2025版高考数学一轮总复习知识梳理第5章平面向量与复数第4讲平面向量的综合应用

第四讲平面向量的综合应用知识梳理知识点一向量在平面几何中的应用1．用向量解决常见平面几何问题的技巧：问题类型所用知识公式表示线平行、点共线等问题共线向量定理a∥b⇔a＝λb⇔x1y2－x2y1＝0，其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，b≠0垂直问题数量积的运算性质a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0，其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且a，b为非零向量夹角问题数量积的定义cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)(θ为向量a，b的夹角)，其中a，b为非零向量长度问题数量积的定义|a|＝eq\r(a2)＝eq\r(x2＋y2)，其中a＝(x，y)，a为非零向量2.用向量方法解决平面几何问题的步骤：平面几何问题eq\o(→,\s\up7(设向量))向量问题eq\o(→,\s\up7(运算))解决向量问题eq\o(→,\s\up7(还原))解决几何问题．知识点二向量在解析几何中的应用向量在解析几何中的应用，是以解析几何中的坐标为背景的一种向量描述．它主要强调向量的坐标问题，进而利用直线和圆锥曲线的位置关系的相关知识来解答，坐标的运算是考查的主体．知识点三向量与相关知识的交汇平面向量作为一种工具，常与函数(三角函数)、解析几何结合，常通过向量的线性运算与数量积，向量的共线与垂直求解相关问题．归纳拓展1．若G是△ABC的重心，则eq\o(GA,\s\up6(→))＋eq\o(GB,\s\up6(→))＋eq\o(GC,\s\up6(→))＝0.2．若直线l的方程为Ax＋By＋C＝0，则向量(A，B)与直线l垂直，向量(－B，A)与直线l平行．双基自测题组一走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(AC,\s\up6(→))，则A，B，C三点共线．(√)(2)在△ABC中，若eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))<0，则△ABC为钝角三角形．(×)(3)向量eq\o(PA,\s\up6(→))，eq\o(PB,\s\up6(→))，eq\o(PC,\s\up6(→))中三终点A、B、C共线，则存在实数α，β，使得eq\o(PA,\s\up6(→))＝αeq\o(PB,\s\up6(→))＋βeq\o(PC,\s\up6(→))，且α＋β＝1.(√)(4)已知平面直角坐标系内有三个定点A(－2，－1)，B(0,10)，C(8,0)，若动点P满足：eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋t(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))，t∈R，则点P的轨迹方程是x－y＋1＝0.(√)题组二走进教材2．(必修2P60T10改编)设向量a＝(cosθ，2)，b＝(－1，sinθ)，若a⊥b，则sin2θ＝eq\f(4,5).[解析]∵a＝(cosθ，2)，b＝(－1，sinθ)，且a⊥b.∴a·b＝－cosθ＋2sinθ＝0，∴tanθ＝eq\f(1,2).∴sin2θ＝eq\f(2sinθcosθ,sin2θ＋cos2θ)＝eq\f(2tanθ,tan2θ＋1)＝eq\f(4,5).3．(必修2P60T2(3)改编)平面四边形ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝0，(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→)))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝0，则四边形ABCD是(C)A．矩形 B．正方形C．菱形 D．梯形[解析]因为eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝0，所以eq\o(AB,\s\up6(→))＝－eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，所以四边形ABCD是平行四边形．又(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→)))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(DB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝0，所以四边形对角线互相垂直，所以四边形ABCD是菱形．4．(必修2P60T8改编)一质点在平面上的三个力F1，F2，F3的作用下处于平衡状态，已知F1，F2成90°角，且F1，F2的大小分别为2N和4N，则F3的大小为(B)A．2N B．2eq\r(5)NC．2eq\r(7)N D．6N[解析]根据题意，由质点处于平衡状态，可得F1＋F2＝－F3，则有|F1＋F2|＝|F3|，由数量积的计算公式计算可得答案．根据题意，三个力F1，F2，F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态，则有F1＋F2＝－F3，进而可得|F1＋F2|＝|F3|，F1，F2成90°角，则F1·F2＝0，故|F3|＝eq\r(F\o\al(2,1)＋F\o\al(2,2)＋2F1F2)＝eq\r(4＋16)＝2eq\r(5)，故选B.题组三走向高考5．(2017·北京，12,5分)已知点P在圆x2＋y2＝1上，点A的坐标为(－2,0)，O为原点，则eq\o(AO,\s\up6(→))·eq\o(AP,\s\up6(→))的最大值为6.[解析]解法一：由题意知，eq\o(AO,\s\up6(→))＝(2,0)，令P(cosα，sinα)，则eq\o(AP,\s\up6(→))＝(cosα＋2，sinα)，eq\o(AO,\s\up6(→))·eq\o(AP,\s\up6(→))＝(2,0)·(cosα＋2，sinα)＝2cosα＋4≤6，故eq\o(AO,\s\up6(→))·eq\o(AP,\s\up6(→))的最大值为6.解法二：由题意知，eq\o(AO,\s\up6(