8.4.1平面教案2020-2021学年高一数学人教A版(2019)必修第二册第八章立体几何初步

8．4.1平面(教师独具内容)课程标准：1.借助实物了解平面的概念，理解空间点、直线、平面的位置关系.2.了解3个基本事实和3个推论．教学重点：1.理解平面的特点和基本性质.2.会用数学语言规范地表达空间点、直线、平面的位置关系.3.共线、共面、共点问题的证明与判断．教学难点：平面基本性质的运用．核心素养：通过生活中的实例总结归纳出平面的概念和3个基本事实、3个推论的过程，发展数学抽象和直观想象素养.1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平行四边形是一个平面．()(2)若A∈a，a⊂α，则A∈α.()(3)两个平面的交线可能是一条线段．()(4)经过一条直线和一个点，有且只有一个平面．()2．做一做(1)如图所示，用符号语言表示以下各概念：①点A，B在直线a上：____；②直线a在平面α内：____；③点D在直线b上，点C在平面α内：____.(2)若平面α与平面β相交于直线l，点A∈α，A∈β，则点A____l；其理由是______________________.(3)根据右图，填入相应的符号：A____平面ABC，A____平面BCD，BD____平面ABC，平面ABC∩平面ACD＝____.题型一平面概念的理解例1(1)下列命题：①书桌面是平面；②8个平面重叠起来要比6个平面重叠起来厚；③有一个平面的长是50m，宽为20m；④平面是绝对平的、无厚度、可以无限延展的抽象的数学概念．其中正确命题的个数为____.(2)下图中的两个相交平面，其中画法正确的是____.[跟踪训练1]下列四种说法正确的是____.①平面的形状是平行四边形；②任何一个平面图形都可以表示平面；③平面ABCD的面积为100cm2；④空间图形中，后作的辅助线都是虚线．题型二文字语言、图形语言、符号语言的相互转化例2根据图形用符号表示下列点、直线、平面之间的关系．(1)点P与直线AB；(2)点C与直线AB；(3)点M与平面AC；(4)点A1与平面AC；(5)直线AB与直线BC；(6)直线AB与平面AC；(7)平面A1B与平面AC.[跟踪训练2](1)把下列符号叙述所对应的图形的字母编号填在题后横线上．①A∉α，a⊂α：____；②α∩β＝a，P∉α且P∉β：____；③a⊄α，a∩α＝A：____；④α∩β＝a，α∩γ＝c，β∩γ＝b，a∩b∩c＝O：____.(2)根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位置关系，并画出相应的图形．①A∈α，B∉α；②l⊂α，m∩α＝A，A∉l；③P∈l，P∉α，Q∈l，Q∈α.题型三线共面问题例3已知直线b∥c，且直线a与b，c都相交，求证：直线a，b，c共面．[跟踪训练3]下列说法中正确的是()A．空间不同的三点确定一个平面B．空间两两相交的三条直线确定一个平面C．空间有三个角为直角的四边形一定是平面图形D．和同一条直线相交的三条平行直线一定在同一平面内题型四点共线问题例4如图，已知△ABC的三个顶点都不在平面α内，它的三边AB，BC，AC延长后分别交平面α于点P，Q，R.求证：P，Q，R三点在同一条直线上．[跟踪训练4]如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点M，N，E，F分别是棱CD，AB，DD1，AA1上的点，若MN与EF交于点Q，求证：D，A，Q三点共线．题型五线共点问题例5如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，B1P＝2PA1，C1Q＝2QA1.求证：直线AA1，BP，CQ相交于一点．[跟踪训练5]在四面体A－BCD中，E，G分别为BC，AB的中点，F在CD上，H在AD上，且有DF∶FC＝DH∶HA＝1∶3.求证：EF，GH，BD交于一点．1．在空间中，下列结论正确的是()A．