2024年初一下册数学专项练习69二元一次方程组的相关概念(基础)知识讲解

2024年初一下册数学专项练习二元一次方程（组）的相关概念（基础）知识讲解【学习目标】1.理解二元一次方程、二元一次方程组及它们的解的含义；2.会检验一组数是不是某个二元一次方程（组）的解.【要点梳理】要点一、二元一次方程含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程．要点诠释：二元一次方程满足的三个条件：（1）在方程中“元”是指未知数，“二元”就是指方程中有且只有两个未知数.（2）“未知数的次数为1”是指含有未知数的项（单项式）的次数是1.（3）二元一次方程的左边和右边都必须是整式.要点二、二元一次方程的解一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的一组解．要点诠释：(1)二元一次方程的解都是一对数值，而不是一个数值，一般用大括号联立起来，如：．(2)一般情况下，二元一次方程有无数个解，即有无数多对数适合这个二元一次方程．要点三、二元一次方程组把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组.要点诠释：组成方程组的两个方程不必同时含有两个未知数，例如也是二元一次方程组.要点四、二元一次方程组的解一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.要点诠释：（1）二元一次方程组的解是一组数对，它必须同时满足方程组中的每一个方程，一般写成的形式．(2)一般地，二元一次方程组的解只有一个，但也有特殊情况，如方程组无解，而方程组的解有无数个．【典型例题】类型一、二元一次方程1．已知下列方程，其中是二元一次方程的有________．(1)2x-5＝y；(2)x-1＝4；(3)xy＝3；(4)x+y＝6；(5)2x-4y＝7；(6)；(7)；(8)；(9)；(10)．【思路点拨】按二元一次方程满足的三个条件一一检验．【答案】(1)(4)(5)(8)(10)【解析】只有(1)(4)(5)(8)(10)满足二元一次方程的概念．(2)为一元一次方程，方程中只含有一个未知数；(3)中含未知数的项的次数为2；(6)只含有一个未知数；(7)不是整式方程；(9)中未知数x的次数为2．【总结升华】判断一个方程是否为二元一次方程的依据是二元一次方程的定义，对于比较复杂的方程，可以先化简，再根据定义进行判断．举一反三：【变式】下列各方程中，是二元一次方程的是（）A．=y+5x B．3x+2y=2x+2y C．x=y2+1 D．【答案】D．类型二、二元一次方程的解2.（2016春•吴兴区期末）下列数组中，是二元一次方程x+y=7的解的是（）A． B． C． D．【思路点拨】二元一次方程x+y=7的解有无数个，所以此题应该用排除法确定答案，分别代入方程组，使方程左右相等的解才是方程组的解．【答案】B【解析】解：A、把x=﹣2，y=5代入方程，左边=﹣2+5≠右边，所以不是方程的解；故本选项错误；B、把x=3，y=4代入方程，左边=右边=7，所以是方程的解；故本选项正确；C、把x=﹣1，y=7代入方程，左边=6≠右边，所以不是方程的解；故本选项错误；D、把x=﹣2，y=﹣5代入方程，左边=﹣7≠右边，所以不是方程的解．故本选项错误．故选B．【总结升华】考查二元一次方程的解的定义，要求理解什么是二元一次方程的解，并会把x，y的值代入原方程验证二元一次方程的解．举一反三：【变式】若方程的一个解是，则a=.【答案】33.已知二元一次方程．(1)用含有x的代数式表示y；(2)用含有y的代数式表示x；(3)用适当的数填空，使是方程的解．【思路点拨】用含一个未知数的代数式表示另一个未知数，就是把要表示的未知数当未知数，把其他的未知数当已知数，然后再将方程变形．【答案与解析】解：(1)将方程变形为3y＝2，化y的系数为1，得．(2)将方程变形为，化x的系数为1，得．(3)把x＝-2代入得，y＝1．【总结升华】用含x的代数式表示y，其实质表示为“y＝含x的代数式”的形式．在进行方程的变形过程中，有效地利用解一元一次方程的方法技巧很重要．举一反三：【变式】已知：2x+3y=7，用关于y的代数式表示x，用关于x的代数式表示y．【答案】解：（1）2x=7－3y，；（2）3y=7－2x，类型三、二元一次方程组及方程组的解4.（2015春•道外区期末）下列各方程组中，属于二元一次方程组的是（）A． B．C． D．【答案】C．【解析】解：A是二元二次方程组，故A不是二元一次方程组；B是三元一次方程组，故B不是二元一次方程组；C是二元一次方程组，故C是二元一次方程组；D不是整式方程，故D不是二元一次方程组；【总结升华】本题考查了二元一次方程组，含有两个未知数，且每个未知数的次数都是1的方程式二元一次方程，两个二元一次方程组成的方程组．5.判断下列各组数是否是二元一次方程组的解．（1）（2）【答案与解析】解：（1）把代入方程①中，左边＝2，右边＝2，所以是方程①的解．