高中数学必修二第六章第2节《平面向量的运算》解答题-(6)(含答案解析)

必修二第六章第2节《平面向量的运算》解答题(6)一、解答题（本大题共30小题，共360.0分）已知向量a=(2+sinx,1)，b=(2,-2)，(1)若x∈[-π2,π2(2)若函数f(x)=a⋅b(3)是否存在实数k，使得(a+d)⊥(b+c)?若存在，求出k的取值范围;已知向量a=(cosx,sinx)，b=3,-(1)若a//b，求(2)记函数f(x)=a·b，求函数f(x)的最大值和最小值以及相应x的值．

在四边形ABCD中，|AC|=2，BA⋅BC=7(1)若cos∠ABC=1213，求△ABC(2)若BE=2ED，求DA⋅DC的值．

在平行四边形ABCD中，AB=2，AD=1，∠BAD=60(1)求AB⋅(2)求cos∠BAC．

已知圆O内接△ABC，点D为边BC上一点，点E为边AC中点，AD与BE交于点P，且BP=4PE．

(1)用向量BA和BC表示BP;

(2)若AD=x(3)若AB=AC=2，则AO⋅AD是否为定值？若是，求出这个值；若不是，请说明理由．

如图，四边形ABCD是正方形，延长CD至E，使得DE=CD，连接AE.若动点P从点A出发，按如下路线运动：A→B→C→D→E→A→D，其中AP=λ(1)当点P为BC的中点时，求λ+μ的值;(2)满足λ+μ=1的点P有几个⋅

已知向量e1，e2，且|e1|=|e2|=1，e1与e2的夹角为π3．m=λe1+e2，n=3e1-2e2．(1)若|已知|a→|=4，|b→|=2，且a与b(2)|2a(3)a→与a→+b→的夹角．

如图所示，在四边形ABCD中：∠ACB=π3，AB=3，AC + BC=3，AC> BC，AB // CD.点E为四边形ABCD的外接圆劣弧(1)证明：AB⊥BC；(2)若，设∠DAE=α，y=f(α)，求f(α)的最小值．

已知a=(1,2)，b=(1,λ)，分别确定实数与的夹角为直角；

与平行；

与的夹角为锐角．

已知四边形ABCD中，BC//AD，BC=1，AD=3，△ABC是等边三角形，E为CD的中点，设AB=a，AD=b

(1)请用a，b来表示AC，AE

(2)求向量AE与向量AB的夹角的余弦值．

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c=5(1)若C=2B，求cosB的值(2)若AB⋅AC=CA⋅CB，求cos(B+π在平行四边形ABCD中，．(1)求AB•(2)求cos ∠BAC．

已知三个点A(2,1)，B(3,2)，D(-1,4)．(1)求证：AB⊥AD；(2)要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标以及矩形ABCD的两对角线所成的锐角的余弦值．

如图所示，在▵ABC中，AQ=QC，AR=13AB，BQ与CR相交于点I，(1)用AB和AC分别表示BQ和CR；(2)如果AI=AB+λBQ=(3)确定点P在边BC上的位置．

如图，已知|OA|=1，|OB|=2，|OC|=10，OA与OB的夹角为120∘，OA与OC的夹角为60∘，用OA与OB

如图1，在边长为3的正三角形ABC中，D，E，F分别为BC，AC，AB边上的点，且满足AF=EC=CD=1.将△AEF沿EF折起到△A1EF的位置，使平面A1EF⊥平面EFB，连接A(1)证明：DE⊥平面A1(2)求平面A1BD与平面A1EF所成锐二面角的余弦值．

已知|a|=2，b=3，向量a与向量b夹角为45°，求使向量a+λb与λa+b的夹角是锐角时，λ的取值范围．已知|a|=1，(1)若向量a与向量b的夹角为135°，求|a+b|(2)若向量a-b与向量a垂直，求向量a与b的夹角．

