2025版高考数学一轮总复习考点突破第5章平面向量与复数第1讲平面向量的概念及其线性运算考点2向量的线性运算

向量的线性运算角度1向量加、减法的几何意义设非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则(A)A．a⊥b B．|a|＝|b|C．a∥b D．|a|>|b|[解析]解法一：利用向量加法的平行四边形法则．在▱ABCD中，设eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，由|a＋b|＝|a－b|知，|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝|eq\o(DB,\s\up6(→))|，从而四边形ABCD为矩形，即AB⊥AD，故a⊥b.解法二：∵|a＋b|＝|a－b|，∴|a＋b|2＝|a－b|2.∴a2＋b2＋2a·b＝a2＋b2－2a·b.∴a·b＝0.∴a⊥b.角度2向量的线性运算1.(2022·新高考Ⅰ卷)在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA，记eq\o(CA,\s\up6(→))＝m，eq\o(CD,\s\up6(→))＝n，则eq\o(CB,\s\up6(→))＝(B)A．3m－2n B．－2m＋3nC．3m＋2n D．2m＋3n[解析]eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(CB,\s\up6(→))，即eq\o(CB,\s\up6(→))＝－2eq\o(CA,\s\up6(→))＋3eq\o(CD,\s\up6(→))＝－2m＋3n.故选B.2.(2024·宣城模拟)我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示．在“赵爽弦图”中，若eq\o(BC,\s\up6(→))＝a，eq\o(BA,\s\up6(→))＝b，eq\o(BE,\s\up6(→))＝3eq\o(EF,\s\up6(→))，则eq\o(BF,\s\up6(→))＝(B)A.eq\f(12,25)a＋eq\f(9,25)b B．eq\f(16,25)a＋eq\f(12,25)bC.eq\f(4,5)a＋eq\f(3,5)b D．eq\f(3,5)a＋eq\f(4,5)b[解析]eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)eq\o(EA,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)(eq\o(EB,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→)))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)\o(BF,\s\up6(→))＋\o(BA,\s\up6(→))))，即eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)\o(BF,\s\up6(→))＋\o(BA,\s\up6(→))))，解得eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\f(16,25)eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(12,25)eq\o(BA,\s\up6(→))，即eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\f(16,25)a＋eq\f(12,25)b.角度3根据向量线性运算求参数(2023·济南模拟)如图，在平行四边形ABCD中，F是BC的中点，eq\o(CE,\s\up6(→))＝－2eq\o(DE,\s\up6(→))，若eq\o(EF,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AD,\s\up6(→))，则x＋y＝(C)A．1 B．6C.eq\f(1,6) D．eq\f(1,3)[解析]因为四边形ABCD是平行四边形，所以eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))，因为eq\o(CE,\s\up6(→))＝－2eq\o(DE,\s\up6(→))，所以eq\o(ED,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(DC,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))，连接AF，在△AEF中，所以eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(EA,\s\up6(→))＋eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\o(ED,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BF,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))，又因为eq\o(EF,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AD,\s\up6(→))，所以x＝eq\f(2,3)，y＝－eq\f(1,2)，故x＋y＝eq\f(1,6).名师点拨：平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略1．考查向量加法或减法的几何意义．2．求已知向量的和或差．一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则；求首尾相连的向量的和用三角形法则．3．与三角形综合，求参数的值．求出向量的和或差，与已知条件中的式子比较，求得参数．4．与平行四边形综合，研究向量的关系．画出图形，找出图中的相等向量、共线向量，将所求向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解．【变式训练】1．(角度1)(2022·湖北宜昌一中月考)已知a，b是两个非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，则下列说法正确的是(D)A．a＋b＝0B．a＝bC．a与b共线反向D．存在正实数λ，使a＝λb[解析]因为a，b是两个非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，所以a与b共线同向，故D正确．2．(角度2)(2022·长沙模拟)如图，在梯形ABCD中，BC＝2AD，DE＝EC，设eq\o(BA,\s\up6(→))＝a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，则eq\o(BE,\s\up6(→))＝(D)A.eq\f(1,2)a＋eq\f(1,4)b B．eq\f(1,3)a＋eq\f(5,6)bC.eq\f(2,3)a＋eq\f(2,3)b D．eq\f(1,2)a＋eq\f(3,4)b[解析]解法一：如图所示，取BC的中点F，连接AF，因为BC＝2AD，所以AD＝CF，又AD∥CF，所以四边形ADCF为平行四边形，则AF∥CD，所以eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(FA,\s\up6(→)).因为DE＝EC，所以eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(FA,\s\up6(→))，所以eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(FA,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(BA,\s\up6(→))－eq\o(BF,\s\up6(→)))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(BA,\s\up6(→))－\f(1,2)\o(BC,\s\up6(→))))＝eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)a＋eq\f(3,4)b，故选D.解法二：如图，连接BD，因为DE＝EC，所以eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(BA,\s\up6(→))＋\f(1,2)\o(BC,\s\up6(→))＋\o(BC,\s\up6(→))))＝eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)a＋eq\f(3,4)b，故选D.3．(角度3)(2023·长春调研)在△ABC中，延长BC至点M使得BC＝2CM，连接AM，点N为AM上一点且eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AM,\s\up6(→))，若eq\o(AN,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AC,\s\up6(→))，则λ＋μ＝(A)A.eq\f(1,3) B．eq\f(1,2)C．－eq\f(1,2) D．－eq\f(1,3)[解析]由题意，知eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BM,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)×eq\f(3,2)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→)