2025版高考数学一轮总复习素养提升第5章平面向量与复数第3讲平面向量的数量积

有关数量积的最值问题的四种解法一、目标函数法已知扇形AOB的半径为1，面积为eq\f(π,3)，P是eq\o\ac(AB,\s\up10(︵))上的动点，则eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))的最小值为－eq\f(3,2).[解析]因为扇形AOB的半径为1，面积为eq\f(π,3)，设∠AOB＝α，所以eq\f(1,2)α＝eq\f(π,3)，所以α＝eq\f(2,3)π，以O为坐标原点，直线OA为x轴，建立平面直角坐标系xOy(如图)，则Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，设P(cosθ，sinθ)，0≤θ≤eq\f(2,3)π，则eq\o(OP,\s\up6(→))＝(cosθ，sinθ)，eq\o(PB,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)－cosθ，\f(\r(3),2)－sinθ))，所以eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)－cosθ))cosθ＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)－sinθ))sinθ＝eq\f(\r(3),2)sinθ－eq\f(1,2)cosθ－1＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,6)))－1,0≤θ≤eq\f(2π,3)，所以－eq\f(π,6)≤θ－eq\f(π,6)≤eq\f(π,2)，所以－eq\f(3,2)≤eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))≤0，所以eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))的最小值为－eq\f(3,2).二、换元法设a，b，c是单位向量，且a·b＝0，则(a－c)·(b－c)的最小值为1－eq\r(2).[解析]依题意，设a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝(sinθ，cosθ)，则a－c＝(1－sinθ，－cosθ)，b－c＝(－sinθ，1－cosθ)，(a－c)·(b－c)＝－sinθ·(1－sinθ)－cosθ(1－cosθ)＝1－(sinθ＋cosθ)＝1－eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))，则其最小值是1－eq\r(2).三、数形结合法已知a，b是单位向量，a·b＝0.若向量c满足|c－a－b|＝1，则|c|的取值范围是[eq\r(2)－1，eq\r(2)＋1].[解析]以a和b分别为x轴和y轴正方向的单位向量建立平面直角坐标系(图略)，则a＝(1,0)，b＝(0,1)，设c＝(x，y)，则c－a－b＝(x－1，y－1)，∵|c－a－b|＝1，∴(x－1)2＋(y－1)2＝1.即(x，y)是以点M(1,1)为圆心，1为半径的圆上的点，而|c|＝eq\r(x2＋y2).所以|c|可以理解为圆M上的点到原点O的距离，连接OM，由圆的性质可知，|OM|－1≤|c|≤|OM|＋1，即|c|∈[eq\r(2)－1，eq\r(2)＋1]．四、基本不等式法在△ABC中，BC＝2，A＝eq\f(2π,3)，则eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))的最小值为－eq\f(2,3).[解析]由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·coseq\f(2π,3)≥2AB·AC＋AB·AC＝3AB·AC，即AB·AC≤eq\f(4,3)，所以eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|·|eq\o(AC,\s\up6(→))|·coseq\f(2π,3)≥－eq\f(2,3)，即(eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→)))min＝－eq\f(2,3)，当且仅当AB＝AC时取等号．【变式训练】(2017·全国卷Ⅱ)已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则eq\o(PA,\s\up6(→))·(eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→)))的最小值是(B)A．－2 B．－eq\f(3,2)C．－eq\f(4,3) D．－1[分析]思路一：思路二：[解析]解法一：结合题意画出图形，如图所示，设BC的中点为D，AD的中点为E，连接AD，PE，PD，则有eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝2eq\o(PD,\s\up6(→))，则eq\o(PA,\s\up6(→))·(eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→)))＝2eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PD,\s\up6(→))＝2(eq\o(PE,\s\up6(→))＋eq\o(EA,\s\up6(→)))·(eq\o(PE,\s\up6(→))－eq\o(EA,\s\up6(→)))＝2(eq\o(PE,\s\up6(→))2－eq\o(EA,\s\up6(→))2)．而eq\o(EA,\s\up6(→))2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))2＝eq\f(3,4)，当点P与点E重合时，eq\o(PE,\s\up6(→))2有最小值0，故此时eq\o(PA,\s\up6(→))·(eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→)))取得最小值，最小值为－2eq\o(EA,\s\up6(→))2＝－2×eq\f(3,4)＝－eq\f(3,2).解法二：如图所示，以等边三角形ABC的底边BC所在直线为x轴，以边BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则A(0，eq\r(3))，B(－1,0)，C(1,0)，设P(x，y)，则eq\o(PA,\s\up6(→))＝(－x，eq\r(3)－y)，eq\o(PB,\s\up6(→))＝(－1－x，－y)，eq\o(PC,\s\up6(→))＝(1－x，－y)，所以eq\o(PA,\s\up6(→))·(eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→)))＝(－x，eq\r(3)－y)·(－2x，－2y)＝2x2＋2eq\b\lc\(\rc\