含参单调性的分类讨论

含参单调性分类讨论一、导函数可因式分解1.已知函数f(X)=X2-(a-2)X-alnx(aeR).求函数y=f(%)的单调区间.(%+1)(2%-a)(%+1)(2%-a)，f(X)=2x-(a-2)-a=2X2-(。-2)X-a当a<0时，ff(x)>0对任意xe(0,+s)恒成立，所以，函数f(%)在区间(0,+8)单调递增;TOC\o"1-5"\h\z当a>0时，由f(%)>0得%>a，由f(%)<0得0<%<a，21 ^2(a\ 一5所以，函数在区间-,+8上单调递增，在区间0,-上单调递减.12 )a-1.设函数f(x)=lnx，g(x)=ax+ 3(aeR)，求函数叭x)=f(x)+g(x)的单Xa-a-1解：因为①(％)=f(%)+g(%)=lnX+ax+ -3(%>0),%ax2+%-(a-1) (ax-(a-1))(%+1) :——_=2 '一—————-(%>0)，a-1①当a=0时，由中(x)>0，解得%>0；②当a>1时，由中(%)>0，解得%> ；a③当0<a<1时，由8(%)>0，解得%>0；④当a=1时，由8(%)>0，解得%>0；a-1⑤当a<0时，由8(%)>0，解得0<%<——.aa-1综上所述，当a<0时，8(%)的增区间为(0,——)；当0<a<1时，8(%)的增区间为(0,+8)；a一,、 a-1 、a>1时，①(％)的增区间为( ,+8).a二、导函数不可因式分解.函数f(x)=alnx—x2+x，当a<0时，讨论函数f(x)的单调性.解：函数f(x)的定义域是(0,+8)，fr(fr(x)=a—2x+1=

x—2x2+x+a，10当a<-110当a<-1时，1+8a<0，当xe(0,+8)时，f,(x)<08函数f(x)的单调递减区间是(0,+8)；- 120当——<a<0，1+8a>0，-2x2+x+a=0两根分别是:81—\1+8a 1+\-;1+8a——2 >0,x= >0，4 2 4当xe(0,x)时，ff(x)<0，函数f(x)单调递减；1\o"CurrentDocument"当xe(x,x)时，f，(x)>0，函数f(x)单调递增；1 2当xe(x,+8)时，r(x)<0，函数f(x)单调递减.2综上所述：1当a<—§时，函数f(x)的单调递减区间是(0,+8)；1 八当一一1 八当一一<a<08函数f(x)的单调递增区间是1-J1+8a1+J1+8a(单调递减区间是0,(单调递减区间是0,I1-J1+8a4J1+J1+8a—4—，+8.V.已知函数f(x)=lnx+a(x—1)2(a>0)，讨论f(x)的单调性.1 2ax2—2ax+1解：f(x)=—+2ax—2a= ，(x>0)xx10当0<a<2时，f，(x)20，f(x)在(0,+8)上单调递增；

20当a>2时，设2ax2—2ax+1=0的两个根分别为x,X1 :则x1=a+Va则x1=a+Va2—2a2a ，x2a2当xe(0,x)时，r(x)>0,函数f(x)单调递增；1当x£(x,x)时，f，(x)<0,函数f(x)单调递减;1 2当xe(x2,+s)时，ff(x)>°,函数f(x)单调递增.综上所述：略当0<a<2时，函数f(x)的单调递增区间是(0,+8)；当a>2时，函数f(x当a>2时，函数f(x)的单调递减区间是a-aa2—2a

2aa+Ja2-2a

2ar单调递增区间是0,i2aa+Ja2-2a2a,,+8J习题巩固：.已知函数f(x)=ex(ax2—2x+2)(a>0)，试讨论fx)的单调性.解：由题意得f，(x)=ex(ax2—2x+2+2ax—2)=exax2+令f'(x)=。，解得工二o,x之二=10当0<a<1时，f(x)的递增区间为(—8,0)和f2—2°,+r],递减区间为f0,2—2aIaJ IaJ20当a=1时，f，(x)=x2ex>0恒成立，f(x)的单调递增区间为R30当a>30当a>1时，f(x)的递增区间为f—8,2一'IaJ和(0,+8),递减区间为-——,0J.已知函数g(x)=lnx+ax2-(2a+1)x，若a>0，试讨论函数g(x)的单调性.2ax2-(2a+1)x+1(2ax-1)(x-1)解：g'(x)= = ,定义域为(0,+^),xx所以当a=0时，g'(x)=-x—1.x由g'(x)>0，得0<x<1,由g'(x)<0,得x>1.当a>0时，令g'(x)=0，得x=1或x=—，2aTOC\o"1-5"\h\z41T 1若—<1，即a>—.2a 2由g'(x)>0，得x>1或0<x<—，由g'(x)<0，得—<x<1；2a 2a11若一>1，即0<a<.2a 2由g'(x)>0，得0<x<1或x>—，由g'(x)<0，得1<x<—；2a 2a11若———1，即a—.2a 2在(0,+8)上恒有g'(x)>0.综上所述：乙1\在［七J上单调递减(1 \在［五，+8J上当a=0时，函数g乙1\在［七J上单调递减(1 \在［五，+8J上当0<a<2时，函数g(x)在(0,1)上单调递增2单调递增；当a—2时，函数g(x)在(0,+8)上单调递增;当a当a>1时，函数g(x)在f0,3］上单调递增,2 I2a/在f!」］上单调递减，在(1,+8)上单调、2a/递增..设函数/(%)=ln%-g%2+qx,aeR.讨论函数y=/(%)的单调性，并写出单调区间.解：函数/G)的定义域是(0，+8)，p,(\1- -2<zx2+ax+lTOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"j\x7=--lax+a= ,x x令g(x)=-2o¥2+ox+l,A=q2+8a.Io当一8«〃《。时，/"(%)>0,/(x)在(0,+oo)上单调递增;1+1+-2o当a〉。，g(x)=-2oi2+£a+l=0的正根是：x= —,广(。>0,函数/&)单调递增;尸(x)<0,函数/(%)单调递减;3o广(。>0,函数/&)单调递增;尸(x)<0,函数/(%)单调递减;3o当q<—8,g(x)=—2ax2+qx+1=0的根是:当x£(O,x)时，/'(x)〉0,函数/Q)单调递增；1.当xe(x,x)时，f((x)<0,函数/(x)单调递减；1 2当时,/心)〉0,函数/G)单调递增.2综上所述：略.设a>0,讨论函数f(x)=lnx+a(1-a)x2-2(1-a)x的单调性.解：函数f(x)的定义域为(0,+s),(11 ( )o()2a(1-a)x2-2(1-a)x+1f(x) +2a(1—a)x—2(1—a) x x当a牛1时，方程2a(1-a)x2-2(1-a)x+1的判别式为：A=12(a-1)(a-1I3J10当0<a<3时，A>0，f,(x)有两个零点分别为：1..;(a-1)(3a-1) 1,；'(a-1)(3a-1)x=5-——(~c )>0,x=5-+—(~t ) >0，12a 2a(1-a) 22a 2a(1-a)且当xG(0,x)或xG(x,+8)时，f，(x)>0，函数f(x)单调递增；1 2当xG(x,x)时，f，(x)<0，函数f(x)单调递减；1220当3<a<1时，A<0，f'(x)>0，所以f(x)在(0,+8)上单调递增;30当a=1时，/(x)=1>0，所以f(x)在(0,+8)上单调递增；x4。当a>1时，A>0，f'(x)有两个零点分别为：1 (aa-1)(3a-1)>0 1+J(a-1)(