2025版高考数学一轮总复习考点突破第7章立体几何第3讲空间直线平面平行的判定与性质考点2直线与平面平行的判定与性质

直线与平面平行的判定与性质角度1线面平行的判定(2024·四川巴中诊断(节选))如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB⊥AD，PA＝AD＝4，AB＝BC＝2，E，F分别为CD，PA的中点．证明：EF∥平面PBC.[证明]思路一：利用直线、面平行的判定证明证法一：连接AE延长交BC的延长线于N，连接PN，∵AD∥BC，即AD∥CN，又CE＝ED，∴AE＝EN，又AF＝FP，∴EF∥PN，∵PN⊂平面PBC，EF⊄平面PBC，∴EF∥平面PBC.证法二：过E点作MN∥AB且交BC延长线于M，交AD于N，取PB的中点H，连接HM，∵AD∥BC，∴eq\f(ME,MN)＝eq\f(CE,CD)＝eq\f(1,2)，∴ME綉eq\f(1,2)AB，又F、H分别为PA、PB的中点，∴HF綉eq\f(1,2)AB，从而ME綉HF，∴FHME为平行四边形，∴EF∥MH，又MH⊂平面PBC，EF⊄平面PBC，∴EF∥平面PBC.思路二：利用面、面平行的性质证明证法三：取AB的中点M，连接ME，MF(如右图)由E，F分别为CD，PA的中点及中位线定理得ME∥BC，MF∥PB，∵BC，PB⊂平面PBC，FM，EM⊄平面PBC，∴ME∥平面PBC，MF∥平面PBC，又ME∩MF＝M，ME，MF⊂平面EFM，故平面EFM∥平面PBC，∵EF⊂平面EFM，∴EF∥平面PBC.证法四：取PD的中点Q，连接QE，QF(如右图)由E，F分别为CD，PA的中点及中位线定理得QF∥AD，QE∥PC，∵PC⊂平面PBC，QE⊄平面PBC，∴QE∥平面PBC，∵AD∥BC，QF∥AD，∴QF∥BC，∵BC⊂平面PBC，QF⊄平面PBC，∴QF∥平面PBC，又QE∩QF＝Q，QE，QF⊂平面EFQ，∴平面EFQ∥平面PBC，∵EF⊂平面EFQ，∴EF∥平面PBC.思路三：空间向量方法证法五：∵PA⊥底面ABCD，AB，AD⊂平面ABCD，∴PA⊥AB，PA⊥AD，又AB⊥AD，故AB，AD，AP两两垂直，以A为原点，eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AP,\s\up6(→))分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系A－xyz，如右图：由PA＝AD＝4，AB＝BC＝2知：A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,4,0)，P(0,0,4)，E(1,3,0)，F(0,0,2)，∴eq\o(BC,\s\up6(→))＝(0,2,0)，eq\o(BP,\s\up6(→))＝(－2,0,4)，eq\o(EF,\s\up6(→))＝(－1，－3，2)，设平面PBC的一个法向量为v＝(x1，y1，z1)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(v·\o(BC,\s\up6(→))＝0，,v·\o(BP,\s\up6(→))＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2y1＝0，,－2x1＋4z1＝0，))取z1＝1得v＝(2,0,1)，∵v·eq\o(EF,\s\up6(→))＝－1×2＋(－3)×0＋2×1＝0，EF⊄平面PBC，∴EF∥平面PBC.[引申]本例条件下，证明BF∥平面PCD.[证明]取PD的中点O，连接FO，CO，∵FO是△PAD的中位线，∴FO∥AD且FO＝eq\f(1,2)AD，又∵BC綉eq\f(1,2)AD，∴BC綉FO，∴四边形BCOF是平行四边形，∴BF∥CO，又BF⊄平面PCD，CO⊂平面PCD，∴BF∥平面PCD.名师点拨：判断或证明线面平行的常用方法1．利用线面平行的定义(无公共点)．2．利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)．3．利用面面平行的性质定理(α∥β，a⊂α⇒a∥β)．4．利用面面平行的性质(α∥β，a⊄β，a∥α⇒a∥β)．5．向量法：证明直线的方向向量与平面的法向量垂直．注：线面平行的关键是线线平行，证明中常构造三角形中位线或平行四边形．【变式训练】本例中，若eq\o(PQ,\s\up6(→))＝2eq\o(QB,\s\up6(→))，证明：PD∥平面ACQ.[证明]连接BD、AC交于O，连接OQ，∵BC綉eq\f(1,2)AD，∴eq\f(BO,OD)＝eq\f(1,2)，又eq\o(PQ,\s\up6(→))＝2eq\o(QB,\s\up6(→))，即eq\f(BQ,QP)＝eq\f(1,2)，∴eq\f(BO,OD)＝eq\f(BQ,QP)＝eq\f(1,2)，∴OQ∥PD，又OQ⊂平面ACQ，PD⊄平面ACQ，∴PD∥平面ACQ.角度2线面平行的性质如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和PA作平面PAHG交平面BMD于GH.求证：PA∥GH.[证明]如图所示，连接AC交BD于点O，连接MO，∵四边形ABCD是平行四边形，∴O是AC的中点，又M是PC的中点，∴PA∥MO.又MO⊂平面BMD，PA⊄平面BMD，∴PA∥平面BMD.∵平面PAHG∩平面BMD＝GH，PA⊂平面PAHG，∴PA∥GH.名师点拨：空间中证明两条直线平行的常用方法1．利用线面平行的性质定理，即a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b.已知l∥α，一般找或作过l且与α相交的平面探求解题方向．2．利用平行公理：平行于同一直线的两条直线互相平行．3．利用垂直于同一平面的两条直线互相平行．【变式训练】1.(角度1)(2022·广东佛山质检，节选)如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是平行四边形，E、F分别为AD、PC的中点．求证：EF∥平面PAB.[证明]证法一：取PB的中点H，连接FH、HA，∵F为PC的中点，∴FH綉eq\f(1,2)BC，又四边形ABCD为平行四边形，∴BC綉AD，从而FH綉eq\f(1,2)AD，又E为AD的中点，∴FH綉EA，∴四边形AEFH为平行四边形，∴EF∥AH，又EF⊄平面PAB，HA⊂平面PAB，∴EF∥平面PAB.证法二：取BC的中点H，连接FH，HE，∵F为PC的中点，∴FH∥BP，又FH⊄平面PAB，∴FH∥平面PAB，又E为AD的中点，且四边形ABCD为平行四边形，∴HE∥BA，又HE⊄平面PAB，∴HE∥平面PAB，又FH∩EH＝H，∴平面EFH∥平面PAB，∴EF∥平面PAB.证法三：连CE并延长交BA的延长线于H，连接PH.∵E为平行四边形ABCD的边AD的中点，∴△CDE≌△HAE，∴CE＝EH，又F为PC的中点，∴EF∥PH，又EF⊄平面PAB，PH⊂平面PAB，∴EF∥平面PAB.2．(角度2)(2024·湖北宜荆荆恩联考)四棱锥P－ABCD中，底面是平行四边形，E，F分别为线段PD，PC上的点，eq\f(PE,ED)＝eq\f(3,2)，若BF∥平面AEC，则eq\f(PF,FC)＝eq\f(1,2).[解析]设AC∩BD＝O，连接DF交CE于G，连接OG，BF，由于BF∥平面AEC，BF⊂平面BDF，平面BDF∩平面AEC＝OG，则BF∥OG，由于O是B