高中物理竞赛-话题3：两体问题-特殊质点组

PAGEPAGE13话题3：两体问题特殊质点组一、“一推一拉”物体运动的问题模型：两个完全相同的木块与,质量均为,在一条导轨上光滑运动。它们之间用一劲度系数系数为原长为的弹簧连接。开始处于静止状态，突然给一向右的初速度，求它们以后的运动规律。1、讨论简谐振动的运动方程质量的质点在劲度系数系数为原长为的弹簧作用下做简谐振动，求运动规律。取弹簧原长处为坐标原点，牛顿定律给出方程方程的一般解与质点速度分别是其中为振动角频率。式中系数初位相由初条件确定。(1)设初条件是；,,利用基本关系：,，得到方程解出,则质点的运动规律是(2)设初条件是；,,利用基本关系：,，得到方程解出,则质点的运动规律是(3)设初条件是；,,利用基本关系：,，得到方程解出谐振子的动能和势能分别是总能量则是2、求“一推一拉”物体运动规律分别用,表示与的绝对坐标，系统质心坐标为两个木块在质心系中的坐标分别是因为与的质量相等，相对质心坐标等大反向。质心做匀速直线运动，速度为质心做匀速运动，是一个惯性坐标系。在实验室坐标系质点在质点的弹性力作用下做简谐振动，牛顿方程是同样质点受到的作用力作用下运动，质点与之间的弹性力是一对作用反作用力。牛顿方程是式中,都是绝对加速度。显然方程与都含有两个坐标与而不能分离变量，为此进行变换，得到相对坐标满足的方程。为解出运动方程，把，得到引入相对坐标与加速度：,相对坐标是以质点为坐标原点，测量质点相对的坐标。式化成为可以看成质量为的质点在弹性力作用下的运动。方程的意义：以为坐标原点，研究质量为的质点在受的作用力下的运动！方程的一般解是初条件是：初始坐标为，相对初速度是，得出满足初条件的解相对速度是角频率是下面计算每个质点的运动。利用基本关系,该问题还可以这样求解。因为质心做匀速运动，是惯性参考系。在质心坐标系，质点与都做谐振动。初条件是：:,:弹簧长度减半，相当于弹簧的劲度系数,，求出,再来计算系统动能的改变初始动能是：任意时刻系统的动能：动能改变则是：如果，是因为内力（弹性力）做了负功。二、特殊质点组由大量质点组成的质点系统，由于质点之间存在相互作用力，这些作用力一般是质点坐标、速度的函数，同时质点系还受到质点系外其他物体的作用力，因此严格求解质点系的运动几乎是不可能的。即使对仅有两个质点组成的两体系统，严格求解也存在很多困难，只能在一些限制下给出质点运动方程的解。系统仅有两个质点组成，其质量分别是与，两质点之间存在相互作用力为两质点之间距离的函数，是一个有势的保守力。不及外部质点对他们的作用力。这样的质点系称为两体封闭系统。由于描述两个质点的位置需要个独立坐标，也即系统的自由度为，而内力为相对坐标的函数，这是包含个独立变量的函数，数学上难以分离变量而无法求解。因此需要引入新的变量,把两体问题转化为单体问题求解。1、两体问题的特点分别用、与表示质点、以及质心相对惯性参考系的位置矢径(如图所示),有时也称实验室坐标系，它们满足关系其中总质量是由于外力等于零，因此系统动量守恒，质心作匀速直线运动，由式可以看出动量关系是质心坐标系是惯性坐标系。2、两体问题坐标系实验室坐标系的位矢为的位矢为质心的位矢为相对的位矢为相对的位矢为相对的位矢为以质心为坐标原点，建立质心坐标系。两个质点与的位置矢径分别用与表示，过作指向的矢量，则存在关系由此得到质心坐标系中，两个质点相对质心系动量和为零但质心的动量不一定为零，质心做匀速速度。由求出坐标矢量之间的关系只要能够求出相对位置矢径，则可利用可以求出两个质点质心坐标系中的位置矢径。再利用关系可以求出两个质点相对实验室坐标系的位置矢径。质心坐标系也是一个惯性坐标系。由式得到相对速度与质点速度的关系进而得到质心系中的速度与相对速度的关系利用则给出绝对速度的关系为,3、两体运动方程在质心系分别写出两个质点的运动方程式利用关系,则相对加速度为。并注意到粒子之间的作用力为等大反向：,由上面的方程得到称为折合质量，方程与一个质量为的粒子在力作用下的运动方程式一样。方程可以理解为：在为坐标原点，研究质量为的质点，在对的作用力下的运动。、坐标与,质心坐标相对的坐标，速度与加速度,,,相对质心的坐标,质心坐标与相对坐标的关系,动力学方程两体动力学方程4、两体系统的动能在实验室坐标系中两体的动能可表示成质心的动能与相对质心动能的和其中,分别是相对质心动能与质心的动能。但相对质心的动能可以表示为系统的总动能是质心的动能与相对质心动能的和，这是质点组科尼西定理的具体应用。5、两体角动量总角动量等于相对质心的角动量与质心角动量的矢量和。在两体质心坐标系中总的角动量表示成利用关系,,以及关系，则相对质心的角动量能够表示为由于两体之间作用力是中心力，因此角动量守恒，即6、两体问题方法求解例1、一炮弹质量为，射出时的水平及竖直分速度分别为,。当炮弹达到最高点时，其内部的炸药产生能量，使炸弹分为质量与的两部分。在开始时，两者仍延原方向飞行，试求他们落地时相隔的距离(不及空气阻力)。方法一、在质心系讨论。系统为两个质点组成的质点组，在水平方向不受外力作用。设与在质心坐标系中水平速度分别为与，按照动量、能量定理给出方程为由式把用表出，代入式求出若取则按照式，得到由此得到这个速度差值就是两块炮弹绝对速度之差值。利用炮弹在竖直方向上的速度，求出由最高点落地时间为利用式子求出分离距离是方法二、本题也可以用“两体问题”方法求解。由能量定理给出求出两部分的相对速度为利用式的时间，同样求出完全相同的分离距离。方法三、在实验室坐标系中求解。设与的水平速度分别为与，按照动量、能量定理给出方程为由式把用表出，代入式求出若取则按照式，得到由此得到例2、质量为与的木块放在水平面上光滑的导槽内运动，由弹簧相联结(弹性劲度系数为,原长为)。一个质量为的子弹以速度与发生非弹性正碰撞。计算弹簧的最大压缩长度，相对桌面的最大速度与最小速度。方法一、在实验室坐标系中求解。与发生非弹碰撞，动量守恒。设合速度为研究与构成的系统，弹性力为内力。设弹簧的最大压缩长度为,此时三个质点速度相同，设为.动量、能量守恒给出。由以上三式求出当弹簧恢复到原长时，弹性势能零。势能转化为动能。设此时的速度为.的速度为,按照动量、能量守恒给出由以上两式求出解出方法二、在质心坐标系求解三个质点构成系统的质心的速度是又与碰撞结束后与以及的速度分别为求出质心系,碰撞结束后与的初速度分别是当弹簧最大伸长时，与相对质心的速度都为零。此时只有弹性势能，按照能量守恒得出同样求出弹簧恢复原长时，弹性势能转变为动能，质点速度取得极大。设此时与相对质心的速度分别是,,按照能量守恒，得到方程动量守恒得到由以上两式解出相对桌面的速度则是方法三、