把x＝3，y＝-5代入方程②中，左边＝，右边＝，左边≠右边，所以不是方程②的解．所以不是方程组的解．（2）把代入方程①中，左边＝-6，右边＝2，所以左边≠右边，所以不是方程①的解，再把代入方程②中，左边＝x+y＝-1，右边＝-1，左边＝右边，所以是方程②的解，但由于它不是方程①的解，所以它也不是方程组的解．【总结升华】检验是否是方程组的解，应把数值代入两个方程，若两个方程同时成立，才是方程组的解，而方程组中某一个方程的某一组解不一定是方程组的解.举一反三：【变式】写出解为的二元一次方程组．【答案】解：此题答案不唯一，可先任构造两个以为解的二元一次方程，然后将它们用“{”联立即可，现举一例：∵x＝1，y＝-2，∴x+y＝1-2＝-1．2x-5y＝2×1-5×(-2)＝12．∴就是所求的一个二元一次方程组．注：任选的两个方程，只要其对应系数不成比例，联立起来即为所求．二元一次方程（组）的相关概念（提高）知识讲解【学习目标】1.理解二元一次方程、二元一次方程组及它们的解的含义；2.会检验一组数是不是某个二元一次方程（组）的解.【要点梳理】要点一、二元一次方程含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1．像这样的方程叫做二元一次方程．要点诠释：二元一次方程满足的三个条件：（1）在方程中“元”是指未知数，“二元”就是指方程中有且只有两个未知数.（2）“未知数的次数为1”是指含有未知数的项（单项式）的次数是1.（3）二元一次方程的左边和右边都必须是整式.要点二、二元一次方程的解一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的一组解．要点诠释：(1)二元一次方程的解都是一对数值，而不是一个数值，一般用大括号联立起来如：(2)一般情况下，二元一次方程有无数个解，即有无数多对数适合这个二元一次方程．要点三、二元一次方程组把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组.要点诠释：组成方程组的两个方程不必同时含有两个未知数.例如也是二元一次方程组.要点四、二元一次方程组的解一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.要点诠释：（1）二元一次方程组的解是一组数对，它必须同时满足方程组中的每一个方程，一般写成的形式．(2)一般地，二元一次方程组的解只有一个，但也有特殊情况，如方程组无解，而方程组的解有无数个．【典型例题】类型一、二元一次方程1．已知方程（m﹣2）xn﹣1+2y|m﹣1|=m是关于x、y的二元一次方程，求m、n的值．【思路点拨】根据二元一次方程的定义作答．【答案与解析】解：∵（m﹣2）xn﹣1+2y|m﹣1|=m是关于x、y的二元一次方程，∴n﹣1=1，|m﹣1|=1，解得：n=2，m=0或2，若m=2，方程为2y=2，不合题意，舍去，则m=0，n=2．【总结升华】二元一次方程和二元一次方程组中系数的求解，要同时考虑两个未知数的系数与次数，不管方程的形式如何变化，必须满足含有两个未知数，含未知数的项的次数是一次且方程左右两边都是整式这三个条件．举一反三：【变式1】已知方程是二元一次方程，则m=，n=.【答案】-2，【变式2】方程，当时，它是一元一次方程．【答案】；类型二、二元一次方程的解2.已知是方程2x﹣6my+8=0的一组解，求m的值．【思路点拨】把方程的解代入方程可得到关于m的方程，可求得m的值．【答案与解析】解：∵是方程2x﹣6my+8=0的一组解，∴2×2﹣6m×（﹣1）+8=0，解得m=﹣2．【总结升华】本题主要考查二元一次方程解的定义，掌握方程的解满足方程是解题的关键．举一反三：【变式】已知方程2x-y+m-3=0的一个解是，求m的值.【答案】解：将代入方程2x-y+m-3=0得，解得.答：m的值为3.3.写出二元一次方程的所有正整数解.【思路点拨】可以把二元一次方程中的一个未知数看成已知数，先解关于另一个未知数的一元一次方程，当两个未知数的取值均为正整数才是方程的解，写时注意按一定规律写，做到不重、不漏.【答案与解析】解：由原方程得，因为都是正整数，所以当时，.所以方程的所有正整数解为：，，，.【总结升华】对题意理解，要注意两点：①要正确；②不重、不漏.两个未知数的取值均为正整数才是符合题意的解.举一反三：【变式1】（2015春•孟津县期中）已知是关于x、y的二元一次方程ax﹣（2a﹣3）y=7的解，求a的值．【答案】解：把代入方程ax﹣（2a﹣3）y=7，可得：2a+3（2a﹣3）=7，解得：a=2．【变式2】在方程中，若分别取2、、0、－1、－4，求相应的的值.【答案】将变形得.把已知值依次代入方程的右边，计算相应值，如下表：20－1－4－226类型三、二元一次方程组及解4.甲、乙两人共同解方程组由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为．乙看错了方程②中的b．得到方程组的解为．试计算：的值．