在平面直角坐标系xOy，O为坐标原点，A(-1,0)，B(cosθ,sinθ)(θ∈(0,π))，Q(1,3)，(Ⅰ)若OQ⊥OC，求θ的值;(Ⅱ)记f(θ)=OA⋅OC+S，求f(θ)的取值范围．

已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点Q(22,32)，椭圆上的动点P与其短轴两端点连线斜率乘积为-12．

(1)求椭圆E的方程；

(2)设F1，F2分别为E的左、右焦点，直线l过点F已知向量a

= (cosx,sinx)，

b

= (cosy,siny)(1)若2|a+b|=|a-b|，求cos(x-y)的值；

(2)若m=(-1,1)，m⊥b，x，y在锐角ΔABC中，内角A，B，C的对边分别是a,b,c，D点是BC边上的中点．(1)

求AD(2)若BC=2，且满足c(1+cosA)=a(2cosA+cosB)，求中线AD的取值范围．

已知向量a=(12(Ⅰ)若函数y=f(x+φ), φ∈(0,π)为偶函数，求φ的值；(Ⅱ)若f(θ)=1, θ∈(0,π)，求cosθ的值．

已知向量a=(1)求a-b的坐标以及a-(2)当t∈-1,1时，求a-tb的取值范围．

如图，点C是点B关于点A的对称点，点D是线段OB的一个靠近点B的三等分点，设AB=(1)用向量a与b表示向量OC(2)若OE=45OA，求证：C，D，E三点共线．

设P是椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)上异于长轴顶点A1，A2的任意一点，过P作C的切线与分别过A1，(1)求椭圆C的方程；(2)以B1B2为直径的圆是否过x轴上的定点？如果过定点，请予以证明，并求出定点；如果不过定点，说明理由．

已知a，b是两个不共线的非零向量．(1)记OA=a，OB=tb，OC=13(a+(2)若|a|=|b|=1，且a与b的夹角为120°，则当实数x为何值时，|a-xb|的值最小已知a，b，c在同一平面内，且a=(1,2)．

(1)若|c|=35，且a//c，求c;

(2)若，且(a+2b)⊥(a已知向量a=sinx,-3(1)若a⊥b，求(2)在▵ABC中，AC=2且fB=0，求▵ABC面积的最大值．

【答案与解析】1.答案：解：(1)∵b+c=(∴-(2+sinx)=sin又x∈[-π2,π(2)∵a=(2+sin∴f(x)=a⋅又x∈R，∴当sinx=-1时，f(x)有最小值，且最小值为0(3)∵a+d若(a+d即(3+sin．由sinx∈[-1,1]，得k∈[-5,-1]∴存在k∈[-5,-1]，使得(

解析：本题主要考查向量的数量积，向量的坐标运算，以及向量平行的充要条件，属于中档题．

(1)先求出b+c，再根据a//(b+c)找到向量坐标满足的关系式，根据x的范围，就可求出x的值；

(2)根据向量的数量积求出f(x)=2sinx+2，然后根据正弦函数的图象和性质即可求出f(x)的最小值；

(3)先假设存在实数k，使(a+d)⊥(b+c)，则所以-3若cosx=0，则sinx=0，与sin2故cosx≠0．于是tan又x∈[0,π]，所以x=5π(2)f(x)==3=23因为x∈[0,π]，所以x+π从而-1≤cos于是，当x+π6=π6，即x=0当x+π6=π，即x=5π6

解析：本题考查向量共线、数量积的概念及运算、平面向量的坐标运算、同角三角函数的基本关系、辅助角公式、三角函数的值域．

(Ⅰ)利用向量共线的坐标运算法则，结合同角三角函数的基本关系求解；

(Ⅱ)利用数量积的坐标运算、辅助角公式化简f(x)，再结合x的范围求解．

3.答案：解：(1)∵cos∠ABC=1213，∠ABC∈(0,π)，

∴sin∠ABC=1-(1213)2=513，

∵BA⋅BC=|BA||BC|cos∠ABC=|BA||BC|⋅1213=7，

∴|BA||BC|=9112，解析：本题考查了同角三角函数的基本关系，数量积的计算公式，三角形的面积公式，通过建立平面直角坐标系，利用坐标解决向量问题的方法，以及向量数量积的坐标运算．

