2024年初一下册数学专项练习50《平面图形的认识（二）》全章复习与巩固(基础)知识讲解

2024年初一下册数学专项练习《平面图形的认识（二）》全章复习与巩固（基础）知识讲解【学习目标】1.区别平行线的判定与性质，并能灵活运用；2.了解图形平移的概念及性质；3.熟练掌握三角形的三边关系及内角和定理，并能灵活应用；4、掌握多边形的内角和公式与外角和定理．【知识网络】【要点梳理】要点一、平行线的判定与性质1．平行线的判定判定方法1：同位角相等，两直线平行．判定方法2：内错角相等，两直线平行．判定方法3：同旁内角互补，两直线平行．要点诠释：根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的判定方法还有：（1）平行线的定义：在同一平面内，如果两条直线没有交点（不相交），那么两直线平行.（2）如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线平行（平行线的传递性）.（3）在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行.（4）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.2．平行线的性质性质1：两直线平行，同位角相等；性质2：两直线平行，内错角相等；性质3：两直线平行，同旁内角互补.要点诠释：根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的性质还有：（1）若两条直线平行，则这两条直线在同一平面内，且没有公共点．（2）如果一条直线与两条平行线中的一条直线垂直，那么它必与另一条直线垂直．要点二、图形的平移1.平移的定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平移．要点诠释：决定平移的两个要素：（1）平移的方向；（2）平移的距离．2.平移的性质：(1)图形的平移不改变图形的形状与大小，只改变图形的位置．（2）图形平移后，对应点的连线平行或在同一直线上且相等．(3)图形经过平移，对应线段互相平行或在同一条直线上且相等，对应角相等．要点三、认识三角形（2）按边分：1（2）按边分：底和腰不等的等腰三角形三角形不等边三角形等腰三角形等边三角形底和腰不等的等腰三角形三角形不等边三角形等腰三角形等边三角形锐角三角形直角三角形钝角三角形三角形2.三角形的三边关系三角形的任意两边之和大于第三边;三角形任意两边之差小于第三边.要点诠释：（1）判断给定三条线段能否构成一个三角形：看较小两边的和是否大于最长边.（2）已知三角形的两边长,确定第三边的范围：两边之差的绝对值＜第三边＜两边之和.3.三角形的三条主要线段（1）在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫做三角形的中线。三角形的三条中线交于三角形内部一点，叫做三角形的重心.（2）在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线，三角形的三条角平分线交于三角形内一点，叫做三角形的内心.（3）在三角形中，从一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点与垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高，三角形的三条高交于一点，叫做三角形的垂心.4.三角形的角（1）三角形的内角和为180°.(2)三角形的一边与他的邻边的延长线组成的角叫做三角形的外角.要点诠释：（1）直角三角形的两个锐角互余.（2）三角形的一个外角等于与它不相邻的两内角和.（3）三角形的一个外角大于任意一个不相邻的内角.要点四、多边形的内角和与外角和1.多边形的内角和：边形的内角和为(－2)·180°(≥3)．要点诠释：(1)内角和定理的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和求其边数；(2)正多边形的每个内角都相等，都等于.2.多边形的外角和：任意多边形的外角和都为360°.要点诠释：多边形的外角和为360°．边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关.【典型例题】 类型一、平行线的性质与判定1.如图，∠1=∠2=40°，MN平分∠EMB，则∠3=°．【答案】110．【解析】解：∵∠2=∠MEN，∠1=∠2=40°，∴∠1=∠MEN，∴AB∥CD，∴∠3+∠BMN=180°，∵MN平分∠EMB，∴∠BMN=，∴∠3=180°﹣70°=110°．【总结升华】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，是基础题，熟记性质并准确识图是解题的关键．举一反三：【变式】如图，已知∠ADE＝∠B，∠1＝∠2，那么CD∥FG吗？并说明理由.【答案】解：平行，理由如下：因为∠ADE＝∠B，所以DE∥BC（同位角相等，两直线平行），所以∠1＝∠BCD（两直线平行，内错角相等）.又因为∠1＝∠2（已知），所以∠BCD＝∠2.所以CD∥FG（同位角相等，两直线平行）.2.如图，已知∠1＋∠2＝180°，∠3＝∠B，试判断∠AED与∠ACB的大小关系，并说明理由．【答案与解析】∠AED＝∠ACB，理由如下：∵∠1＋∠2＝180°，又∠1＋∠4＝180°,∴∠2＝∠4.∴AB∥EF（内错角相等，两直线平行）.∴∠5＝∠3.又∠3＝∠B,∴∠5＝∠B.∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行）.∴∠AED＝∠ACB(两直线平行,同位角相等).【总结升华】反复应用平行线的判定与性质，见到角相等或互补，就应该想到判断直线是否平行，见到直线平行就应联想到角相等或互补.类型二、图形的平移3.如图(1)，线段AB经过平移有一端点到达点C，画出线段AB平移后的线段CD．【思路点拨】连接AC或BC便得平移的方向和距离．【答案与解析】解：如图(2)，线段CD有两种情况：(1)当点A平移到点C时，则点D在点C的下方，因此下边线段CD即为所求；(2)当点B平移到点C时，则点D在点C的上方，上边线段CD即为所求．【总结升华】平移是由平移的方向和距离决定的．本题中未指明哪一端点(A还是B)移动到点C，故应有两种情况：即点A平移到点C或点B平移到点C．举一反三：【变式】（2015•泉州）如图，△ABC沿着由点B到点E的方向，平移到△DEF，已知BC=5．EC=3，那么平移的距离为（）A．2 B．3 C．5 D．7【答案】A．类型三、认识三角形4.已知：三角形的三条边分别为1，x，5，且x为整数，则x＝．【思路点拨】根据三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，求解即可．【答案】5【解析】解：∵三角形的三边长分别为1，x，5

