2025版高考数学一轮总复习素养提升第3章导数及其应用第1讲导数的概念及运算

公切线问题的模型求解曲线的公切线问题是高考的热点题型之一．其中单一曲线的切线问题相对简单，但对于两条曲线的公切线问题的求解，就比单一曲线的切线问题要复杂．方法更灵活，具体的求解方法如下：方法一：利用其中一曲线在某点处的切线与另一曲线相切，列出关系式求解；方法二：设公切线l在曲线y＝f(x)上的切点为P1(x1，f(x1))，在曲线y＝g(x)上的切点为P2(x2，g(x2))则f′(x1)＝g′(x2)＝eq\f(fx1－gx2,x1－x2)，再解决相关问题．1．求两条曲线的公切线(2023·黑龙江齐齐哈尔期末联考)若直线y＝kx＋b是曲线y＝lnx＋2的切线，也是曲线y＝ln(x＋1)的切线，则b＝(C)A．1 B．eq\f(1,2)C．1－ln2 D．1－2ln2[解析]设y＝kx＋b与y＝lnx＋2和y＝ln(x＋1)的切点分别为(x1，lnx1＋2)和(x2，ln(x2＋1))．则切线分别为y－lnx1－2＝eq\f(1,x1)(x－x1)，y－ln(x2＋1)＝eq\f(1,x2＋1)(x－x2)．化简得y＝eq\f(1,x1)x＋lnx1＋1，y＝eq\f(1,x2＋1)x－eq\f(x2,x2＋1)＋ln(x2＋1)，依题意，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,x1)＝\f(1,x2＋1),lnx1＋1＝－\f(x2,x2＋1)＋lnx2＋1))，解得x1＝eq\f(1,2)，从而b＝lnx1＋1＝1－ln2.故选C．[引申]本例中两曲线公切线方程为y＝2x＋1－ln2.[解析]k＝eq\f(1,x1)＝2，∴公切线方程为y＝2x＋1－ln2.名师点拨：同时和曲线y＝f(x)、y＝g(x)都相切的直线称为两曲线的公共切线．设直线与曲线y＝f(x)切于(x1，f(x1))与曲线y＝g(x)切于(x2，g(x2))，则切线方程为y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)，即y＝f′(x1)x＋f(x1)－f′(x1)x1.同理y＝g′(x2)x＋g(x2)－g′(x2)x2.∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f′x1＝g′x2，,fx1－f′x1x1＝gx2－g′x2x2，))解出x1、x2，从而可得切线方程．由此可知两曲线公切线的条数即为上述方程组解的个数．【变式训练】已知f(x)＝ex(e为自然对数的底数)，g(x)＝lnx＋2，直线l是f(x)与g(x)的公切线，则直线l的方程为y＝ex或y＝x＋1.[解析]设l与f(x)＝ex的切点为(x1，y1)，则y1＝ex1，f′(x)＝ex，所以f′(x1)＝ex1，所以切点为(x1，ex1)，切线斜率k＝ex1，所以切线方程为y－ex1＝ex1(x－x1)，即y＝ex1·x－x1ex1＋ex1①，同理设l与g(x)＝lnx＋2的切点为(x2，y2)，所以y2＝lnx2＋2，g′(x)＝eq\f(1,x)，所以g′(x2)＝eq\f(1,x2)，切点为(x2，lnx2＋2)，切线斜率k＝eq\f(1,x2)，所以切线方程为y－(lnx2＋2)＝eq\f(1,x2)(x－x2)，即y＝eq\f(1,x2)·x＋lnx2＋1②，由题意知，①与②相同，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ex1＝\f(1,x2)⇒x2＝e－x1③，,－x1ex1＋ex1＝lnx2＋1④，))把③代入④有－x1ex1＋ex1＝－x1＋1，即(1－x1)(ex1－1)＝0，解得x1＝1或x1＝0，当x1＝1时，切线方程为y＝ex；当x1＝0时，切线方程y＝x＋1，综上，直线l的方程为y＝ex或y＝x＋1.2．由公切线求参数(2022·全国甲卷)已知函数f(x)＝x3－x，g(x)＝x2＋a，曲线y＝f(x)在点(x1，f(x1))处的切线也是曲线y＝g(x)的切线．