2025版高考数学一轮总复习考点突破第6章数列第1讲数列的概念与简单表示法考点2

由an与Sn的关系求通项公式角度1已知Sn求an问题1.若数列{an}的前n项和Sn＝n2－10n，则此数列的通项公式为an＝2n－11.[解析]当n＝1时，a1＝S1＝1－10＝－9；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－10n－[(n－1)2－10(n－1)]＝2n－11.当n＝1时，2×1－11＝－9＝a1，所以an＝2n－11.故填2n－11.2．若数列{an}的前n项和Sn＝2n＋1，则此数列的通项公式为an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3n＝1，,2n－1n≥2)).[解析]当n＝1时，a1＝S1＝21＋1＝3；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n＋1)－(2n－1＋1)＝2n－2n－1＝2n－1.综上有an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3n＝1，,2n－1n≥2.))故填eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3n＝1，,2n－1n≥2.))3．(2023·福州质检)已知数列{an}满足a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1an＝eq\f(n,2)，n∈N*，则数列{an}的通项公式为an＝eq\f(1,2n)(n∈N*).[解析]∵a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1an＝eq\f(n,2)，①∴当n≥2时，a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－2an－1＝eq\f(n－1,2)，②①－②得，2n－1an＝eq\f(1,2)，∴an＝eq\f(1,2n)(n≥2)，③又∵a1＝eq\f(1,2)也适合③式，∴an＝eq\f(1,2n)(n∈N*).角度2由Sn与an的关系求anSn是各项均为正数的数列{an}的前n项和，且Sn＝aeq\o\al(2,n)＋eq\f(1,2)an－14，则an＝(A)A.eq\f(n＋7,2) B．n＋3C.eq\f(n＋9,2) D．eq\f(n＋8,3)[解析]由题得Sn＝aeq\o\al(2,n)＋eq\f(1,2)an－14，Sn－1＝aeq\o\al(2,n－1)＋eq\f(1,2)an－1－14(n≥2)，两式相减得an＝aeq\o\al(2,n)－aeq\o\al(2,n－1)＋eq\f(1,2)an－eq\f(1,2)an－1(n≥2)，所以aeq\o\al(2,n)－aeq\o\al(2,n－1)－eq\f(1,2)an－eq\f(1,2)an－1＝0(n≥2)，所以(an－an－1)(an＋an－1)－eq\f(1,2)(an＋an－1)＝0(n≥2)，所以(an＋an－1)·eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(an－an－1－\f(1,2)))＝0(n≥2).因为数列各项均为正数，所以an＋an－1>0，所以an－an－1－eq\f(1,2)＝0(n≥2)，所以an－an－1＝eq\f(1,2)(n≥2)，所以数列{an}是以a1为首项，以eq\f(1,2)为公差的等差数列.令n＝1得a1＝aeq\o\al(2,1)＋eq\f(1,2)a1－14，解得a1＝4或－eq\f(7,2)(舍去)，所以an＝4＋eq\f(1,2)(n－1)＝eq\f(n＋7,2).故选A.名师点拨：已知Sn求an的一般步骤1．当n＝1时，由a1＝S1，求a1的值.2．当n≥2时，由an＝Sn－Sn－1，求得an的表达式.3．检验a1的值是否满足2中的表达式，若不满足，则分段表示an.4．写出an的完整表达式.Sn与an关系问题的求解思路根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化.1．利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式.2．利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式，再求解.【变式训练】1．(角度1)(2023·福建三明一中期中)已知Sn为数列{an}的前n项和，且log2(Sn＋1)＝n＋1，则数列{an}的通项公式(B)A.an＝2n B．an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3，n＝1，,2n，n≥2))C.an＝2n－1 D．an＝2n＋1[解析]由log2(Sn＋1)＝n＋1，得Sn＋1＝2n＋1.当n＝1时，a1＝S1＝3；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n，所以数列{an}的通项公式为an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3，n＝1，,2n，n≥2.))故选B.2．(角度2)(2023·辽宁部分重点高中高三联考)已知数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn＝2an－1，则{an}的通项公式为(B)A.an＝2n－1 B．an＝2n－1C.an＝2n－1 D．an＝2n＋1[解析]当n＝1时，S1＝2a1－1＝a1，∴a1＝1.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1，∴an＝2an－1.因此an＝2n－1(n≥2).又n＝1时，2n－1＝1＝a1，∴an＝2n－1.故选B.3．(角度1)设数列{an}满足a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝eq\f(n,3).则an＝eq\f(1,3n).[解析]因为a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝eq\f(n,3)，①则当n≥2时，a1