三角形确定一个平面B．四边形确定一个平面C．一个点和一条直线确定一个平面D．两条直线确定一个平面2．两个平面若有三个公共点，则这两个平面()A．相交 B．重合C．相交或重合 D．以上都不对3．(多选)三条两两平行的直线可以确定平面的个数可能为()A．0 B．1C．2 D．34．如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1.(1)AC∩BD＝____；(2)平面AB1∩平面A1C1＝____；(3)A1B1∩B1B∩B1C1＝____.5.如图，△ABC与△A1B1C1不全等，且A1B1∥AB，B1C1∥BC，C1A1∥CA．求证：AA1，BB1，CC1交于一点．一、选择题1．能确定一个平面的条件是()A．空间三个点 B．一个点和一条直线C．无数个点 D．两条相交直线2．下面空间图形画法错误的是()3．已知空间四点中，无三点共线，则经过其中三点的平面有()A．一个 B．四个C．一个或四个 D．无法确定平面的个数4.如图，平面α∩平面β＝l，A，B∈α，C∈β，C∉l，直线AB∩l＝D，过A，B，C三点确定的平面为γ，则平面γ与β的交线必过()A．点A B．点BC．点C，但不过点D D．点C和点D5．(多选)下列四个命题中，正确的是()A．不共面的四点中任意三点不共线B．若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则A，B，C，D，E共面C．若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c不一定共面D．依次首尾相接的四条线段必共面二、填空题6．已知A∈α，B∉α，若A∈l，B∈l，那么直线l与平面α有____公共点．7．如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是____.8．一条直线和直线外的三点所确定的平面个数是____.三、解答题9．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，设A1C∩平面ABC1D1＝E.证明：点E在平面A1BCD1内．10.如图所示，AB∩α＝P，CD∩α＝P，A，D与B，C分别在平面α的两侧，AC∩α＝Q，BD∩α＝R.求证：P，Q，R三点共线．1．已知α，β为平面，A，B，M，N为点，a为直线，下列推理中错误的是()A．A∈a，A∈β，B∈a，B∈β，则a⊂βB．M∈α，M∈β，N∈α，N∈β，则直线MN⊂α，直线MN⊂βC．A∈α，A∈β，则α∩β＝AD．A，B，M∈α，A，B，M∈β，且A，B，M不共线，则α，β重合2．(多选)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，若E，F，G分别为棱BC，CC1，B1C1的中点，O1，O2分别是四边形ADD1A1，A1B1C1D1的中心，则()A．A，C，O1，D1四点共面 B．D，E，G，F四点共面C．A，E，F，D1四点共面 D．G，E，O1，O2四点共面3．(1)空间任意4点，没有任何3点共线，它们最多可以确定____个平面．(2)空间5点，其中有4点共面，它们没有任何3点共线，这5个点最多可以确定____个平面．4．如图，在四面体ABCD中作截面PQR，若PQ与CB的延长线交于点M，RQ与DB的延长线交于点N，RP与DC的延长线交于点K，连接MN.求证：(1)直线MN⊂平面PQR；(2)点K在直线MN上．5．已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q.求证：(1)D，B，F，E四点共面；(2)若A1C交平面DBFE于R点，则P，Q，R三点共线．8．4.1平面(教师独具内容)课程标准：1.借助实物了解平面的概念，理解空间点、直线、平面的位置关系.2.了解3个基本事实和3个推论．教学重点：1.理解平面的特点和基本性质.2.会用数学语言规范地表达空间点、直线、平面的位置关系.3.