第四章-复变函数的级数

第四章复变函数的级数§1复数项级数§2复变函数项级数§3泰勒级数§4洛朗级数11.复数序列的极限极限：数列：？？记作§1复数项级数2复数列收敛与实数列收敛的关系：证明3定理说明:可将复数列的敛散性转化为判别两个实数列的敛散性。4例1

下列数列是否收敛?如果收敛,求出其极限.解：(1)所以5而该极限不存在，故该极限不存在。3.复数项级数表达式称为复数项级数.6前n

项的和称为级数的前n

项部分和.级数收敛与发散的概念7解：复数项级数与实数项级数收敛的关系：例28证明：因为根据复数列收敛定理9所以原级数发散.例3解级数收敛的必要条件：10重要结论:证明：称为条件收敛.如果

收敛,称级数

为绝对收敛.定义：如果

收敛,而不收敛的级数11绝对收敛级数的性质：证明：由于而根据实数项级数的绝对收敛性,知12而解

数列是否收敛？例413例5

解：级数满足必要条件,

而故原级数发散。14例6故原级数收敛,且为绝对收敛.所以由正项级数的比值判别法知:因为解r<1时收敛,r>1时发散r=1时可能收敛或发散151.复变函数项级数称为复变函数项级数。

称为该级数前n项的部分和.级数前n项的和§2复变函数项级数16称为该级数在区域D上的和函数.如果级数在D内处处收敛,那么它的和收敛：和函数：且？？17当时，幂级数是函数项级数的特殊情形得到的级数称为2.幂级数的定义其中Cn(n=0,1,2,∙∙∙∙∙∙)及z0为常数幂级数，即183.幂级数的敛散性证明：因而存在正数M,使对所有的n,由级数收敛的必要条件，定理：如果级数在收敛,那么当时,级数绝对收敛。Abel(阿贝尔)19推论：故由正项级数的比较判别法得:20证明：则由Abel定理,而这与推论矛盾，(得证)21(1)对任意的复数都收敛.由Abel定理:级数在复平面内绝对收敛.例如,级数对任意给定的

z,则从某个n开始,有于是该级数对任意的实数

z均收敛.该级数在复平面内绝对收敛.(2)对任意的复数(除z=z

0外)都发散.4.收敛圆与收敛半径对于一个幂级数,其收敛的情况有三种:22(3)既存在使级数发散的复数,也存在使级数收敛的复数.通项nnzn不趋于零,例如,级数级数发散.由函数收敛的必要条件,由Abel定理，级数在23..收敛圆收敛半径..由Abel定理的推论，级数在24在收敛圆上是收敛还是发散,要对具体级数进行具体分析.级数对于任意复数都发散时,R=0级数对于任意复数都收敛时,R=∞定义：注意：约定：25方法1(比值法)方法2(根值法)5.收敛半径的计算方法26例1

试求幂级数(p为正整数)的收敛半径.解=127例2级数的收敛半径，并讨论它们在收敛圆上的敛散性。解：根据比值法，三个级数都有由于令z=cosj+isinj,则28故在收敛圆周上无收敛点;故在收敛圆上处处收敛；296.幂级数的性质30则内解析.设幂级数的收敛半径为R,31例3

求的和函数.解收敛范围为一单位圆域且有在此圆域内,绝对收敛,收敛半径为1,级数收敛,级数发散.32(2)解(1)例4求下列幂级数的收敛半径:(1)(2)(3)(4)33故(3)所以(4)34解:把函数写成如下的形式:其中，a与b是不相等的复常数.例5把函数表成形如的幂级数35级数收敛,且其和为z=b时，级数发散由Abel定理，级数在故级数的收敛半径为36例6

求级数的收敛半径与和函数.解利用逐项积分,得:所以37例7

求级数的收敛半径与和函数.解381.Taylor级数展开定理定理z0到边界上各点的最短距离为d,设f(z)在区域D内解析，z0为D内一点，时,f(z)可以展开成幂级数当其中.d§3Taylor(泰勒)级数39d..内任意点证明：C.在D内任取一点z0，z0到边界的最短距离为d，r为半径作一圆周，以z0为圆心，由Cauchy积分公式,有40其中C取正方向.则于是41其中由于f(z)在内解析，由连续函数的性质，存在故所以从而f(z)在C内收敛，42由高阶导数公式,上式可写成由0<r<d

的任意性，

可以得到Taylor级数展开式(得证)。而收敛幂级数f(z)在收敛圆内可逐项积分43那么即因此,任何解析函数展开成幂级数的结果就是泰勒级数,且解析函数的泰勒级数唯一.泰勒展开式是唯一的说明：44函数解析的充要条件是在该点的邻域内可以展开为幂级数。若f(z)在z0解析，设α为f(z)距z0最近的奇点，则泰勒系数是用z0处的导数表出的，也可用积分表出：45常用方法:

直接法和间接法.1.直接法:由Taylor展开定理直接计算系数2.函数展开为Taylor级数例如：？46故有472.间接法:借助于一些已知函数的展开式,结合幂级数运算性质(逐项求导,积分等)和其它数学技巧(代换等),求函数的Taylor展开式.例如：？48例1解上式两边逐项求导,49例2分析xy-1050即将展开式两端沿C逐项积分,得解51例3

解52例4解53例5解54例6解且5556附:常见函数的泰勒展开式5758591问题的引入上节研究了如下的幂级数：对于一般的函数项级数应该可以取具有负幂的：§4Laurent(洛朗)级数60负幂项部分正幂项部分主要部分解析部分同时收敛Laurent级数收敛61收敛半径收敛域收敛半径收敛域两收敛域无公共部分,两收敛域有公共部分R62结论:.常见的特殊圆环域:...63任一幂级数，如果收敛，必在圆域内收敛，且和函数在圆域内解析。已知：如果Laurent级数收敛，必在圆环域内收敛，且和函数在圆环域内解析。问题：在圆环域内解析的函数是否可以展开成Laurent级数?幂级数的特征：(2)在圆域内的解析函数一定能展开成幂级数。642.Laurent级数展开定理C为圆环域内绕的任称为为Laurent系数.定理一正向简单闭曲线.65证明：对于第一个积分:Rr.z..66分析：收敛极限为067对于积分:Rr.z..注意到6869如果C为在圆环域内绕的任何一条正向简单闭曲线.则可用一个式子表示为:则70

Laurent级数展开式必是唯一的假设Laurent级数还有另一展开式为：故区域为圆盘有泰勒展式，为圆环则有洛朗展式。泰勒展开式是洛朗展开式的特殊情形713.函数的Laurent展开式(1)直接展开法利用定理公式计算系数然后写出根据Laurent级数展开式的唯一性,运用代换、求导和积分等方法去展开.(2)

间接展开法很少用！72例如，都不解析,而在圆环域及内都解析.73也可以展开成级数：Laurent展开式是唯一的.唯一性

:指函数在某一个给定的圆环域内的74例1解由已知函数的展开式可以直接得到75例2

内解析,把f(z)展成Laurent级数.解oxy17612oxy由77且仍有782oxy由仍有此时79解：

例380例4内的Laurent展开式.解：

2i-ixyo812i-ixyo8283例5解：2xy084解1：例6将下列函数在指定圆环内展开为洛朗级数85解2：86复数项级数函数项级数充要条件必要条件幂级数收敛半径R复变函数绝对收敛运算与性质收敛条件条件收敛复数列收敛半径