∴第三边的取值范围为：4＜x＜6

∵x为整数，

∴x＝5．【总结升华】此题主要考查对三角形三边关系的理解及运用．5.证明：三角形三个内角的和等于180°.【答案与解析】已知：如图△ABC中，求证：∠1+∠3+∠4＝180°证明：过点C作CE∥AB∴∠4＝∠5(两直线平行,内错角相等)∠1+∠ACE＝180°（两直线平行,同旁内角互补）∴∠1+∠3+∠5＝180°即∠1+∠3+∠4＝180°(等量代换)【总结升华】本题考查证明三角形内角和定理，解题的关键是做平行线，利用平行线的性质进行证明．举一反三：【变式1】如图,AC、BD相交于点O,∠A+∠B＝∠C+∠D吗？为什么？【答案】解：∠A+∠B＝∠C+∠D成立，理由：在⊿AOB中∠A+∠B+∠AOB＝180°∴∠A+∠B＝180°-∠AOB在⊿COD中∠C+∠D+∠COD＝180°∴∠C+∠D＝180°-∠COD∵∠AOB与∠COD是对顶角∴∠AOB＝∠COD∴∠A+∠B＝∠C+∠D(等量代换)【变式2】如图，△ABC的角平分线BD、CE相交于点P，∠A＝70°，求∠BPC的度数．【答案】解：∠ABC＋∠ACB＝180°－∠A＝110°，又∵BD、CE为角平分线，∴∠CBP＋∠BCP＝（∠ABC＋∠ACB）＝55°．∴∠BPC＝180°－55°＝125°．类型四、多边形的内角和与外角和6、一个多边形的内角和与外角和相等，则这个多边形是（）．A．四边形B．五边形C．六边形D．八边形【思路点拨】首先设此多边形是边形，由多边形的外角和为360°，即可得方程180（－2）＝360，解此方程即可求得答案．【答案】A；【解析】解：设此多边形是边形，∵多边形的外角和为360°，∴180（－2）＝360，解得：＝4．∴这个多边形是四边形．【总结升华】此题考查了多边形的内角和与外角和的知识．此题难度不大，注意多边形的外角和为360°，边形的内角和等于（－2）×180°．举一反三：【变式】已知一个多边形的每一内角都等于150°，求这个多边形的内角和．【答案】解：设这个多边形的边数为n，则