(1)容易求出sin∠ABC=513，并且可求出|BA||BC|的值，根据三角形面积公式即可求出△ABC的面积；

(2)可以E为坐标原点，AC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，并可得到A(-1,0)，C(1,0)，并设D(x,y)，根据条件可求得E点坐标，从而求出BA,BC的坐标，进行数量积的坐标运算即可求得x2+y2=2，这样便可求出DA⋅DC的值．

4.答案：解：(1)由题意，在□ABCD中，AB=2，AD=1，∠BAD=60°，

所以AB⋅解析：本题主要考查平面向量的加、减运算，平面向量的数量积和正弦定理和同角三角函数的基本关系

，属于中档题．

(1)利用向量的加法和数量积运算即可求解；

(2)先求出AC=7，然后利用正弦定理即可得，再由同角三角函数基本关系即可求解；

5.答案：(Ⅰ)因为点E为边AC中点，AD与BE交于点P，且BP→所以BP→(2)因点D为边BC上一点，所以存在实数t，使得BC→因此BP→因为A，P，D三点共线，所以25t+2即BC→=32BD又AD→=xAB→+y(Ⅱ)分别取AB，AC的中点M，N，连接OM，ON，则OM⊥AB，ON⊥AC，

所以AO→⋅AB又AB=所以AO=46+

解析：本题考查了平面向量的基本定理及其应用

，以及向量的加法、减法、数乘运算、考查了学生的运算能力，属于中档题．(1)根据平面向量基本定理，由向量的运算法则，得到BP；

(2)设BC→=tBD→，根据三点共线的充要条件，得到t=32，再由向量运算法则，用(3)根据向量数量积的几何意义，得到AO→⋅AB→=

6.答案：解：(1)连接AC，因为点P为BC的中点，所以AP=1因为DE=CD，所以CE=2所以AE=因为AP=λ所以AP=(λ-2μ)AB因为AB，AC不共线，由 ① ②可得λ-2μ=12所以λ+μ=2．(2)若λ+μ=1，则λ=1-μ，因为AP=λ所以AP=(1-μ)所以AP-AB=μ(所以B，P，E三点共线，所以动点P运动至点B，E以及BE与边AD的交点时满足条件，即满足λ+μ=1的点P有3个．

解析：本题考查平面向量的计算及平面向量的基本定理，属于中档题，

(1)先得到AP=12AB⇀+ 12AC，再得到AP=(λ-2μ)AB ⇀+μAC，根据向量相等的条件，建立方程组，解方程组即可．

(2)即(λ因为e1=e2=1，e所以λ2即λ2+λ-6=0.所以λ=2(2)由前面解答知e12=e2而|m|2=(λe1+e2)2=化简得3λ所以λ=2或λ=-13.经检验知λ=-

解析：本题考查向量的模、数量积问题，属于较难题．

(1)利用模相等可得(λ2-9)e1+(2λ+12)e1⋅e(1)由题意，a⋅所以(a(2)因为(2a所以|2a(3)因为(a所以|a+b所以cos<所以a→与a→+

