高中物理竞赛-话题20：“弹弓效应”问题

PAGEPAGE1话题20：“弹弓效应”问题一、小球垂直碰撞反弹模型在一个高度为的高楼上，有个质量依次减小的小球，以，，，，的次序紧密相随做自由落体运动，小球与地面碰撞或彼此碰撞都为弹性碰撞。到达地面时的速度为，经与地面碰撞后，反弹向上，在零时间与正在垂直向下的相碰撞，使反弹向上，并依次在零时间发生各球间的相互碰撞。、当，证明:如果时，则有.如果时，则有.在,即个小球的情况下,二球在没有碰撞前都有向下的速度（如图）如取向上为正方向，与地碰撞前后的速度分别是和，大小相同方向相反（图和），设和碰撞后的速度为,与碰撞后的速度为，见图.对和碰撞前后应用动量和动能守恒定律，有由式，有由式，有式除以式，得即由式代入式得.如果，则有.小球反弹能达到的最大高度为.如果时，则有，由于，故小球反弹能达到的最大高度为.其效果就如同被大球这个“弹弓”弹射出去的一样。、当，证明:如果时，则有.如果时，则有.如果时，则有.在时,如图示出各小球的速度。从地面反弹时，速度为;和的速度都为,见图;和碰撞后，二者的速度为和，见图;和碰撞后的速度为和，见图.当以向上，与向下的相碰撞时，由式和式，分别得，。由式：,代入式得用式消去式中的，解得如果,则;如果,则;小球反弹能达到的最大高度为.如果,则;如果,则有;反弹后能达到的最大高度为.、当取个小球，如果时，则有.上升高度为.第个小球的动能，对于的值取得非常大时，是的动能的倍如果第个小球反弹获得的速度为，方向垂直向上。、如在高度为的塔楼做这实验，为使小球获得第二宇宙速度,最少应用使用几个小球？通过估算知道，如用,则有所以用个球时，小球可以达到第二宇宙速度。例1：如图示是一个物理演示实验，它显示图中自由落体的物体和经反弹后，能上升到比初始位置高得多的地方．是某种材料做成的实心球，质量,在其顶部的凹的坑中插着质量的木棍，只是松松地插在凹坑中，其下端与坑底之间有小空隙．将此装置从下端离地板的高度处由静止释放．实验中，触地后在极短时间内反弹，且速度大小不变；接着木棍脱离球开始上升，而球恰好停留在地板上，求木棍上升的高度，重力加速度．解析:实心球和木棍开始做自由落体运动，设它们就要落地的瞬间速度为，由运动学公式由题意，触地后在极短的时间内反弹，速度变为向上，大小不变，仍为，而木棍由于松松地插在凹坑中，其下端与坑底间有空隙，受到的作用力的冲量可忽略，可认为速度大小，方向不变．由于的速度变为向上，的速度仍向下，,相向运动，之间接着产生很强的作用力，对作用力的冲量使的速度方向变为向上，设大小为,而对的冲量使的速度由减为零，恰好停留在地板上，这一过程属于碰撞模型，可认为在竖直方向,系统的动量守恒，取向上为正，由动量守恒定律得：以后，脱离以初速度做竖直上抛运动，设木棍上升的最大高度为，由机械能守恒定律得：,由以上几式联立，解得：二、太空中的“弹弓效应”．在太空中，也会有这种“弹弓效应”．如图，设相对恒星，大行星的速度为，卫星(质量远小于行星)以速度经历了一次与大行星的弹性碰撞——在万有引力作用下靠近行星，后又远离，碰撞后的分离速度大小是，则对恒星而言，卫星以大小为的速度被行星“弹射”出去，这种类似的“弹弓效应”，已被应用于空间探测，研究太阳系中诸多行星的大环游．例2：空间探测器从行星旁绕过时，由于行星的引力作用，可以使探测器的运动速率增大，这种现象被称之为“弹弓效应”。在航天技术中，“弹弓效应”是用来增大人造小天体运动速率的一种有效方法。如图所示的是“弹弓效应”示意图：质量为的空间探测器以相对于太阳的速度飞向质量为的行星，此时行星相对于太阳的速度为，绕过行星后探测器相对于太阳的速度为，此时行星相对于太阳的速度为，由于,，，，的方向均可视为相互平行，试写出探测器与行星构成的系统在上述过程中“动量守恒”及“始末状态总动能相等”的方程，并在的条件下，用和来表示.若上述行星是质量为的土星，其相对于太阳的轨道速率，而空间探测器的质量，相对于太阳迎向土星的速率，则由于“弹弓效应”，该探测器绕过土星后相对于太阳的速率将增为多大？若探测器飞向行星时其速度与行星的速度同方向，则是否仍能产生使探测器速率增大的“弹弓效应”，简要说明理由。解：以探测器初始时速度的反方向为速度的正方向由动量守恒定律有：由动能守恒有：得