（n-2）×180°＝n×150°，

180°n-360°＝150°n，

30°n＝360°

解得n＝12．

∴12×150°＝1800°．

答：这个多边形的内角和为1800°．《平面图形的认识（二）》全章复习与巩固（提高）知识讲解【学习目标】1.区别平行线的判定与性质，并能灵活运用；2.了解图形平移的概念及性质；3.熟练掌握三角形的三边关系及内角和定理，并能灵活应用；4.掌握多边形的内角和公式与外角和定理．【知识网络】【要点梳理】要点一、平行线的判定与性质1．平行线的判定判定方法1：同位角相等，两直线平行．判定方法2：内错角相等，两直线平行．判定方法3：同旁内角互补，两直线平行．要点诠释：根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的判定方法还有：（1）平行线的定义：在同一平面内，如果两条直线没有交点（不相交），那么两直线平行.（2）如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线平行（平行线的传递性）.（3）在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行.（4）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.2．平行线的性质性质1：两直线平行，同位角相等；性质2：两直线平行，内错角相等；性质3：两直线平行，同旁内角互补.要点诠释：根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的性质还有：（1）若两条直线平行，则这两条直线在同一平面内，且没有公共点．（2）如果一条直线与两条平行线中的一条直线垂直，那么它必与另一条直线垂直．要点二、图形的平移1.平移的定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平移．要点诠释：决定平移的两个要素：（1）平移的方向；（2）平移的距离．2.平移的性质：(1)图形的平移不改变图形的形状与大小，只改变图形的位置．（2）图形平移后，对应点的连线平行或在同一直线上且相等．(3)图形经过平移，对应线段互相平行或在同一条直线上且相等，对应角相等．要点三、认识三角形（2）按边分：1（2）按边分：底和腰不等的等腰三角形三角形不等边三角形等腰三角形等边三角形底和腰不等的等腰三角形三角形不等边三角形等腰三角形等边三角形锐角三角形直角三角形钝角三角形三角形2.三角形的三边关系三角形的任意两边之和大于第三边;三角形任意两边之差小于第三边.要点诠释：（1）判断给定三条线段能否构成一个三角形：看较小两边的和是否大于最长边.（2）已知三角形的两边长,确定第三边的范围：两边之差的绝对值＜第三边＜两边之和.3.三角形的三条主要线段（1）在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫做三角形的中线。三角形的三条中线交于三角形内部一点，叫做三角形的重心.（2）在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线，三角形的三条角平分线交于三角形内一点，叫做三角形的内心.（3）在三角形中，从一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点与垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高，三角形的三条高交于一点，叫做三角形的垂心.4.三角形的角（1）三角形的内角和为180°.(2)三角形的一边与他的邻边的延长线组成的角叫做三角形的外角.要点诠释：（1）直角三角形的两个锐角互余；（2）三角形的一个外角等于与它不相邻的两内角和；（3）三角形的一个外角大于任意一个不相邻的内角.要点四、多边形的内角和与外角和1.多边形的内角和：边形的内角和为(－2)·180°(≥3)．要点诠释：(1)内角和定理的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和求其边数；(2)正多边形的每个内角都相等，都等于.2.多边形的外角和：任意多边形的外角和都为360°.要点诠释：多边形的外角和为360°．边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关.【典型例题】 类型一、平行线的性质与判定1.如图，AB∥CD，分别探讨下面四个图形中∠APC与∠PAB、∠PCD的关系，请你从所得到的关系中任选一个加以说明．（适当添加辅助线，其实并不难）【思路点拨】关键过转折点作出平行线，根据两直线平行，内错角相等，或结合三角形的外角性质求证即可．【答案与解析】解：如图：（1）∠APC=∠PAB+∠PCD；证明：过点P作PF∥AB，则AB∥CD∥PF，∴∠APC=∠PAB+∠PCD（两直线平行，内错角相等）．（2）∠APC+∠PAB+∠PCD=360°；（3）∠APC=∠PAB﹣∠PCD；（4）∵AB∥CD，∴∠POB=∠PCD，∵∠POB是△AOP的外角，∴∠APC+∠PAB=∠POB，∴∠APC=∠POB﹣∠PAB，∴∠APC=∠PCD﹣∠PAB．【总结升华】两直线平行时，应该想到它们的性质，由两直线平行的关系得到角之间的数量关系，从而达到解决问题的目的．举一反三：【变式1】已知直线AB∥CD，当点E在直线AB与CD之间时，有∠BED＝∠ABE+∠CDE成立；而当点E在直线AB与CD之外时，下列关系式成立的是().A．∠BED＝∠ABE+∠CDE或∠BED＝∠ABE-∠CDEB．∠BED＝∠ABE-∠CDEC．∠BED＝∠CDE-∠ABE或∠BED＝∠ABE-∠CDED．∠BED＝∠CDE-∠ABE【答案】C（提示：过点E作EF∥AB）【变式2】如图，两直线AB、CD平行，则∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝.【答案】900°2.如图，已知CD∥EF，∠1＋∠2＝∠ABC，求证：AB∥GF.【答案与解析】证明：如图，过点C做CK∥FG，并延长GF、CD交于点H，∵CD∥EF（已知），∴∠CHG＝∠1(两直线平行，同位角相等）.又∵CK∥FG，∴∠CHG＋∠2＋∠BCK＝180°（(两直线平行，同旁内角互补）.∴∠1＋∠2＋∠BCK＝180°（等量代换）.∵∠1＋∠2＝∠ABC（已知），∴∠ABC＋∠BCK＝180°（等量代换）.∴CK∥AB（同旁内角互补，两直线平行）.∴AB∥GF（平行的传递性）.【总结升华】反复应用平行线的判定与性质，见到角相等或互补，就应该想到判断直线是否平行，见到直线平行就应联想到角相等或互补.类型二、图形的平移3.如图所示，把边长为2的正方形的局部进行图①～④的变换，组成图⑤，则图⑤的面积是()A．18B．16C．12D．8【思路点拨】根据平移的基本性质，平移不改变图形的形状和大小，即图形平移后面积不变，则⑤面积可求．【答案】B【解析】图①到图②是将一个等腰三角形由下方平移到上方．图③到图④是将右边的小长方形平移到左侧，所以图④中阴影部分的面积与边长为2的正方形的面积是相等的，图⑤是由4个图④组成的，所以图⑤的面积是4×4＝16．【总结升华】平移是由平移的方向和距离决定的．平移的性质是平移前后，图形的形状、大小不变.举一反三：【变式】如图，AB∥DC，ED∥BC，AE∥BD，写出图中与△ABD面积相等的三角形。【答案】解：由DC∥AB得，S△ABD＝S△ABC，由AE∥BD得，S△ABD＝S△EBD,由ED∥BC得，S△EBD＝S△EDC，所以S△ABD＝S△EDC。类型三、认识三角形4.如图，P为△ABC内任意一点，试比较AB＋AC与PB＋PC的大小，并说明理由。【思路点拨】根据比较的线段构造出三角形，再根据三角形三边关系进行求解．【答案与解析】解：AB＋AC＞PB＋PC，理由如下：延长BP交AC于D，在△ABD中，根据三角形三边关系得AB＋AD＞BP＋PD①。在△PDC中，同理可得PD＋DC＞PC②①＋②得：AB＋AD＋PD＋DC＞BP＋PD＋PC，即AB＋AC＞BP＋PC.【总结升华】本题考查了三角形三边关系，构造三角形是解题的关键，本题也可以延长线段CP与AB相交．举一反三：【变式】下列长度的三条线段能组成三角形的是（）A．5，6，10 B．5，6，11 C．3，4，8 D．4a，4a，8a（a＞0）【答案】A．解：A、∵10﹣5＜6＜10+5，∴三条线段能构成三角形，故本选项正确；B、∵11﹣5=6，∴三条线段不能构成三角形，故本选项错误；C、∵3+4=7＜8，∴三条线段不能构成三角形，故本选项错误；D、∵4a+4a=8a，∴三条线段不能构成三角形，故本选项错误．5.已知如图∠xOy＝90°，BE是∠ABy的平分线，BE的反向延长线与∠OAB的平分线相交于点C，当点A，B分别在射线Ox，Oy上移动时，试问∠C的大小是否发生变化？如果保持不变，请说明理由；如果随点A，B的移动而变化，请求出变化范围.【思路点拨】根据角平分线的定义、三角形的内角和、外角性质求解．【答案与解析】解：∠C的大小保持不变．理由：