解析：本题考查了向量的数量积、模长的计算，考查了向量的夹角公式，属于基础题．(1)先计算a→⋅b(2)先对2a(3)先对a→+b

9.答案：解：(1)在△ABC中，，AB=3，

由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2AC⋅BC⋅cos∠ACB⋅，

所以3=(AC+BC)2-3AC⋅BC，

又因为AC+BC=3，所以AC⋅BC=2，

所以AC，BC分别为方程x2-3x+2=0的两根，

因为AC>BC，所以AC=2，BC=1，

所以AC2=AB2+BC2，所以AB⊥BC，

(2)因为AB⊥BC，所以AC是四边形ABCD的外接圆的直径，AD⊥DC，

所以四边形ABCD为矩形，连接DE，∠AED=∠ACD=π6，

设AE交CD于F，作CG平行于AF且交AB于G，则四边形AGCF为平行四边形，

所以AC=AG+AF，

因为AC=xAB+yAE(x,y∈R)，

由平面向量基本定理知：AF=yAE，

所以y=AFAE，

在△ADE中，因为∠AED=π6，∠DAE=α解析：本题考查了三角函数和向量知识的综合运用，难度较大，

(1)在△ABC中，∠ACB=π3，AB=3，由余弦定理求出，AC=2，BC=1，应用勾股定理可得答案，

(2)首先说明四边形ABCD为矩形，连接DE，∠AED=∠ACD=π6，

然后说明四边形AGCF为平行四边形，可得y=AFAE，利用正弦定理结合三角函数的化简求值可得答案；

10.答案：解：设与的夹角为θ，，|b→|=1+λ2，．

(1)因为与的夹角的直角，所以，

所以1+2λ=0，所以λ=-12；

(2)因为与平行，所以λ-2=0，∴λ=2；

(3)因为与的夹角为锐角，

所以cosθ<0且cosθ≠-1，

即且、不同向．

由，得λ>-12，

由与同向得λ=2．

所以λ解析：本题考查的是向量的夹角以及数量积的运算．

(1)根据两个向量的夹角为直角，即可求出λ的值；

(2)根据向量平行得出坐标的比例关系，求出λ的值．

(3)根据两个向量的夹角为锐角，得到cosθ的范围，继而得到有关λ的不等式，求解即可．

11.答案：解：(1)由图可知AC=因为E是CD的中点，

所以AE=(2)因为BC//AD，△ABC为等边三角形，BC=1，

所以，AB=1，所以a⋅所以AE⋅|AE设AE与AB的夹角为θ，

则cos θ=所以向量AE与AB夹角的余弦值为-13

解析：本题考查了向量的三角形法则、数量积的运算性质、向量的夹角公式，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．

(1)利用向量加法运算，直接计算AC=AB+BC=AB+13AD，AE=12(AC+AD)即可．

则由正弦定理，得sinC=5又C=2B，所以sin2B=即4sinB又B是△ABC的内角，所以sinB>0，故cos(2)因为AB⋅所以cbcos则由余弦定理，得b2得a=c从而cos=c又因为0<B<π，所以sinB=从而cos=3

解析：本题考查正余弦定理以及两角和与差的三角函数公式．

(1)由正弦定理，得sinC=52sinB，又C=2B，即sin2B=52sinB，即4sinBcosB=5sinB，从而可求cosB的值;

(2)由AB⋅AC=CA⋅CB，可得cbcosA=bacosC，

由余弦定理得b2+c2-a2=b2+a2-c2解析：本题主要考查平面向量的加、减运算，平面向量的数量积和正弦定理和同角三角函数的基本关系

，属于中档题．

(1)利用向量的加法和数量积运算即可求解；

(2)先求出AC=7，然后利用正弦定理即可得，再由同角三角函数基本关系即可求解；

14.答案：(1)证明：∵A(2,1)，B(3,2)，D(-1,4)，

∴AB=(1,1)，AD=(-3,3)，

∴AB⋅(2)解：∵AB⊥AD，四边形ABCD为矩形，

∴AB=DC．

设点C的坐标为(x,y)，

则DC=(x+1,y-4)．

又∵AB=(1,1)，

∴x+1=1,y-4=1,

解得x=0,y=5.

∴点C的坐标为(0,5)．

∴AC=(-2,4)，BD=(-4,2)，

∴|AC|=25，

解析：本题主要考查了向量垂直的判定与运用、向量相等的坐标间关系、向量的夹角与数量积，向量的坐标运算，属于中档题．

(1)计算向量AB,AD的坐标，通过计算它们的数量积为0判定垂直即可；

(2)根据题意得到向量AB=DC进而列方程组求得点C坐标，最后利用向量的数量积及夹角公式求得结果．

15.答案：(2)由(1)知：AIAI∴1-λAB→+(3)设BP→=mBC→，AP∴又BP∴n5-1AB∴BP→=23BC→，即BPPC=2.

