高中物理竞赛-话题5：多质点在动态多边形顶点的相遇问题和多解问题

PAGEPAGE4话题5：多质点在动态多边形顶点的相遇问题和多解问题一、问题引入有两个运动质点位于一条线段的两端，作相对运动，两质点一定会相遇。大量质点位于一个圆周上，一个质点接一个质点运动，结果运动沿圆周循环运动，永不相遇。这是多边形两种极限情况，那么对于其间边形情况如何呢?二、物理模型两两相距均为的三个质点、、，同时分别以相同的匀速率运动，运动过程中的运动速度方向始终指着当时所在的位置、始终指着当时所在的位置、始终指着当时所在的位置。试问经过多少时间三个质点相遇？1、证明三个质点运动始终还是正三角形。三个质点刚开始在很小一段时间内每个质点移动，由于很小，可以认为在此时间内运动方向不变。三个质点在后运动到了,则因，易知仍为正三角形，而且原的中心仍为新的中心。2、求三个质点从开始到相聚所用时间。任意时刻,第一个质点朝着点的速度分量恒为由对称性可知，第二、第三个质点朝着点的速度分量也为上述。这样经过,三质点相聚。从开始到相聚第个质点走过路程为.3、讨论每个质点加速度的大小变化。考虑在开始时，设在一极短的时间间隔后，三个质点从,,三点分别到达相应,,，在这段短时间内第一个质点近似经历，引起速度方向改变的小角度，如图所示，从图中可看出曲率半径表达式为最后得质点开始的加速度大小为从表达式可知，随着三角形的逐渐收缩，加速度越来越大。4、对运动轨迹的思考质点所走的轨迹到底是什么曲线呢？很难描绘它们的运动轨迹。用具体而形象的思维去简化与纯化它们的运动，在一个追一个循环运动规则联系下，按一定的时间顺序和空间关系，考虑对称性，三个质点总是位于新三角形的三个顶点上，而新三角形在不断翻转和收缩，最终他们会聚在原三角形的中心。（如图所示）将运行轨迹的计算归纳如下：考虑当一个物体以恒定的速度围绕固定点运动，其速度和位置矢量之间的夹角为一定值。假设位置矢量的初始值为,当其转过一个小角度后，其长度变化为，则由于的定值这个公式很像辐射衰减方程,已知此方程的解为,与此类似，在极坐标中质点移动路径的方程为即这个方程就是所谓的对数螺旋方程，表明三个质点所走的轨迹是半径在转过无穷多圈后趋向于零，角速度越来越大的“螺旋环”。这一点与前面得到的结论是一致的，最后理论上当经过有限的时间角速度趋于无限大时，三个质点在中心相遇。三、模型的其它解法解法二：由前面分析，结合小量近似有：以上各式中，，,并有，（三人相遇）。所以，三个质点一起运动到目标于原正三角形的中心，所需的时间为解法三：设t时刻三角形边长为，经极短时间后边长变为。根据图中的几何关系，应用三角形的余弦定理可得在时，可略去二阶小量项，因此这表明等边三角形边长的收缩率为。从初始边长缩短到需时间为所以根据分运动与和运动的等时性，相遇时间解法四：以B为参照系，在两者连线方向上对B的相对速率恒为。最终追及，相对运动距离为，所用时间为四、模型的拓展1：如四个质点从正方形顶点出发，已知正方形边长为，结果如何？（答案：）2：有五个花样滑冰运动员表演一种节目，表演的动作规定为：开始时五人分别从正五边形的五个顶点出发，