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文档简介

广东省高州四中2023-2024学年高考数学四模试卷注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知,,那么是的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件2.在中,角所对的边分别为,已知,.当变化时,若存在最大值,则正数的取值范围为A. B. C. D.3.已知正项等比数列中,存在两项,使得,,则的最小值是()A. B. C. D.4.正三棱柱中,,是的中点,则异面直线与所成的角为()A. B. C. D.5.函数的定义域为()A.或 B.或C. D.6.若复数z满足,则复数z在复平面内对应的点在()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限7.某三棱锥的三视图如图所示,那么该三棱锥的表面中直角三角形的个数为()A.1 B.2 C.3 D.08.已知双曲线满足以下条件:①双曲线E的右焦点与抛物线的焦点F重合;②双曲线E与过点的幂函数的图象交于点Q,且该幂函数在点Q处的切线过点F关于原点的对称点.则双曲线的离心率是()A. B. C. D.9.要得到函数的图象,只需将函数的图象上所有点的()A.横坐标缩短到原来的(纵坐标不变),再向左平移个单位长度B.横坐标缩短到原来的(纵坐标不变),再向右平移个单位长度C.横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再向左平移个单位长度D.横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再向右平移个单位长度10.《九章算术》是我国古代数学名著,书中有如下问题:“今有勾六步,股八步,问勾中容圆,径几何?”其意思为:“已知直角三角形两直角边长分别为6步和8步,问其内切圆的直径为多少步?”现从该三角形内随机取一点,则此点取自内切圆的概率是()A. B. C. D.11.在复平面内,复数(为虚数单位)的共轭复数对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限12.若复数满足,则()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知数列与均为等差数列(),且,则______.14.设等差数列的前项和为,若,,则______,的最大值是______.15.的展开式中的系数为__________(用具体数据作答).16.在△ABC中,()⊥(>1),若角A的最大值为,则实数的值是_______.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知凸边形的面积为1,边长,,其内部一点到边的距离分别为.求证:.18.(12分)设函数.(1)求的值;(2)若,求函数的单调递减区间.19.(12分)设为抛物线的焦点,,为抛物线上的两个动点,为坐标原点.(Ⅰ)若点在线段上,求的最小值;(Ⅱ)当时,求点纵坐标的取值范围.20.(12分)在四棱锥的底面中,,,平面,是的中点,且(Ⅰ)求证:平面;(Ⅱ)求二面角的余弦值;(Ⅲ)线段上是否存在点,使得,若存在指出点的位置,若不存在请说明理由.21.(12分)在平面直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.(1)若,求曲线与的交点坐标;(2)过曲线上任意一点作与夹角为45°的直线,交于点,且的最大值为,求的值.22.(10分)已知二阶矩阵A=abcd,矩阵A属于特征值λ1=-1的一个特征向量为α1

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】

由,可得,解出即可判断出结论.【详解】解:因为,且.,解得.是的必要不充分条件.故选:.【点睛】本题考查了向量数量积运算性质、三角函数求值、简易逻辑的判定方法,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.2、C【解析】

因为,,所以根据正弦定理可得,所以,,所以,其中,,因为存在最大值,所以由,可得,所以,所以,解得,所以正数的取值范围为,故选C.3、C【解析】

由已知求出等比数列的公比,进而求出,尝试用基本不等式,但取不到等号,所以考虑直接取的值代入比较即可.【详解】,,或(舍).,,.当,时;当,时;当,时,,所以最小值为.故选:C.【点睛】本题考查等比数列通项公式基本量的计算及最小值,属于基础题.4、C【解析】

取中点,连接,,根据正棱柱的结构性质,得出//,则即为异面直线与所成角,求出,即可得出结果.【详解】解:如图,取中点,连接,,由于正三棱柱,则底面,而底面,所以,由正三棱柱的性质可知,为等边三角形,所以,且,所以平面,而平面,则,则//,,∴即为异面直线与所成角,设,则,,,则,∴.故选:C.【点睛】本题考查通过几何法求异面直线的夹角,考查计算能力.5、A【解析】

根据偶次根式被开方数非负可得出关于的不等式,即可解得函数的定义域.【详解】由题意可得,解得或.因此,函数的定义域为或.故选:A.【点睛】本题考查具体函数定义域的求解,考查计算能力,属于基础题.6、A【解析】

化简复数,求得,得到复数在复平面对应点的坐标,即可求解.【详解】由题意,复数z满足,可得,所以复数在复平面内对应点的坐标为位于第一象限故选:A.【点睛】本题主要考查了复数的运算,以及复数的几何表示方法,其中解答中熟记复数的运算法则,结合复数的表示方法求解是解答的关键,着重考查了推理与计算能力,属于基础题.7、C【解析】

由三视图还原原几何体,借助于正方体可得三棱锥的表面中直角三角形的个数.【详解】由三视图还原原几何体如图,其中,,为直角三角形.∴该三棱锥的表面中直角三角形的个数为3.故选:C.【点睛】本小题主要考查由三视图还原为原图,属于基础题.8、B【解析】

由已知可求出焦点坐标为,可求得幂函数为,设出切点通过导数求出切线方程的斜率,利用斜率相等列出方程,即可求出切点坐标,然后求解双曲线的离心率.【详解】依题意可得,抛物线的焦点为,F关于原点的对称点;,,所以,,设,则,解得,∴,可得,又,,可解得,故双曲线的离心率是.故选B.【点睛】本题考查双曲线的性质,已知抛物线方程求焦点坐标,求幂函数解析式,直线的斜率公式及导数的几何意义,考查了学生分析问题和解决问题的能力,难度一般.9、C【解析】

