2025版高考数学一轮总复习考点突破第10章计数原理概率随机变量及其分布第3讲随机事件的概率古典概型考点3较复杂的古典概型问题

较复杂的古典概型问题角度1古典概型与平面向量的交汇(2022·安徽黄山模拟)从集合{1,2,4}中随机抽取一个数a，从集合{2,4,5}中随机抽取一个数b，则向量m＝(a，b)与向量n＝(2，－1)垂直的概率为(B)A.eq\f(1,9) B．eq\f(2,9)C．eq\f(1,3) D．eq\f(2,3)[解析]m⊥n⇔b＝2a，∴满足m⊥n的(a，b)有(1,2)，(2,4)，2个，又基本事件有(1,2)，(1,4)，(1,5)，(2,2)，(2,4)，(2,5)，(4,2)，(4,4)，(4,5)，9个，∴所求概率P＝eq\f(2,9).故选B.角度2古典概型与几何的交汇1.(2022·甘肃兰州模拟)双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，其中a∈{1,2,3,4}，b∈{1,2,3,4}，且a，b取到其中每个数都是等可能的，则直线l：y＝x与双曲线C的左、右支各有一个交点的概率为(B)A.eq\f(1,4) B．eq\f(3,8)C．eq\f(1,2) D．eq\f(5,8)[解析]直线l：y＝x与双曲线C的左、右支各有一个交点，则eq\f(b,a)>1，基本事件总数为4×4＝16，满足条件的(a，b)的情况有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，共6个(或Ceq\o\al(1,3)＋Ceq\o\al(1,2)＋Ceq\o\al(1,1)＝6(个))，故概率为eq\f(3,8).2．(2023·江苏徐州期中抽测)从正方体的8个顶点中任取3个构成三角形，则所得三角形是正三角形的概率是(B)A.eq\f(1,42) B．eq\f(1,7)C．eq\f(3,14) D．eq\f(3,7)[解析]如图所示，从正方体的8个顶点中任取3个构成三角形，基本事件有Ceq\o\al(3,8)＝56种，在正方体中，满足任取3个顶点构成正三角形有8种，顶点的集合分别是{A，C，B1}，{A，C，D1}，{B，D，C1}，{B，D，A1}，{A1，C1，B}，{A1，C1，D}，{B1，D1，A}，{B1，D1，C}，所以所求概率为eq\f(8,56)＝eq\f(1,7).故选B.角度3古典概型与函数的交汇(2022·吉林省实验中学月考)已知函数f(x)＝eq\f(1,3)x3＋ax2＋b2x＋1，若a是从1,2,3三个数中任取的一个数，b是从0,1,2三个数中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为(D)A.eq\f(7,9) B．eq\f(1,3)C．eq\f(5,9) D．eq\f(2,3)[解析]求导得f′(x)＝x2＋2ax＋b2，要满足题意需x2＋2ax＋b2＝0有两个不等实根，即Δ＝4(a2－b2)>0，即a>b，又a，b的取法共有3×3＝9种，其中满足a>b的有(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)，(3,2)共6种，故所求的概率为P＝eq\f(6,9)＝eq\f(2,3).角度4古典概型与统计的综合(2022·天津南开中学模拟)为了解学生课外使用手机的情况，某学校收集了本校500名学生2021年12月课余使用手机的总时间(单位：小时)的情况．从中随机抽取了50名学生，将数据进行整理，得到如图所示的频率分布直方图．已知这50名学生中，恰有3名女生课余使用手机的总时间在[10,12]，现在从课余使用手机总时间在[10,12]的样本对应的学生中随机抽取3名，则至少抽到2名女生的概率为(C)A.eq\f(15,56) B．eq\f(3,8)C．eq\f(2,7) B．eq\f(5,28)[解析]∵这50名学生中，恰有3名女生的课余使用手机总时间在[10,12]，课余使用手机总时间在[10,12]的学生共有50×0.08×2＝8(名)，∴从课余使用手机总时间在[10,12]的学生中随机抽取3人，基本事件总数n＝Ceq\o\al(3,8)＝56，至少抽到2名女生包含的基本事件个数m＝Ceq\o\al(3,3)＋Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(1,5)＝16，则至少抽到2名女生的概率为P＝eq\f(m,n)＝eq\f(16,56)＝eq\f(2,7).