∵∠ABy＝90°+∠OAB，AC平分∠OAB，BE平分∠ABy，

∴∠ABE＝∠ABy＝（90°+∠OAB）＝45°+∠OAB，

即∠ABE＝45°+∠CAB，

又∵∠ABE＝∠C+∠CAB，

∴∠C＝45°，

故∠ACB的大小不发生变化，且始终保持45°．【总结升华】本题考查的是三角形内角与外角的关系，解答此题目要注意：

①求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°”这一隐含的条件；

②三角形的外角通常情况下是转化为内角来解决．类型四、多边形的内角和与外角和6若一个多边形的每个外角都等于60°，则它的内角和等于（）A．180°B．720°C．1080°D．540°【思路点拨】由一个多边形的每个外角都等于60°，根据边形的外角和为360°计算出多边形的边数，然后根据边形的内角和定理计算即可．【答案】B；【解析】解：设多边形的边数为，∵多边形的每个外角都等于60°，∴＝360°÷60°＝6，∴这个多边形的内角和＝（6－2）×180°＝720°．【总结升华】本题考查了边形的内角和定理：边形的内角和＝（－2）•180°；也考查了边形的外角和为360°．举一反三：【变式】如图，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＝320°，则∠6＝．【答案】40°幂的运算（基础）【学习目标】1.掌握正整数幂的乘法运算性质（同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方）；能用代数式和文字语言正确地表述这些性质，并能运用它们熟练地进行运算.【要点梳理】要点一、同底数幂的乘法性质(其中都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加.要点诠释：（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式.（2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质，即（都是正整数）.（3）逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数。即（都是正整数）.要点二、幂的乘方法则(其中都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘.要点诠释：（1）公式的推广：(，均为正整数)（2）逆用公式：，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形，从而解决问题.要点三、积的乘方法则(其中是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.要点诠释：（1）公式的推广：(为正整数).（2）逆用公式：逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时，计算更简便.如：要点四、注意事项（1）底数可以是任意实数，也可以是单项式、多项式.（2）同底数幂的乘法时，只有当底数相同时,指数才可以相加.指数为1，计算时不要遗漏.（3）幂的乘方运算时，指数相乘，而同底数幂的乘法中是指数相加.（4）积的乘方运算时须注意，积的乘方要将每一个因式(特别是系数)都要分别乘方.（5）灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁.（6）带有负号的幂的运算，要养成先化简符号的习惯.【典型例题】类型一、同底数幂的乘法性质 1、