工程数学《复变函数》(第四版)课件 1-1,2 西安交大 天津工业大学理学院 赵璐

课件简介本课件旨在为您提供一个简要而全面的概述,帮助您快速了解主要内容。通过精心挑选的图像和简练的文字,为您呈现一个生动有趣的视觉体验。byJerryTurnersnull复变函数概述复变函数是以复数为自变量的函数,是二元实函数在复平面上的推广。复变函数具有比实变函数更丰富的性质,如微分、积分、级数展开等,为数学分析提供了更广阔的研究领域。复变函数在物理、工程、计算机科学等领域都有广泛的应用,是一门重要的数学分支,值得深入学习和研究。复数复数是由实部和虚部组成的数学对象,广泛应用于工程和科学领域。复数可用极坐标表示,蕴含丰富的几何性质和代数性质,是高等数学的重要基础。复数系统拓展了实数系统,为解决许多实际问题奠定了基础。复数的代数运算加法运算：复数的加法是逐个分量相加，即(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.减法运算：复数的减法是第一个减去第二个，即(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.乘法运算：复数的乘法是采用分配率进行运算，即(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i.复数的几何表示复数可以通过几何方式直观地表示。在复平面上，实部对应水平轴，虚部对应垂直轴。每个复数对应一个唯一的点，表示复数大小和方向。这种几何表示帮助我们更好地理解复数的性质和运算规律。复平面复平面是一个二维坐标系,用来表示复数。它由实轴(横轴)和虚轴(纵轴)组成,任何一个复数都可以用一个点在该平面上来表示。复平面是研究复数及其运算的重要工具,为复变函数的几何性质提供了直观的图像化表示。复函数复函数是一类定义在复平面上的函数。它可以将复数映射到复数平面上的点，描述了复变量与复值间的对应关系。复函数的研究是复变函数论的核心内容之一。复函数的极限研究复函数的极限是复变函数理论的基础之一。复函数的极限与实函数的极限概念类似，但由于复数的二维特性，其表达更为复杂。通过掌握复函数极限的基本理论和运算方法，可以为后续的复函数微积分学习奠定坚实的基础。理解复数极限的概念及其几何意义掌握复函数极限的基本性质和运算规则学会运用复数极限的结果解决实际问题复函数的连续性复函数的连续性是复变函数理论中的核心概念之一。连续性确保了函数在一个区域内可以平滑地变化,没有突然跳跃或断点。这个性质对许多复变函数的微分和积分等重要性质的推导都有关键意义。定义复函数的连续性逐分量连续与整体连续的区别复函数连续性的保持定理复函数连续性与可微性的关系复函数连续性在复平面上的几何解释复函数的可微性在复变函数理论中,可微性是一个重要的概念。函数在某点可微意味着它在该点具有确定的导数,并且该导数连续。可微性保证了函数在该点可以进行微分运算,为函数的进一步分析奠定了基础。复变函数的可微性条件：函数在某点必须满足柯西-黎曼条件,即函数在该点具有连续的偏导数且它们满足柯西-黎曼方程。可微性与连续性的关系：复变函数的可微性比连续性更强,因为可微性包含了连续性的要求。但连续性并不必然蕴含可微性。可微性的重要性：可微性是复变函数的基本性质之一,它为复变函数的微分、积分和级数表示等提供了理论基础。复函数的导数函数f(z)在点z=a处可导的充要条件是该点处有极限lim(z→a)(f(z)-f(a))/(z-a)复函数的导数具有与实函数相同的性质,可以进行基本的代数运算和链式法则求复函数导数的常用方法包括直接计算法、柯西-黎曼定义法以及复合函数求导法复函数的微分复函数的微分是复变函数理论中一个重要概念。它描述了复函数在一点上的变化率。通过复函数的微分,可以深入理解复函数的性质和应用。复函数的微分定义和性质复函数的偏导数和全微分Cauchy-Riemann方程及其应用复函数的积分复函数的定积分与实函数类似，但需要处理复变量和复数值。复积分需要考虑积分路径，积分路径不同可能得到不同的结果。复积分有多种计算方法，如按坐标分量积分、利用参数方程、利用极坐标等。初等复函数初等复函数是一组基本且常用的复函数，包括代数函数、指数函数、三角函数和双曲函数等。这些函数在复平面上都有清晰的几何解释和性质。对它们的理解和应用是复变函数学习的基础。复指数函数复指数函数是将复数输入映射到复平面上的一种重要函数。它表现出周期性、无穷性等独特的性质,在许多科学领域有广泛应用。通过直观的几何示意图,可以更好地理解复指数函数的特性和运算规律。复三角函数复三角函数是复变函数理论的重要组成部分。它们是基于欧拉公式衍生出来的复函数,在电磁学、量子力学等领域有广泛应用。复三角函数与复指数函数和复双曲函数一起构成了复平面上的重要初等函数。复三角函数包括复三角正弦、复三角余弦、复三角正切等多种形式,具有丰富的代数和几何性质,是复变函数理论的基础。复双曲函数复双曲函数是复变函数理论中的重要基本函数族。它们是双曲函数在复平面上的自然推广,具有与实域双曲函数类似的性质和应用。复双曲函数能够描述许多实际工程问题中的复杂物理过程。复函数的级数展开1幂级数展开复函数可以用幂级数的形式进行局部展开,这样可以研究函数在特定点附近的性质。常见的有泰勒级数和洛朗级数。2泰勒级数展开泰勒级数是将复函数在某点进行无穷级数展开,能够有效描述函数在该点附近的性质。这为后续的复分析研究奠定了基础。3洛朗级数展开洛朗级数是复函数在某点附近的更一般形式的级数展开,包含了有限个负幂项,可描述复函数在该点的性质。这为复变函数的奇点分析提供了工具。幂级数幂级数是一种重要的复函数展开方式。它通过将复函数写成无穷项的幂次和的形式来表示和研究复函数的性质。幂级数在数学分析、复变函数论、微分方程等领域有广泛的应用。幂级数的定义和性质幂级数的收敛性分析幂级数的运算和性质，如乘法、除法、微分和积分等泰勒级数泰勒级数是一种将函数表示为无穷级数的方法。它利用函数在某点的导数来近似该点附近的函数值。泰勒级数在数学分析和物理学中有广泛应用,是理解复变函数的重要工具。洛朗级数洛朗级数是复变函数理论中一种重要的级数展开形式。它能够在复平面的环形区域内表示复函数，是函数局部性质分析的有力工具。洛朗级数由正整数幂级数和负整数幂级数两部分组成，能够更加细致地描述函数的性质。洛朗级数的定义