故选C.[引申]本例中(1)“至少抽到1名女生”的概率为eq\f(23,28)；(2)“至多抽到1名女生”的概率为eq\f(5,7).[解析](1)解法一：抽到1名女生的概率P1＝eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(2,5),C\o\al(3,8))＝eq\f(15,28)，抽到2名女生的概率P2＝eq\f(C\o\al(2,3)C\o\al(1,5),C\o\al(3,8))＝eq\f(15,56)，抽到3名女生的概率P3＝eq\f(C\o\al(3,3),C\o\al(3,8))＝eq\f(1,56)，∴至少抽到1名女生的概率P＝P1＋P2＋P3＝eq\f(23,28).解法二：记“至少抽到1名女生”为事件A，则eq\x\to(A)：抽取3名男生，∴P(A)＝1－P(eq\x\to(A))＝1－eq\f(C\o\al(3,5),C\o\al(3,8))＝1－eq\f(5,28)＝eq\f(23,28).(2)没有抽到女生的概率P4＝eq\f(C\o\al(3,5),C\o\al(3,8))＝eq\f(5,28)，∴至多抽到1名女生的概率P＝P1＋P4＝eq\f(5,7).或P＝1－P2－P3＝eq\f(5,7).名师点拨：较复杂的古典概型问题的求解方法1．将所求事件转化成几个彼此互斥的事件的和事件，利用互斥事件的概率加法公式求解概率．2．若将一个较复杂的事件转化成几个彼此互斥事件的和事件时分类太多，而其对立面的分类较少，可考虑先求其对立事件的概率，即“正难则反”．常用此方法求“至少”“至多”型事件的概率．【变式训练】1．(角度1)设平面向量a＝(m,1)，b＝(2，n)，其中m，n∈{1,2,3,4}，记“a⊥(a－b)”为事件A，则事件A发生的概率为(A)A.eq\f(1,8) B．eq\f(1,4)C．eq\f(1,3) D．eq\f(1,2)[解析]a⊥(a－b)⇔a·(a－b)＝0⇔m2－2m－n＋1＝0，即n＝(m－1)2，又m、n∈{1,2,3,4}，∴(m，n)共有16个，而事件A仅包括(2,1)，(3,4)，2个，∴P(A)＝eq\f(2,16)＝eq\f(1,8)，故选A.2．(角度2)(2023·广西南宁摸底)从正方体的顶点及其中心共9个点中任选4个点，则这4个点在同一个平面的概率为eq\f(2,7).[解析]如图，选正方体6个侧面上的4个顶点，共有6种选法；过中心O的平面共有6个平面，每个平面含9个点中的5个，则共有6Ceq\o\al(4,5)种选法；所有可能情况有Ceq\o\al(4,9)种，所以这4个点在同一个平面的概率为eq\f(6＋6C\o\al(4,5),C\o\al(4,9))＝eq\f(36,126)＝eq\f(2,7)，故答案为eq\f(2,7).3.(角度3)(2022·四川威远中学月考)若a，b∈{－1,0,1,2}，则函数f(x)＝ax2＋2x＋b有零点的概率为(A)A.eq\f(13,16) B．eq\f(7,8)C.eq\f(3,4) D．eq\f(5,8)[解析]a，b∈{－1,0,1,2}，(a，b)的取法有16种，函数y＝f(x)有零点，即4－4ab≥0，∴ab≤1，当a＝－1或0时，b可取－1,0,1,2；当a＝1时，b可取－1,0,1；当a＝2时，b可取－1,0.共13种．∴所求概率P＝eq\f(13,16)，故选A.4．(角度4)(2022·衡水中学模拟改编)某中学有初中生1800人，高中生1200人，为了解学生本学期课外阅读时间，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名学生，先统计了他们课外阅读时间，然后按“初中生”和“高中生”分为两组，再将每组学生的阅读时间(单位：小时)分为5组：[0,10)，[10,20)，[20,30)，[30,40)，[40,50]，并分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．从阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取2人，则至少抽到1名高中生的概率为eq\f(7,10).[解析]由题意得a＝eq\f(0.1－0.04－0.02－0.03,2)＝0.005.由分层抽样知，抽取的初中生有60名，高中生有40名．初中生中