共线、共面、共点问题的证明与判断．教学难点：平面基本性质的运用．核心素养：通过生活中的实例总结归纳出平面的概念和3个基本事实、3个推论的过程，发展数学抽象和直观想象素养.1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平行四边形是一个平面．()(2)若A∈a，a⊂α，则A∈α.()(3)两个平面的交线可能是一条线段．()(4)经过一条直线和一个点，有且只有一个平面．()答案(1)×(2)√(3)×(4)×2．做一做(1)如图所示，用符号语言表示以下各概念：①点A，B在直线a上：____；②直线a在平面α内：____；③点D在直线b上，点C在平面α内：____.(2)若平面α与平面β相交于直线l，点A∈α，A∈β，则点A____l；其理由是______________________.(3)根据右图，填入相应的符号：A____平面ABC，A____平面BCD，BD____平面ABC，平面ABC∩平面ACD＝____.答案(1)①A∈a，B∈a②a⊂α③D∈b，C∈α(2)∈同时在两个不重合平面上的点一定在两个平面的交线上(3)∈∉⊄AC题型一平面概念的理解例1(1)下列命题：①书桌面是平面；②8个平面重叠起来要比6个平面重叠起来厚；③有一个平面的长是50m，宽为20m；④平面是绝对平的、无厚度、可以无限延展的抽象的数学概念．其中正确命题的个数为____.(2)下图中的两个相交平面，其中画法正确的是____.[解析](1)由平面的概念，知它是平滑、无厚度、可无限延展的，可以判断命题④正确，其余的命题都不符合平面的概念．(2)对于①，图中没有画出平面α与平面β的交线，另外图中的实、虚也没有按照画法原则去画，因此①的画法不正确．②与③图形的实、虚线画法不正确，④中图形的画法正确．[答案](1)1(2)④平面概念的理解及特点(1)平面是一个只描述而不定义的原始概念，它是由平时生活中常见的平面抽象出来的，是理想的，是无限延展的，是无厚薄、大小的．(2)要注意平面具有如下特点：①平面是平的；②平面是没有厚度的；③平面是无限延展而没有边界的；④平面是由空间的点、线组成的无限集合；⑤平面图形是空间图形的重要组成部分．[跟踪训练1]下列四种说法正确的是____.①平面的形状是平行四边形；②任何一个平面图形都可以表示平面；③平面ABCD的面积为100cm2；④空间图形中，后作的辅助线都是虚线．答案②解析①错误，通常用平行四边形表示平面，但平面的形状不一定是平行四边形；③错误，平面不能度量；④错误，看不到的线画成虚线.题型二文字语言、图形语言、符号语言的相互转化例2根据图形用符号表示下列点、直线、平面之间的关系．(1)点P与直线AB；(2)点C与直线AB；(3)点M与平面AC；(4)点A1与平面AC；(5)直线AB与直线BC；(6)直线AB与平面AC；(7)平面A1B与平面AC.[解](1)P∈AB.(2)C∉AB.(3)M∈平面AC.(4)A1∉平面AC.(5)AB∩BC＝B.(6)AB⊂平面AC.(7)平面A1B∩平面AC＝AB.三种语言的转换方法(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着先用文字语言表示，再用符号语言表示．(2)根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别．[跟踪训练2](1)把下列符号叙述所对应的图形的字母编号填在题后横线上．①A∉α，a⊂α：____；②α∩β＝a，P∉α且P∉β：____；③a⊄α，a∩α＝A：____；④α∩β＝a，α∩γ＝c，β∩γ＝b，a∩b∩c＝O：____.(2)根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位置关系，并画出相应的图形．①A∈α，B∉α；②l⊂α，m∩α＝A，A∉l；③P∈l，P∉α，Q∈l，Q∈α.答案(1)①C②D③A④B(2)见解析解析(2)①点A在平面α内，点B不在平面α内，如图①.