考研数学二(解答题)模拟试卷18(题后含答案及解析)

考研数学二（解答题）模拟试卷18(题后含答案及解析)题型有：1.1．已知=d，计算行列式正确答案：利用行列式的分解法进行计算：涉及知识点：行列式2．求极限正确答案：原式涉及知识点：函数、极限、连续3．正确答案：令f(x)=arctanx，由微分中值定理得涉及知识点：高等数学部分4．计算二重积分其中正确答案：将极坐标转化为直角坐标，可得积分区域如图1—4—18所示。D={(x，y)｜0≤x≤1，0≤y≤x}，涉及知识点：多元函数微积分学5．设f(x)在(一∞，+∞)上是导数连续的有界函数，|f(x)一f’(x)|≤1．证明：|f(x)|≤1．正确答案：因为f(x)有界，所以于是e-xf(x)|x+∞=∫x+∞[e-xf(x)]’dx，即一e-xf(x)=∫x+∞一e-x[f(x)一f’(x)]dx，两边取绝对值得e-x|f(x)|≤∫x+∞e-x|f(x)一f’(x)|dx≤∫x+∞e-xdx=e-x，故|f(x)|≤1．涉及知识点：高等数学6．证明I=sinx2dx＞0。正确答案：令x2=t，则对于I2，令t=s+π，则于是I=I1+I2=上述积分中被积函数注意到，若补充定义f(0)=0，则f(t)在[0，π]上连续，且f(t)＞0。根据定积分的性质可得I＞0。涉及知识点：一元函数积分学7．求微分方程y’’(x+y’2)=y’满足初始条件y(1)=y’(1)=l的特解。正确答案：因本题不含y，所以可设y’=p，于是y’’=p’，因此原方程变为p’(x+p2)=p，从而有，解之得x=p(p+C)。将p(1)=1代入x=P(P+c)得C=0于是x=p2，所以，从而结合y(1)=1得故涉及知识点：常微分方程8．设A是一个可逆实对称矩阵，记Aij是它的代数余子式．二次型(1)用矩阵乘积的形式写出此二次型．(2)f(x1，x2，…，xn)的规范形和XTAX的规范形是否相同?为什么?正确答案：(1)由于A是实对称矩阵，它的代数余子式Aij=Aji，i，j，并且A－1也是实对称矩阵，其(i，j)位的元素就是4ij｜A｜，于是f(x1，x2，…，xn)=XTA－1X．(2)A－1的特征值和A的特征值互为倒数关系，因此A－1和A的正的特征值的个数相等，负的特征值的个数也相等，于是它们的正，负惯性指数都相等，从而A－1和A合同，f(x1，x2，…，xn)和XTAX有相同的规范形．涉及知识点：二次型9．正确答案：涉及知识点：一元函数积分学10．抛物线y2＝2χ把圆χ2＋y2＝8分成两个部分，求左右两个部分的面积之比．正确答案：设左边的面积为S1，右边的面积为S2，涉及知识点：定积分及应用11．计算行列式Dn=，其中n＞2。正确答案：把第1行的(一x)倍分别加到第2，3，…，n行，得当x≠0时，再把第j(j=2，3，…，n)列的倍加到第1列，Dn化成了上三角行列式Dn==(一1)n—1(n—1)xn—2。当x=0时，显然有Dn=0，所以当n＞2时，总有Dn=(一1)n—1(n—1)xn—2。涉及知识点：行列式12．求函数z=x2+y2+2x+y在区域D={(x，y)|x2+y2≤1)上的最大值与最小值．正确答案：由于x2+y2≤1是有界闭区域，z=x2+y2+2x+y在该区域上连续，因此一定能取到最大值与最小值．①解方程组得由于不在区域D内，舍去．②函数在区域内部无偏导数不存在的点．③再求函数在边界上的最大值与最小值点，即求z=x2+y2+2x+y满足约束条件x2+y2=1的条件极值点．此时z=1+2x+y．用拉格朗日乘数法，作拉格朗日函数L(x，y，λ)=1+2x+y+λ(x2+y2一1)，解方程组得或所有三类最值怀疑点仅有两个，由于所以最小值最大值涉及知识点：多元函数微分学13．求正确答案：记此矩阵为A．A2=A3==-2A．即A2A=-2A．则A2017=(A2)1008A=(-2)1008A=21008A．涉及知识点：矩阵14．求一个以y1=tet，y2=sin2t为其两个特解的四阶常系数齐次线性微分方程，并求其通解．正确答案：由y1=tet可知y3=et亦为其解，由y2=sin2t可得y4=cos2t也是其解，故所求方程对应的特征方程的根λ1=λ3=1，λ2=2i，λ4=一2i．其特征方程为(λ一1)2(λ2+4)=0，即λ4一2λ3+5λ2一8λ+4=0．故所求的微分方程为y(4)一2y”‘+5y”一8y’+4y=0，其通解为y=(C1+C2t)et+C3cos2t+C4sin2t，其中C1，C2，C4，C4为任意常数．涉及知识点：微分方程15．已知A，B是三阶方阵，A≠O，AB=O，证明：B不可逆．正确答案：AB=O，(AB)T=BTAT=O，A≠O，BTX=0有非零解，故|BT|=0，即|B|=0，从而有B不可逆．涉及知识点：线性代数设f(x)为[一a，a]上的连续偶函数，且f(x)＞0，令F(x)=∫-aa|x－t|一f(t)dt16．证明F’(x)单调增加；正确答案：所以f’’(x)=2f(x)＞0，因此F’(x)为单调增加的函数。涉及知识点：一元函数微分学17．当x取何值时，F(x)取最小值；正确答案：因为且f(x)为偶函数，所以F’(0)=0，又因为f’’(0)＞0，所以x=0为F(x)的唯一极小值点，也为最小值点。涉及知识点：一元函数微分学18．当F(x)的最小值为f（A）一a2一1时，求函数f(x)。正确答案：由2∫0n(t)dt=f（A）一a2—1，两边对a求导得2af（A）=f’(a)一2a，于是f’(x)一2xf(x)=2x，解得f(x)=[∫2xe-2xdxdx+C∫e-∫-2xdx=Cex2一1，在2∫02tf(