解析：本题考查平面向量的加减数乘运算、平面向量基本定理的应用，考查计算能力，属中档题．(1)直接利用平面向量的加减数乘运算法则计算即可解答；(2)由(1)知：AI→=AB→+λ12AC→-(3)设BP→=mBC→，AP→=nAI→由(2)知：AI→=15

16.答案：解：以O为坐标原点，向量OA所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，如下图：

因为|OA|=1，|OB|=2，|OC|=10，OA与OB的夹角为120∘，OA与OC的夹角为60∘，

所以OA=1,0，OB=2cos120°,2sin120°=-1,3，解析：本题考查了向量的模，向量的夹角，向量的加法和数乘运算，平面向量的基本定理及其应用和平面向量的坐标运算，属于中档题．

以O为坐标原点，向量OA所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，利用平面向量的坐标表示得向量OA、OB和OC的坐标，设OC=xOA+yOB，利用向量加法和数乘的坐标运算得5,53=x-y,3y，再利用平面向量的基本定理得x-y=53y=53，最后计算得结论．

17.答案：由正三角形性质知DE // BF，所以DE⊥EF，所以在图2中，A1F⊥EF，因为平面A1EF⊥平面EFB，平面A1EF∩平面EFB=EF，所以DE⊥平面A1(2)解：据(1)知A1F，EF，BF两两垂直，故建立如图所示的空间直角坐标系则B(2,0，0)，D(1,3,0)，A1(0,所以BD=(-1,3,0)设平面A1BD的法向量为m⊥BD,m⊥BA平面A1EF的一个法向量为设平面A1BD与平面A1EF所成锐二面角为所以，平面A1BD与平面A1

解析：本题主要考查面面垂直的性质以及二面角的求解，建立坐标系，利用法向量是解决本题的关键，是中档题．

(1)利用面面垂直的性质即可证明DE⊥平面A1EF；

(2)建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法即可求平面A1BD与平面A1EF所成锐二面角的余弦值．设a+λb与λa+b∴cosθ=a+λb∴a+λb·∴2λ+31+λ2解得λ<-11-856当a+λb与存在k>0，使得a+λ即得kλ=1λ=k，∴k=λ=1，

因为a,b综上，λ的取值范围为(-∞,-11-

解析：本题考查向量的数量积和夹角，考查了学生的计算能力，培养了学生分析问题与解决问题的能力，属于中档题．根据题意，由向量a+λb与λa+b的夹角是锐角可得a

19.答案：解：(1)由已知得|a+b|2=(b在a上的投影向量为bcos(2)由已知得(a-b)⋅a=0，即a2∴向量a与b的夹角为π4

解析：本题考查平面向量的数量积及夹角的计算，投影向量的求解，属于中档题．(1)根据平面向量数量积的运算律求出a+b，再根据投影向量公式求出b在(2)根据向量垂直，数量积为零，即可得到a⋅

20.答案：解：(Ⅰ)由已知条件，

因为OQ⊥OC，所以OQ⋅OC=0，

即，

，

又∵0<θ<π,∴π6<θ+π6<7π6，

所以θ+π6=5π6，可得θ=2π3；

(Ⅱ，

由OC=OA+OB，可知四边形解析：本题考查的是平面向量的坐标运算，数量积，辅助角公式，正弦型函数的性质，属于中档题．

(Ⅰ)由OQ⊥OC，所以OQ⋅OC=0，即，即可得出θ的值;