②直线l在平面α内，直线m与平面α相交于点A，且点A不在直线l上，如图②.③直线l经过平面α外一点P和平面α内一点Q，如图③.题型三线共面问题例3已知直线b∥c，且直线a与b，c都相交，求证：直线a，b，c共面．[证明]∵b∥c，∴不妨设b，c共面于平面α，设a∩b＝A，a∩c＝B，∴A∈a，B∈a，A∈b，B∈c，又b⊂α，∴A∈α，同理B∈α，即a⊂α，∴三线共面．[条件探究]在本例中，若直线a∥b∥c，直线l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C，又该如何证明直线a，b，c，l共面？证明如图所示．∵a∥b，∴a，b可确定一个平面α.又l∩a＝A，l∩b＝B，∴A∈a，B∈b，A∈α，B∈α.∴AB⊂α.又A∈l，B∈l，∴l⊂α.又b∥c，∴b，c可确定一个平面β.同理l⊂β.∵平面α，β均经过直线b，l，且b和l是两条相交直线，∴l与b确定的平面是唯一的．∴a，b，c，l四线共面．证明多线共面的两种方法(1)纳入法：先由部分直线确定一个平面，再证明其他直线在这个平面内．(2)重合法：即先证明一些元素在一个平面内，再证明另一些元素在另一个平面内，然后证明这两个平面重合，即证得所有元素在同一个平面内．[跟踪训练3]下列说法中正确的是()A．空间不同的三点确定一个平面B．空间两两相交的三条直线确定一个平面C．空间有三个角为直角的四边形一定是平面图形D．和同一条直线相交的三条平行直线一定在同一平面内答案D解析经过同一条直线上的三点有无数个平面，故A不正确；当两两相交的三条直线相交于一点时，可能确定三个平面，故B不正确；有三个角为直角的四边形不一定是平面图形，如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，四边形ACC1D1满足∠ACC1＝∠CC1D1＝∠C1D1A＝90°，但四边形ACC1D1不是平面图形，故C不正确；和同一条直线相交的三条平行直线一定共面，故选D.题型四点共线问题例4如图，已知△ABC的三个顶点都不在平面α内，它的三边AB，BC，AC延长后分别交平面α于点P，Q，R.求证：P，Q，R三点在同一条直线上．[证明]证法一：由已知AB的延长线交平面α于点P，根据基本事实3，平面ABC与平面α必相交于一条直线，设为l.∵P∈直线AB，∴P∈平面ABC.又AB∩α＝P，∴P∈平面α，∴P是平面ABC与平面α的公共点．∵平面ABC∩α＝l，∴P∈l.同理，Q∈l，R∈l.∴P，Q，R三点在同一条直线上．证法二：∵AP∩AR＝A，∴直线AP与直线AR确定平面APR.又AB∩α＝P，AC∩α＝R，∴平面APR∩α＝PR.∵B∈平面APR，C∈平面APR，∴BC⊂平面APR.∵Q∈BC，∴Q∈平面APR，又Q∈α，∴Q∈PR，∴P，Q，R三点共线．点共线问题就是证明三个或三个以上的点在同一条直线上，主要依据是基本事实3.此类问题的证明常用以下两种方法：(1)首先找出两个平面，然后证明这些点都是这两个平面的公共点，根据基本事实3知这些点都在这两个平面的交线上；(2)选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在这条直线上．[跟踪训练4]如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点M，N，E，F分别是棱CD，AB，DD1，AA1上的点，若MN与EF交于点Q，求证：D，A，Q三点共线．证明∵MN∩EF＝Q，∴Q∈直线MN，Q∈直线EF，又M∈直线CD，N∈直线AB，CD⊂平面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴M，N∈平面ABCD，∴MN⊂平面ABCD.∴Q∈平面ABCD.同理，可得EF⊂平面ADD1A1.∴Q∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1＝AD，∴Q∈直线AD，即D，A，Q三点共线.