f(0)=0，f(1)=1.函数g(x)=f(x)-x在[0,1]上也连续，且g(0)=0，g(1)=0，因此g(x)在[0,1]内必定存在至少一个零点。又因为g(x)是一次函数，所以在[0,1]内至多存在一个零点。因此，选项B是正确答案。4.已知函数f(x)在区间[0,1]上连续，且f(0)=0，f(1)=1，则下列结论错误的是（）。A.方程f(x)=1有解B.方程f(x)=1/2有唯一解C.方程f(x)=x有唯一解D.方程f(x)=x/2有解答案：D解析：由题意可知，f(x)在[0,1]上连续，且f(0)=0，f(1)=1.对于选项A，因为f(1)=1，所以方程f(x)=1有解；对于选项B，因为f(x)在[0,1]上单调递增，且f(0)=0，f(1)=1，所以方程f(x)=1/2有唯一解；对于选项C，因为f(x)在[0,1]上单调递增，且f(0)=0，f(1)=1，所以方程f(x)=x有唯一解；对于选项D，因为f(x)在[0,1]上单调递增，且f(0)=0，f(1)=1，所以方程f(x)=x/2在[0,1]内没有解。因此，选项D是错误的。5.设f(x)在区间[0,1]上连续，且f(0)=0，f(1)=1，则下列函数在[0,1]上必定存在最小值的是（）。A.2x-1B.x^2-xC.x^3-xD.x^2-x+1答案：C解析：由题意可知，f(x)在[0,1]上连续，且f(0)=0，f(1)=1.对于选项A，函数在[0,1]上单调递增，没有最小值；对于选项B，函数在[0,1]上单调递增，没有最小值；对于选项C，因为f(x)在[0,1]上连续，所以在[0,1]上必定存在最小值；对于选项D，函数在[0,1]上单调递增，没有最小值。因此，选项C是正确答案。一、选择题1、D2、C3、C4、A5、B6、D7、C8、A9、B10、A二、填空题1、arccos18，arcsin8/212、0.96，0.3、л4、+∞三、计算题1、解：因为x=t，y=t，z=t，所以x(t)=1，y(t)=2t，z(t)=3t，所以在t=1处，x=1，y=2，z=3.故切线方程为：(x-1)/(t-1)=(y-2)/(t-1)=(z-3)/(t-1)，法平面方程为：(x-1)+2(y-1)+3(z-1)=0，即x+2y+3z=6.2、解：因为D由直线y=1，x=2，y=x围成，所以D：1≤y≤2，y≤x≤2，故：∬Dxydσ=∫[∫xydx]dy=∫[y(x^2/2)|2-y]dy=1/8.3、解：这是交错级数，因为Vn=sin(π/n)，所以，Vn+1≤Vn，且limVn=0，所以该级数为莱布尼兹型级数，故收敛。又级数∑sin(π/n)当x趋于0时，sinx~x，所以，lim(n^2∑sin(π/n))=lim(nπ^2/6)=+∞，所以，原级数条件收敛。4、解：因为2!3.n!≤(n/2)^n，所以，|enx-1-x-x^2/2|≤x^3(n/2)^n/3.所以，limn→∞|enx-1-x-x^2/2|=0，即enx=1+x+x^2/2+o(x^3)。所以，e2x=1+(2x)+(2x)^2/2+o(x^3)，所以，e^x=√(e2x)=1+x+x^2/4+o(x^3)。四、应用题1、解：设长方体的三棱长分别为x，y，z，则2(xy+yz+zx)=a^2.构造辅助函数F(x,y,z)=xyz+λ(2xy+2yz+2zx-a)^2，求其对x,y,z的偏导，并使之为0，得：yz+2λ(y+z)=0，xz+2λ(x+z)=0，xy+2λ(x+y)=0.与2(xy+yz+zx)-a^2=0联立，由于x,y,z均不等于零，可得x=y=z=a/√6，所以V=xyz=a^3/(6√6)，所以表面积为S=2(xy+yz+zx)=2a^2/√3.2、解：据题意，a^2+b^2+c^2=1，所以2(ab+bc+ca)≤2(a^2+b^2+c^2)=2.所以，当且仅当a=b=c=1/√3时，2(ab+bc+ca)取到最大值2/3.所以，当a=b=c=1/√3时，V=abc=1/(3√3)，所以dV/dt=-(2/3)V，所以V=exp(-2t/3)/(3√3)，所以dV/dt=-2V/3，初始条件V(0)=1/(3√3)，所以V(t)=exp(-2t/3)/(3√3)。题目：高数试卷4（下）1.过点（1,1,1）的平面是（B）x+y+z=1.2.方程x^2+y^2=2表示圆。3.二元函数z=(1-x)^2+(1-y)^2的驻点是(0,0)和(1,1)。4.二重积分的积分区域D是1≤x^2+y^2≤4，则∬dxdy=3π。5.交换积分次序后∫dx∫f(x,y)dy=∫dy∫f(x,y)dx。6.n阶行列式中所有元素都是1，其值是1.8.下列级数收敛的是∑(n=1)∞(−1)^(n−1)/(n^3)。9.正项级数∑un和∑vn满足关系式un≤vn，则若∑un收敛，则∑vn收敛。10.已知：∑(n=1)∞(x^n)/(1−x^n)=1+x+x^2+…，则(1−x^2)/(1+x^2+x^4+…)的幂级数展开式为1+x^2+x^4+…。填空：1.数z=x^2+y^2−1+ln(2−x^2−y^2)的定义域为x^2+y^2<2.2.若f(x,y)=xy，则f(1,1)=1.3.已知(x,y)是f(x,y)的驻点，若f_xx(x,y)=3,f_yy(x,y)=12,f_xy(x,y)=a，则