第五节隐函数求导法则

第五节隐函数求导法则隐函数是指由关系式给出的函数，其自变量和因变量之间的关系不用显式地给出函数表达式。在实际问题中，往往需要求出这种隐函数的导数。本节将介绍隐函数求导的方法和一些常见的隐函数求导法则。一、隐函数求导的基本方法首先我们来回顾一下显函数求导的基本方法。对于显函数，我们可以直接对函数表达式使用求导公式进行求导。但对于隐函数，由于函数表达式未知，我们需要使用一些特殊的方法来求导。假设我们有一个由关系式F(x,y)=0给出的隐函数，我们要求该隐函数关于x的导数y'=dy/dx。隐函数的求导可分为以下几个步骤：1.对关系式两边同时求导，得到F'(x,y)+F'(y,x)y'=0。2.将y'移至方程右边得到y'=-F'(x,y)/F'(y,x)。3.根据关系式求出y的表达式，代入y'=-F'(x,y)/F'(y,x)中，即得到y'的表达式。这种求导的方法称为隐函数求导的基本方法，下面我们将介绍一些常见的隐函数求导法则来简化上述的步骤。1.加法法则：如果隐函数关系式为F(x,y)+G(x,y)=0，则求导后得到F'(x,y)+G'(x,y)y'=0。2.乘法法则：如果隐函数关系式为F(x,y)·G(x,y)=0，则求导后得到F'(x,y)G(x,y)+F(x,y)G'(x,y)y'=0。3.反函数法则：如果隐函数关系式为G(F(x,y))=0，其中G是F的反函数，则求导后得到G'(F(x,y))·F'(x,y)+G(F(x,y))=0。4.传递法则：如果隐函数关系式中存在中间变量Z，即F(x,y,z)=0，其中x和z可看作自变量，y为中间变量，则求导后，将得到一个含有z的隐函数关系式，再对其中的x和z分别求导。5.高阶求导法则：对于高阶隐函数求导，可以依照以上的方法逐阶进行求导，直至得到所需的高阶导数。三、应用实例为了更好地理解隐函数求导法则的应用，我们通过一些实例来演示具体的求导过程。例1：求由方程x^2+y^2=1所确定的隐函数y关于x的导数。解：首先对方程两边同时求导，得到2x+2yy'=0。然后将y'移至右边，得到y'=-x/y。由方程x^2+y^2=1可以得到y=±√(1-x^2)。代入y'=-x/y中，可得到y'=-x/±√(1-x^2)，即y'=-x/√(1-x^2)或y'=x/√(1-x^2)。最终得到y关于x的导数为y'=-x/√(1-x^2)或y'=x/√(1-x^2)。例2：求由方程e^x+y^2=1所确定的隐函数y关于x的导数。解：对方程两边同时求导，得到e^x+2yy'=0。然后将y'移至右边，得到y'=-e^x/2y。由方程e^x+y^2=1可以得到y=±√(1-e^x)。代入y'=-e^x/2y中，得到y'=-e^x/2√(1-e^x)或y'=e^x/2√(1-e^x)。最终得到y关于x的导数为y'=-e^x/2√(1-e^x)或y'=e^x/2√(1-e^x)。通过上述实例，我们可以看到隐函数求导法则的运用，可以将隐函数的求导问题转化为对方程的求导问题，从而简化了求导过程。四、总结隐函数求导法则是在隐函数（由关系式给出）关于x求导的一般步骤，通过对关系式的求导和移项，最终得到隐函数的导数表达式。在实际问题中，由于函数关系不是显