2025版高考数学一轮总复习考点突破第10章计数原理概率随机变量及其分布第5讲离散型随机变量的分布列均值与方差考点3均值方差在决策问题中的应用

均值、方差在决策问题中的应用(2024·河南高三起点考试)某考生在做高考数学模拟题第12题时发现不会做．已知该题有四个选项，为多选题，至少有两项正确，至多有3个选项正确．评分标准为：全部选对得5分，部分选对得2分，选到错误选项得0分．设此题正确答案为2个选项的概率为p0(0<p0<1)．已知该考生随机选择若干个(至少一个)．(1)若p0＝eq\f(1,2)，该考生随机选择1个选项，求得分X的分布列及数学期望；(2)为使此题得分数学期望最高，请你帮他从以下二种方案中选一种，并说明理由．方案一：随机选择一个选项方案二：随机选择两个选项[解析](1)设多选题正确答案是“选两项”为事件A2，正确答案是“选三项”为事件A3，则Ω＝A2∪A3，P(A2)＝p0，P(A3)＝1－p0；分别记考生得0分，2分，5分为事件B0，B2，B5，∵B0＝A2B0∪A3B0，B2＝A2B2∪A3B2，∴P(B0)＝P(A2B0∪A3B0)＝P(A2B0)＋P(A3B0)＝P(B0|A2)P(A2)＋P(B0|A3)P(A3)＝eq\f(1,2)×eq\f(C\o\al(1,2),C\o\al(1,4))＋eq\f(1,2)×eq\f(1,C\o\al(1,4))＝eq\f(1,4)＋eq\f(1,8)＝eq\f(3,8)；P(B2)＝P(A2B2∪A3B2)＝P(A2B2)＋P(A3B2)＝P(B2|A2)P(A2)＋P(B2|A3)P(A3)＝eq\f(1,2)×eq\f(C\o\al(1,2),C\o\al(1,4))＋eq\f(1,2)×eq\f(C\o\al(1,3),C\o\al(1,4))＝eq\f(1,4)＋eq\f(3,8)＝eq\f(5,8)；∴得分X的分布列为：X02Peq\f(3,8)eq\f(5,8)∴得分X的数学期望E(X)＝0×eq\f(3,8)＋2×eq\f(5,8)＝eq\f(5,4).(2)方案一：随机选择一个选项正确答案是“选两项”时，考生选1项，选对得2分，选错得0分；正确答案是“选三项”时，考生选1项，选对得2分，选错得0分．∵B0＝A2B0∪A3B0，B2＝A2B2∪A3B2，∴P(B0)＝P(B0|A2)P(A2)＋P(B0|A3)P(A3)＝p0×eq\f(2,4)＋(1－p0)×eq\f(1,4)＝eq\f(1,4)＋eq\f(1,4)p0；P(B2)＝P(B2|A2)P(A2)＋P(B2|A3)P(A3)＝p0×eq\f(2,4)＋(1－p0)×eq\f(3,4)＝eq\f(3,4)－eq\f(1,4)p0；∴随机选择一个选项得分的数学期望为0×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)＋\f(1,4)p0))＋2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)－\f(1,4)p0))＝eq\f(3,2)－eq\f(1,2)p0；方案二：随机选择两个选项；P(B0)＝P(B0|A2)P(A2)＋P(B0|A3)P(A3)＝p0×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(C\o\al(2,2),C\o\al(2,4))))＋(1－p0)×eq\f(C\o\al(1,3),C\o\al(2,4))＝eq\f(5,6)p0＋eq\f(1,2)(1－p0)＝eq\f(1,3)p0＋eq\f(1,2)；P(B2)＝P(B2|A2)P(A2)＋P(B2|A3)P(A3)＝p0×0＋(1－p0)×eq\f(C\o\al(2,3),C\o\al(2,4))＝eq\f(1,2)(1－p0)＝eq\f(1,2)－eq\f(1,2)p0；P(B5)＝P(B5|A2)P(A2)＋P(B5|A3)P(A3)＝p0×eq\f(1,C\o\al(2,4))＋(1－p0)×0＝eq\f(1,6)p0；∴随机选择两个选项得分的数学期望为0×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)p0＋\f(1,2)))＋2×eq\f(1,2)(1－p0)＋5×eq\f(1,6)p0＝1－eq\f(1,6)p0；∵eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)－\f(1,2)p0))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,6)p0))＝eq\f(1,2)－eq\f(1,3)p0>0，∴选择方案一．名师点拨：随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量稳定于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据．一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定．有时也通过比较事件发生概率的值进行决策．【变式训练】(2024·四川成都诊断、四川绵阳高三突击班诊断)新高考数学试卷中的多项选择题，给出的4个选项中有2个以上选项是正确的，每一道题考生全部选对得5分．对而不全得2分，选项中有错误得0分．设一套数学试卷的多选题中有2个选项正确的概率为p(0<p<1)，有3个选项正确的概率为1－p，没有4个选项都正确的(在本问题中认为其概率为0)．在一次模拟考试中：(1)小明可以确认一道多选题的选项A是错误的，从其余的三个选项中随机选择2个作为答案，若小明该题得5分的概率为eq\f(1,12)，求p；(2)小明可以确认另一道多选题的选项A是正确的，其余的选项只能随机选择．小明有三种方案：①只选A不再选择其他答案；②从另外三个选项中再随机选择1个，共选2个；③从另外三个选项中再随机选择2个，共选3个．若p＝eq\f(5,12)，以最后得分的数学期望为决策依据，小明应该选择哪个方案？[解析](1)记一道多选题“有2个选项正确”为事件A1，“有3个选项正确”为事件A2，“小明该题得5分”为事件B，则P(B)＝P(BA1)＝P(A1)×P(B|A1)＝p×eq\f(1,C\o\al(2,3))＝eq\f(1,12)，求得p＝eq\f(1,4).(2)若小明选择方案①，则小明的得分为2分．若小明选择方案②，记小明该题得分为X，则X＝0,2,5，且P(X＝0)＝P(A1)eq\f(C\o\al(1,2),C\o\al(1,3))＋P(A2)eq\f(C\o\al(1,1),C\o\al(1,3))＝eq\f(5,12)×eq\f(2,3)＋eq\f(7,12)×eq\f(1,3)＝eq\f(17,36)，P(X＝2)＝P(A2)eq\f(C\o\al(1,2),C\o\al(1,3))＝eq\f(7,12)×eq\f(2,3)＝eq\f(14,36)＝eq\f(7,18)，P(X＝5)＝P(A1)eq\f(C\o\al(1,1),C\o\al(1,3))＝eq\f(5,12)×eq\f(1,3)＝eq\f(5,36)，所以E(X)＝0×eq\f(17,36)＋2×eq\f(14,36)＋5×eq\f(5,36)＝eq\f(53,36)，若小明选择方案③，记小强该题得分为Y，则Y＝0,5，且P(Y＝0)＝P(A1)eq\f(C\o\al(2,3),C\o\al(2,3))＋P(A2)eq\f(C\o\al(1,1)C\o\al(1,2),C\o\al(2,3))＝eq\f(5,12)＋eq\f(7,12)×eq\f(2,3)＝e