2025版高考数学一轮总复习考点突破第4章三角函数解三角形高考大题规范解答-高考中三角函数综合问题的热点题型考点1解三角形中角平分线中线高线问题

解三角形中角平分线、中线、高线问题(2023·新课标一卷，17)(10分)已知在△ABC中，A＋B＝3C,2sin(A－C)＝sinB．(1)求sinA；(2)设AB＝5，求AB边上的高．[解析]解法一：(1)第1步：利用三角形的内角和为π以及已知角的等式，求出角C在△ABC中，A＋B＝π－C，因为A＋B＝3C，所以3C＝π－C，所以C＝eq\f(π,4).(1分)第2步：把三角式往要求的角A转化因为2sin(A－C)＝sinB，所以2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A－\f(π,4)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)－A))，(2分)第3步：利用两角差的正弦公式及特殊角的三角函数值转化为关于角A的三角等式展开并整理得eq\r(2)(sinA－cosA)＝eq\f(\r(2),2)(cosA＋sinA)，(3分)得sinA＝3cosA，(4分)第4步：利用同角三角函数的基本关系求出sinA又sin2A＋cos2A＝1，且sinA>0，所以sinA＝eq\f(3\r(10),10).(5分)(2)利用等面积法求高第1步：利用正弦定理求出BC由正弦定理eq\f(BC,sinA)＝eq\f(AB,sinC)，得BC＝eq\f(AB,sinC)×sinA＝eq\f(5,\f(\r(2),2))×eq\f(3\r(10),10)＝3eq\r(5)，(6分)第2步：利用余弦定理求出AC由余弦定理AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcosC，(7分)得52＝AC2＋(3eq\r(5))2－2AC·3eq\r(5)coseq\f(π,4)，整理得AC2－3eq\r(10)AC＋20＝0，解得AC＝eq\r(10)或AC＝2eq\r(10)，第3步：利用三角形中大边对大角，得AC的值由(1)得，tanA＝3>eq\r(3)，所以eq\f(π,3)<A<eq\f(π,2)，又A＋B＝eq\f(3π,4)，所以B>eq\f(π,4)，即C<B，所以AB<AC，所以AC＝2eq\r(10)，(8分)第4步：利用等面积法，求出AB边上的高设AB边上的高为h，则eq\f(1,2)×AB×h＝eq\f(1,2)×AC×BCsinC，(9分)即5h＝2eq\r(10)×3eq\r(5)×eq\f(\r(2),2)，解得h＝6，所以AB边上的高为6.(10分)解法二：(1)在△ABC中，A＋B＝π－C，因为A＋B＝3C，所以3C＝π－C，所以C＝eq\f(π,4).(1分)因为2sin(A－C)＝sinB，所以2sin(A－C)＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)，(2分)所以2sinAcosC－2cosAsinC＝sinAcosC＋cosAsinC，(3分)所以sinAcosC＝3cosAsinC，易得cosAcosC≠0，所以tanA＝3tanC＝3taneq\f(π,4)＝3，(4分)又sinA>0，所以sinA＝eq\f(3,\r(32＋12))＝eq\f(3\r(10),10).(5分)(2)利用正弦定理及直接法求高第1步：利用第(1)问的结论判断A的范围，求出cosA由(1)知sinA＝eq\f(3\r(10),10)，tanA＝3>0，所以A为锐角，(6分)所以cosA＝eq\f(\r(10),10)，(7分)第2步：利用两角差的正弦公式求出sinB所以sinB＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)－A))＝eq\f(\r(2),2)(cosA＋sinA)＝eq\f(\r(2),2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(10),10)＋\f(3\r(10),10)))＝eq\f(2\r(5),5)，(8分)第3步：利用正弦定理求出AC由正弦定理eq\f(AC,sinB)＝eq\f(AB,sinC)，得AC＝eq\f(AB·sinB,sinC)＝eq\f(5×\f(2\r(5),5),\f(\r(2),2))＝2eq\r(10)，(9分)第4步：解直角三角形，求出AB边上的高故AB边上的高为AC×sinA＝2eq\r(10)×eq\f(3\r(10),10)＝6.(10分)【变式训练】在△ABC中，AB＝2，AC＝4，角A为钝角，△ABC的面积为2eq\r(3).(1)若D是BC的中点，求AD的长度；(2)若E是边BC上一点，AE为△ABC的角平分线，求AE的长度．[解析](1)∵AB＝2，AC＝4，△ABC的面积为2eq\r(3)，∴S△ABC＝eq\f(1,2)AB·AC·sin∠BAC＝eq\f(1,2)×2×4×sin∠BAC＝2eq\r(3)，∴sin∠BAC＝eq\f(\r(3),2)，又∠BAC为钝角，∴∠BAC＝eq\f(2π,3)，∵D是BC的中点，∴eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))，∴eq\o(AD,\s\up6(→))2＝eq\f(1,4)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))2，又AB＝2，AC＝4，∠BAC＝eq\f(2π,3)，∴|eq\o(AD,\s\up6(→))|2＝eq\f(4＋16＋2\o(AB,\s\up6(→))·\o(AC,\s\up6(→)),4)＝3，∴|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝eq\r(3)，即AD＝eq\r(3).(2)∵AE为△ABC的角平分线，∴∠BAE＝∠CAE＝eq\f(1,2)∠BAC＝eq\f(π,3)，∵S△ABC＝S△ABE＋S△ACE，∴eq\f(1,2)AB·AE·sineq\