题型五线共点问题例5如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，B1P＝2PA1，C1Q＝2QA1.求证：直线AA1，BP，CQ相交于一点．[证明]如图，连接PQ.由B1P＝2PA1，C1Q＝2QA1，得PQ∥B1C1，且PQ＝eq\f(1,3)B1C1.又BC綊B1C1，∴PQ∥BC，且PQ＝eq\f(1,3)BC，∴四边形BCQP为梯形，∴直线BP，CQ相交，设交点为R，则R∈BP，R∈CQ.又BP⊂平面AA1B1B，CQ⊂平面AA1C1C，∴R∈平面AA1B1B，且R∈平面AA1C1C，∴R在平面AA1B1B与平面AA1C1C的交线上，即R∈AA1，∴直线AA1，BP，CQ相交于一点．证明线共点问题的步骤证明三线共点的思路是：先证明两条直线交于一点，再证明第三条直线经过这个点，把问题归结为证明点在直线上的问题．[跟踪训练5]在四面体A－BCD中，E，G分别为BC，AB的中点，F在CD上，H在AD上，且有DF∶FC＝DH∶HA＝1∶3.求证：EF，GH，BD交于一点．证明如图所示，连接GE，HF.∵E，G分别为BC，AB的中点，∴GE∥AC.又DF∶FC＝DH∶HA＝1∶3，∴HF∥AC，∴GE∥HF，∴G，E，F，H四点共面．又GE＝eq\f(1,2)AC，eq\f(HF,AC)＝eq\f(DF,DC)＝eq\f(1,4)，∴EF与GH不平行，∴EF与GH相交．延长EF，GH，设交点为O，则O∈平面ABD，O∈平面BCD，而平面ABD∩平面BCD＝BD，∴O∈BD.即EF，GH，BD交于一点O.1．在空间中，下列结论正确的是()A．三角形确定一个平面B．四边形确定一个平面C．一个点和一条直线确定一个平面D．两条直线确定一个平面答案A解析空间四边形不能确定一个平面，因此B错误；若点在直线上，则有无数个平面，因此C错误；若两条直线重合，则有无数个平面，因此D错误．2．两个平面若有三个公共点，则这两个平面()A．相交 B．重合C．相交或重合 D．以上都不对答案C解析若三个点在同一直线上，则两平面可能相交；若这三个点不在同一直线上，则这两个平面重合．3．(多选)三条两两平行的直线可以确定平面的个数可能为()A．0 B．1C．2 D．3答案BD解析当三条互相平行的直线共面时，可确定1个平面；当三条互相平行的直线不共面时，可确定3个平面．故选BD.4．如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1.(1)AC∩BD＝____；(2)平面AB1∩平面A1C1＝____；(3)A1B1∩B1B∩B1C1＝____.答案(1)O(2)A1B1(3)B1解析(1)AC，BD同在平面ABCD中，交于点O.(2)平面AB1与平面A1C1相交，交线为A1B1.(3)A1B1，B1B，B1C1三条直线交于一点B1.5.如图，△ABC与△A1B1C1不全等，且A1B1∥AB，B1C1∥BC，C1A1∥CA．求证：AA1，BB1，CC1交于一点．证明如图所示，∵B1C1∥BC，∴B1C1与BC确定一个平面，记为平面β.同理，将C1A1与CA所确定的平面记为平面γ.易知β∩γ＝C1C.∵△ABC与△A1B1C1不全等，且A1B1∥AB，B1C1∥BC，C1A1∥CA，∴△ABC∽△A1B1C1，A1B1≠AB，∴AA1与BB1相交，设交点为P，P∈AA1，P∈BB1.而AA1⊂γ，BB1⊂β，∴P∈γ，P∈β，∴P在平面β与平面γ的交线上．又β∩γ＝C1C，∴P∈C1C，∴AA1，BB1，CC1交于一点．一、选择题1．能确定一个平面的条件是()A．空间三个点 B．一个点和一条直线C．无数个点 D．两条相交直线答案D解析不在同一条直线上的三个点可确定一个平面，A，B，C的条件不能保证有不在同一条直线上的三个点，故不正确．2．下面空间图形画法错误的是()答案D解析D中被遮住的线画成了实线．3．已知空间四点中，无三点共线，则经过其中三点的平面有()A．