根据三角函数图像的变换与参数之间的关系,即可容易求得.【详解】为得到,将横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),故可得;再将向左平移个单位长度,故可得.故选:C.【点睛】本题考查三角函数图像的平移,涉及诱导公式的使用,属基础题.10、C【解析】

利用直角三角形三边与内切圆半径的关系求出半径,再分别求出三角形和内切圆的面积,根据几何概型的概率计算公式,即可求解.【详解】由题意,直角三角形的斜边长为,利用等面积法,可得其内切圆的半径为,所以向次三角形内投掷豆子,则落在其内切圆内的概率为.故选:C.【点睛】本题主要考查了面积比的几何概型的概率的计算问题,其中解答中熟练应用直角三角形的性质,求得其内切圆的半径是解答的关键,着重考查了推理与运算能力.11、D【解析】

将复数化简得,,即可得到对应的点为,即可得出结果.【详解】,对应的点位于第四象限.故选:.【点睛】本题考查复数的四则运算,考查共轭复数和复数与平面内点的对应,难度容易.12、C【解析】

把已知等式变形,利用复数代数形式的除法运算化简,再由复数模的计算公式求解.【详解】解:由,得,∴.故选C.【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数模的求法,是基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、20【解析】

设等差数列的公差为,由数列为等差数列,且,根据等差中项的性质可得,,解方程求出公差,代入等差数列的通项公式即可求解.【详解】设等差数列的公差为,由数列为等差数列知,,因为,所以,解得,所以数列的通项公式为,所以.故答案为:【点睛】本题考查等差数列的概念及其通项公式和等差中项;考查运算求解能力;等差中项的运用是求解本题的关键;属于基础题.14、【解析】

利用等差数列前项和公式,列出方程组,求出首项和公差的值,利用等差数列的通项公式可求出数列的通项公式,可求出的表达式,然后利用双勾函数的单调性可求出的最大值.【详解】(1)设等差数列的公差为,则,解得,所以,数列的通项公式为;(2),,令,则且,,由双勾函数的单调性可知,函数在时单调递减,在时单调递增,当或时,取得最大值为.故答案为:;.【点睛】本题考查等差数列的通项公式、前项和的求法,考查等差数列的性质等基础知识,考查运算求解能力,是中档题.15、【解析】

利用二项展开式的通项公式可求的系数.【详解】的展开式的通项公式为,令,故,故的系数为.故答案为:.【点睛】本题考查二项展开式中指定项的系数,注意利用通项公式来计算,本题属于容易题.16、1【解析】

把向量进行转化,用表示,利用基本不等式可求实数的值.【详解】,解得=1.故答案为:1.【点睛】本题主要考查平面向量的数量积应用,综合了基本不等式,侧重考查数学运算的核心素养.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、证明见解析【解析】

由已知,易得,所以利用柯西不等式和基本不等式即可证明.【详解】因为凸边形的面积为1,所以,所以(由柯西不等式得)(由均值不等式得)【点睛】本题考查利用柯西不等式、基本不等式证明不等式的问题,考查学生对不等式灵活运用的能力,是一道容易题.18、(1)(2)的递减区间为和【解析】

(1)化简函数,代入,计算即可;(2)先利用正弦函数的图象与性质求出函数的单调递减区间,再结合即可求出.【详解】(1),从而.(2)令.解得.即函数的所有减区间为,考虑到,取,可得,,故的递减区间为和.【点睛】本题主要考查了三角函数的恒等变形,正弦函数的图象与性质,属于中档题.19、(Ⅰ)(Ⅱ)【解析】

(1)由抛物线的性质,当轴时,最小;(2)设点,,分别代入抛物线方程和得到三个方程,消去,得到关于的一元二次方程,利用判别式即可求出的范围.【详解】解:(1)由抛物线的标准方程,,根据抛物线的性质,当轴时,最小,最小值为,即为4.(2)由题意,设点,,其中,.则,①,②因为,,,所以.③由①②③,得,由,且,得,解不等式,得点纵坐标的范围为.【点睛】本题主要考查抛物线的方程和性质和二次方程的解的问题,考查运算能力,此类问题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等,易错点是复杂式子的变形能力不足,导致错解.20、(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ);(Ⅲ)存在,点为线段的中点.【解析】

(Ⅰ)连结,,,则四边形为平行四边形,得到证明.(Ⅱ)建立如图所示坐标系,平面法向量为,平面的法向量,计算夹角得到答案.(Ⅲ)设,计算,,根据垂直关系得到答案.【详解】(Ⅰ)连结,,,则四边形为平行四边形.平面.(Ⅱ)平面,四边形为正方形.所以,,两两垂直,建立如图所示坐标系,则,,,,设平面法向量为,则,连结,可得,又所以,平面,平面的法向量,设二面角的平面角为,则.(Ⅲ)线段上存在点使得,设,,,,所以点为线段的中点.【点睛】本题考查了线面平行,二面角,根据垂直关系确定位置,意在考查学生的计算能力和空间想象能力.21、(1),;(2)或【解析】

(1)将曲线的极坐标方程和直线的参数方程化为直角坐标方程,联立方程,即可求得曲线与的交点坐标;(2)由直线的普通方程为,故上任意一点,根据点到直线距离公式求得到直线的距离,根据三角函数的有界性,即可求得答案.【详解】(1),.由,得,曲线的直角坐标方程为.当时,直线的普通方程为由解得或.从而与的交点坐标为,.(2)由题

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