2025版高考数学一轮总复习知识梳理第1章集合常用逻辑用语不等式第3讲不等关系与不等式

第三讲不等关系与不等式知识梳理知识点一两个实数比较大小的方法(1)作差法eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－b>0⇔a>b,a－b＝0⇔a＝ba，b∈R,a－b<0⇔a<b))(2)作商法eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)>1⇔a>b,\f(a,b)＝1⇔a＝ba∈R，b>0,\f(a,b)<1⇔a<b))知识点二不等式的基本性质性质性质内容特别提醒对称性a>b⇔b<a⇔传递性a>b，b>c⇒a>c⇒可加性a>b⇔a＋c>b＋c⇔可乘性eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>bc>0))⇒ac>bc注意c的符号eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>bc<0))⇒ac<bc同向可加性eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>bc>d))⇒a＋c>b＋d⇒同向同正可乘性eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b>0c>d>0))⇒ac>bd⇒可乘方性a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥1)a，b同为正数可开方性a>b>0⇒eq\r(n,a)>eq\r(n,b)(n∈N，n≥2)a，b同为正数归纳拓展1．a>b，ab>0⇒eq\f(1,a)<eq\f(1,b).2．a<0<b⇒eq\f(1,a)<eq\f(1,b).3．a>b>0，d>c>0⇒eq\f(a,c)>eq\f(b,d).4．若a>b>0，m>0，则eq\f(b,a)<eq\f(b＋m,a＋m)；eq\f(b,a)>eq\f(b－m,a－m)(b－m>0)．双基自测题组一走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若eq\f(a,b)>1，则a>b.(×)(2)若a>b，c>d，则ac>bd.(×)(3)若a>b，则ac2>bc2.(×)(4)若ac2<bc2，则a<b.(√)(5)若a>b则eq\f(1,a)<eq\f(1,b).(×)(6)若a>b则a2>b2.(×)(7)若a>b则a3>b3.(√)(8)若eq\f(1,a)>eq\f(1,b)>0，则b>a>0.(√)题组二走进教材2．(必修1P14T5)某班有学生参加才艺比赛，已知每人只参加一个比赛，且参加书法比赛的人数多于参加唱歌比赛的人数，参加唱歌比赛的人数多于参加折纸比赛的人数，参加折纸比赛的人数的2倍多于参加书法比赛的人数，则参加这三项比赛的总人数至少为(C)A．7 B．9C．12 D．15[解析]设参加书法、唱歌、折纸比赛的人数分别为a，b，c，由题意得a≥b＋1，b≥c＋1,2c≥a＋1，∴a＋b＋2c≥b＋1＋c＋1＋a＋1，∴c≥3，∴b≥4，a≥5，∴参加这三项比赛的总人数至少为12.故选C.3．(必修1P14T7改编)若－eq\f(π,2)<α<β<eq\f(π,2)，则α－β的取值范围是(－π，0).[解析]由已知，得－eq\f(π,2)<α<eq\f(π,2)，－eq\f(π,2)<－β<eq\f(π,2)，所以－π<α－β<π，又α<β，所以α－β<0，故－π<α－β<0.4．(必修1P43T8改编)已知t>1，且x＝eq\r(t＋1)－eq\r(t)，y＝eq\r(t)－eq\r(t－1)，则x，y的大小关系是_x<y__.[解析]可以转化为分式，再判断eq\f(x,y)跟1的大小关系．从而确定x，y的大小．x＝eq\r(t＋1)－eq\r(t)＝eq\f(\r(t＋1)－\r(t)\r(t＋1)＋\r(t),\r(t＋1)＋\r(t))＝eq\f(1,\r(t＋1)＋\r(t)).y＝eq\r(t)－eq\r(t－1)＝eq\f(\r(t)－\r(t－1)\r(t)＋\r(t－1),\r(t)＋\r(t－1))＝eq\f(1,\r(t)＋\r(t－1)).eq\f(x,y)＝eq\f(\r(t)＋\r(t－1),\r(t)＋\r(t＋1))<1.题组三走向高考5．(2022·上海卷)已知实数a，b，c，d满足：a>b>c>d，则下列选项中正确的是(B)A．a＋d>b＋c B．a＋c>b＋dC．ad>bc D．ac>bd[解析]选项A，如取a＝4，b＝3，c＝2，d＝－4，此时a＋d<b＋c，故A错误；选项B，a＋c>b＋c>b＋d，故B正确；选项C，如取a＝4，b＝－1，c＝－2，d＝－3，此时ad<bc，故C错误；选项D，如取a＝4，b＝－1，c＝－2，d＝－3，此时ac<bd，故D错误．故选B.6．(2016·北京)已知x，y∈R，且x>y>0，则(C)A.eq\f(1,x)－eq\f(1,y)>0 B．sinx－siny>0C.－<0