(1)若x1＝－1，求a；(2)求a的取值范围．[分析](1)求出切点坐标→求出导函数f′(x)eq\o(→,\s\up7(导数的几何意义))求得切线的斜率→点斜式求出切线方程→将切线方程代入y＝g(x)→根据判别式为0求得a的值(2)求出导函数f′(x)eq\o(→,\s\up7(导数的几何意义))求出切线方程→将切线方程代入y＝g(x)→根据判别式为0求得a的值→求导研究函数h(x)的单调性，求得其值域→求得a的取值范围[解析](1)当x1＝－1时，f(－1)＝0，所以切点坐标为(－1,0)．由f(x)＝x3－x，得f′(x)＝3x2－1，所以切线斜率k＝f′(－1)＝2，所以切线方程为y＝2(x＋1)，即y＝2x＋2.将y＝2x＋2代入y＝x2＋a，得x2－2x＋a－2＝0.由切线与曲线y＝g(x)相切，得Δ＝(－2)2－4(a－2)＝0，解得a＝3.(2)由f(x)＝x3－x，得f′(x)＝3x2－1，所以切线斜率k＝f′(x1)＝3xeq\o\al(2,1)－1，所以切线方程为y－(xeq\o\al(3,1)－x1)＝(3xeq\o\al(2,1)－1)(x－x1)，即y＝(3xeq\o\al(2,1)－1)x－2xeq\o\al(3,1).将y＝(3xeq\o\al(2,1)－1)x－2xeq\o\al(3,1)代入y＝x2＋a，得x2－(3xeq\o\al(2,1)－1)x＋a＋2xeq\o\al(3,1)＝0.由切线与曲线y＝g(x)相切，得Δ＝(3xeq\o\al(2,1)－1)2－4(a＋2xeq\o\al(3,1))＝0，整理，得4a＝9xeq\o\al(4,1)－8xeq\o\al(3,1)－6xeq\o\al(2,1)＋1.令h(x)＝9x4－8x3－6x2＋1，则h′(x)＝36x3－24x2－12x＝12x(3x＋1)(x－1)，由h′(x)＝0，得x＝－eq\f(1,3)，0,1，h(x)，h′(x)随x的变化如下表所示：xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,3)))－eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，0))0(0,1)1(1，＋∞)h′(x)－0＋0－0＋h(x)极小值极大值极小值由上表知，当x＝－eq\f(1,3)时，h(x)取得极小值heq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))＝eq\f(20,27)，当x＝1时，h(x)取得极小值h(1)＝－4，易知当x→－∞时，h(x)→＋∞，当x→＋∞时，h(x)→＋∞，所以函数h(x)的值域为[－4，＋∞)，所以由4a∈[－4，＋∞)，得a∈[－1，＋∞)，故实数a的取值范围为[－1，＋∞)．名师点拨：两曲线存在公切线求参数的取值范围问题的解题思路是：由两切线为同一直线得到两个方程，然后消去x1和x2中的一个，转化为方程在特定区间上有解的问题，再分离参数转化为相应函数的值域问题，其中要关注自变量的取值范围．【变式训练】若曲线y＝lnx与曲线y＝x2＋2x＋a(x<0)有公切线，则实数a的取值范围是(－1－ln2，＋∞).[解析]设(x1，y1)是公切线和曲线y＝lnx的切点，则切线斜率k1＝(lnx)′|x＝x1＝eq\f(1,x1)，切线方程为y－lnx1＝eq\f(1,x1)(x－x1)，整理得y＝eq\f(1,x1)·x＋lnx1－1.设(x2，y2)是公切线和曲线y＝x2＋2x＋a(x<0)的切点，则切线斜率k2＝(x2＋2x＋a)′|x＝x2＝2x2＋2，切线方程为y－(xeq\o\al(2,2)＋2x2＋a)＝(2x2＋2)(x－x2)，整理得y＝(2x2＋2)x－xeq\o\al(2,2)＋a，其中x2<0.令eq\f(1,x1)＝2x2＋2，lnx1－1＝－xeq\o\al(2,2)＋a，则x1＝eq\f(1,2x2＋2)，代入第二个方程得a＝－ln(2x2＋2)＋xeq\o\al(2,2)－1.又x1>0，则－1<x2<0.设f(x)＝－ln(