一个 B．四个C．一个或四个 D．无法确定平面的个数答案C解析当空间四点共面时，它们确定一个平面；当空间四点不共面时，每三个点都可以确定一个平面，即四个平面．4.如图，平面α∩平面β＝l，A，B∈α，C∈β，C∉l，直线AB∩l＝D，过A，B，C三点确定的平面为γ，则平面γ与β的交线必过()A．点A B．点BC．点C，但不过点D D．点C和点D答案D解析根据基本事实判定点C和点D既在平面β内又在平面γ内，故在平面β与γ的交线上．5．(多选)下列四个命题中，正确的是()A．不共面的四点中任意三点不共线B．若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则A，B，C，D，E共面C．若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c不一定共面D．依次首尾相接的四条线段必共面答案AC解析A中假设其中有三点共线，则该直线与直线外的另一点确定一个平面，这与四点不共面矛盾，故不共面的四点中任意三点不共线，所以A正确；B中当A，B，C共线时，结论可能不成立，所以B不正确；利用正方体模型，易知C正确；由空间四边形，知D不正确．二、填空题6．已知A∈α，B∉α，若A∈l，B∈l，那么直线l与平面α有____公共点．答案1个解析若l与α没有公共点，则l⊄α，又A∈l，所以A∉α与A∈α矛盾；若l与α有一个公共点，A∈α，A∈l，B∉α，B∈l可以同时成立；若l与α至少有两个不同的公共点，则由基本事实2知l⊂α，又B∈l，所以B∈α与B∉α矛盾，所以l与α有且仅有一个公共点A．7．如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是____.答案36解析正方体的一条棱长对应着2个“正交线面对”，12条棱长共对应着24个“正交线面对”；正方体的一条面对角线对应着1个“正交线面对”，12条面对角线对应着12个“正交线面对”，共有36个．8．一条直线和直线外的三点所确定的平面个数是____.答案1或3或4解析若直线与三点在一个平面内，则只有1个平面；若只有两点与直线在同一平面内，则第三个点和平面内的两个点可以确定一个平面，和直线也可以确定一个平面，所以此时共可确定3个平面；若只有一个点与直线共面，则每一个点都可以与直线确定一个平面，三个点也可以确定一个平面，此时可以确定4个平面．三、解答题9．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，设A1C∩平面ABC1D1＝E.证明：点E在平面A1BCD1内．证明∵A1C∩平面ABC1D1＝E，∴E∈A1C.∵A1C⊂平面A1BCD1，∴E∈平面A1BCD1.10.如图所示，AB∩α＝P，CD∩α＝P，A，D与B，C分别在平面α的两侧，AC∩α＝Q，BD∩α＝R.求证：P，Q，R三点共线．证明因为AB∩α＝P，CD∩α＝P，所以AB∩CD＝P.所以AB，CD可确定一个平面，设为β.因为A∈AB，C∈CD，B∈AB，D∈CD，所以A∈β，C∈β，B∈β，D∈β.所以AC⊂β，BD⊂β，平面α，β相交．因为AB∩α＝P，AC∩α＝Q，BD∩α＝R，所以P，Q，R三点是平面α与平面β的公共点，所以P，Q，R都在α与β的交线上．故P，Q，R三点共线．1．已知α，β为平面，A，B，M，N为点，a为直线，下列推理中错误的是()A．A∈a，A∈β，B∈a，B∈β，则a⊂βB．M∈α，M∈β，N∈α，N∈β，则直线MN⊂α，直线MN⊂βC．A∈α，A∈β，则α∩β＝AD．A，B，M∈α，A，B，M∈β，且A，B，M不共线，则α，β重合答案C解析C中，平面α与平面β有公共点A，则它们相交于过点A的一条直线，而不是点A．故C错误．2．(多选)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，若E，F，G分别为棱BC，CC1，B1C1的中点，O1，O2分别是四边形ADD1A1，A1B1C1D