(Ⅱ)由OC=OA+OB，可知四边形OACB为平行四边形，则S=sin(π-θ)，所以，即可得出f(θ)的取值范围．

21.答案：解：(1)设B1(0,b)，B2(0,-b)为短轴两端，则x2a2+y2b2=1；

由于y-bx×y+bx=y2-b2x2=-b2a2=-12，所以a2=2b2，①

又Q在E上，所以12a2+34b2=1②

解①②得解析：本题考查了椭圆的性质，以及直线和椭圆的相交问题，属于中档题．

(1)设B1(0,b)，B2(0,-b)为短轴两端，则x2a2+y2b2=1；由于y-bx×y+bx=y2-b2x2=-b2a2=-12，所以a2=2b2，①又Q在E上，所以12a2+34b2=1②求得a，b的值即可；

(2)设直线l：x=my-1，代入x22+y2=1得m2+2y2-2my-1=0③设A(x1,y1)，B(x2,y2)则y1+y2解析：本题考查向量的数量积的坐标表示和性质，向量的平方即为模的平方，考查正弦型函数的性质，属于中档题．

(1)运用平方法，结合向量的数量积的坐标表示和性质，向量的平方即为模的平方，再由两角的差的余弦公式，计算即可得到所求值；

(2)运用向量垂直的数量积的坐标表示，可得

b=(22,22)，利用数量积运算可得a·b=sinx+π4，从而可得答案．

23.答案：解：(1)由AD=12(AB+AC)，

得|AD|=12(AB+AC)2

=12AB2+2AB·AC+AC2

=b2+c2+2bccosA解析：本题考查向量的加法运算，考查正弦定理、余弦定理，考查三角恒等变换及二次函数性质，属于较难题．

(1)由AD=12(AB+AC)，结合|AD|=12(AB+AC)2，即可求得；

(2)由正弦定理及三角恒等变换可得b+c=2a=4，由锐角得b的范围，结合(1)可得|AD|=4(b-2)2+122，即可求得中线AD的取值范围．

24.答案：解：(Ⅰ)∵a=(12,sin2x),b=(1+cos2x,32)，

∴f(x)=a·b=12(1+cos2x)+32sin2x=32sin2x+解析：本题考查函数y=Asin(ωx+φ)的奇偶性、平面向量的数量积、两角和与差的三角函数公式，属于中档题．

(Ⅰ)利用平面向量的数量积及两角和的正弦公式化简f(x)，再利用y=f(x+φ)为偶函数，即可求得(Ⅱ)由f(θ)=1，可求得θ的值，进而求得cosθ

25.答案：解：(1)因为向量a=(1,3)，b=(-2,0)，

所以a-b=(1,3)-(-2,0)=(3,3)，

设a-b与a之间的夹角为θ，

则cos(2)∵a-tb=(1,3)-t(-2,0)=1+2t,3

∴a-tb=1+2t2+3=4t+12

解析：本题主要考查向量的坐标运算，向量的数量积和向量的模，考查了二次函数的单调性，考查学生综合分析及解决问题能力，属于中档题．

(1)由已知条件能表示出a-b的坐标，设a-b与a之间的夹角为θ，根据cos θ=(a-b)⋅a|a-b||a|，代入求值即可得出结果；

(2)求出a-tb的坐标，由|a-tb|=(1+2t)2+3=4(t+12)2+3，结合函数的二次函数的单调性，即可求出取值范围．

解析：本题考查的知识点是向量加减法的三角形法则和向量的共线定理，后者是难点，在利用向量法证明三点共线时，我们可利用三点构造出两个向量，先证明这两个向量共线，再说明它们有公共点，进而得到三点共线．

(1)由点C是点B关于点A的对称点，则A为BC的中点，由于OC=OA+AC，CD=CB+BD=CB+13BO=CB+13(BA+AO)，结合已知条件，及向量加减法的三角形法则，我们易得结论．

(2)要证明C、D、E三点共线，我们可以证明存在一个实数λ，使CE=λ(2)设P(x0,y0)，由于P是异于长轴顶点A1，A2的任意一点，故切线斜率存在．

设过P的椭圆的切线为y=kx+b，联立方程y=kx+bx24+y23=1，

得(3+4k2)x2+8kbx+4b2-12=0，Δ=(8kb)2-4(3+4k2)(4b2-12)=0，

结合y0=kx0+bx024+y