【思路点拨】把x、y的值代入正确的方程，就可以求出字母的值．【答案与解析】解：把代入②，得-12+b＝-2，所以b＝10．把代入①，得5a+20＝15，所以a＝-1，所以．【总结升华】一组数是方程的解，那么它一定满足这个方程，利用方程解的定义可以求出方程中其他字母的值，所以在今后的学习中要会灵活运用它．举一反三：【变式】已知关于的二元一次方程组，求．【答案】解：将代入原方程组得：，解得，所以．二元一次方程组解法—代入法（提高）知识讲解【学习目标】1.理解消元的思想；2.会用代入法解二元一次方程组.【要点梳理】要点一、消元法1.消元思想：二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，我们就可以先求出一个未知数，然后再求出另一个未知数.这种将未知数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想.2.消元的基本思路：未知数由多变少.3.消元的基本方法：把二元一次方程组转化为一元一次方程.要点二、代入消元法通过“代入”消去一个未知数，将方程组转化为一元一次方程，这种解法叫做代入消元法，简称代入法．要点诠释：(1)代入消元法的关键是先把系数较简单的方程变形为用含一个未知数的式子表示另一个未知数的形式，再代入另一个方程中达到消元的目的．(2)代入消元法的技巧是：①当方程组中含有一个未知数表示另一个未知数的代数式时，可以直接利用代入法求解；②若方程组中有未知数的系数为1(或-1)的方程．则选择系数为1(或-1)的方程进行变形比较简便；(3)若方程组中所有方程里的未知数的系数都不是1或-1，选系数的绝对值较小的方程变形比较简便．【典型例题】类型一、用代入法解二元一次方程组1．用代入法解方程组：【思路点拨】比较两个方程未知数的系数，发现①中x的系数较小，所以先把方程①中x用y表示出来，代入②，这样会使计算比较简便．【答案与解析】解：由①得③将③代入②，解得．将代入③，得x＝3所以原方程组的解为．【总结升华】代入法是解二元一次方程组的一种重要方法，也是同学们最先学习到的解二元一次方程组的方法，用代入法解二元一次方程组的步骤可概括为：一“变”、二“消”、三“解”、四“代”、五“写”．举一反三：【变式】m取什么数值时，方程组的解（1）是正数；（2）当m取什么整数时，方程组的解是正整数？并求它的所有正整数解.【答案】（1）m是大于-4的数时，原方程组的解为正数；（2）m=-3，-2，0，.2.对于某些数学问题，灵活运用整体思想，可以化难为易．在解二元一次方程组时，就可以运用整体代入法：如解方程组：解：把②代入①得，x+2×1=3，解得x=1．把x=1代入②得，y=0．所以方程组的解为请用同样的方法解方程组：．【思路点拨】仿照已知整体代入法求出方程组的解即可．【答案与解析】解：由①得，2x﹣y=2③，把③代入②得，1+2y=9，解得：y=4，把y=4代入③得，x=3，则方程组的解为【总结升华】本题体现了整体思想在解二元一次方程组时的优越性，利用整体思想可简化计算．举一反三：【变式1】解方程组【答案】解：将①代入②：，得y=4，将y=4代入①：2x－12=2得x=7，∴原方程组的解是.（2）解：由②，设x=4，y=3代入①：4－4·3=54－12=5－8=5∴，，∴原方程组的解为.类型二、方程组解的应用3.如果方程组的解是方程3x+my=8的一个解，则m=（）A．1 B．2 C．3 D．4【思路点拨】求出方程组的解得到x与y的值，代入已知方程即可求出m的值．【答案】B．【解析】解：，由①得y=3-x③将③代入②得：6x=12，解得：x=2，将x=2代入②得：10﹣y=9，解得：y=1，将x=2，y=1代入3x+my=8中得：6+m=8，解得：m=2．【总结升华】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．4.已知和方程组的解相同，求的值．【思路点拨】两个方程组有相同的解，这个解是2x+5y＝-6和3x-5y＝16的解．由于这两个方程的系数都已知，故可联立在一起，求出x、y的值．再将x、y的值代入ax-by＝-4，bx+ay＝-8中建立关于a、b的方程组即可求出a、b的值．【答案与解析】解：依题意联立方程组①+③得5x＝10，解得x＝2．把x＝2代入①得：2×2+5y＝-6，解得y＝-2，所以，又联立方程组，则有，解得．所以(2a+b)2011＝-1．【总结升华】求方程（组）中的系数，需建立关于系数的方程（组）来求解，本例中利用解相同，将方程组重新组合换位联立是解答本题的关键.举一反三：【变式】小明和小文解一个二元一次组小明正确解得小文因抄错了c，解得已知小文除抄错了c外没有发生其他错误，求a+b+c的值．【答案】解：把代入cx﹣3y=﹣2，得c+3=﹣2，解得：c=﹣5，把与分别代入ax+by=2，得，解得：，则a+b+c=2+﹣5=3﹣5=﹣2．二元一次方程组解法（一）--代入法（基础）知识讲解【学习目标】1.理解消元的思想；2.会用代入法解二元一次方程组.【要点梳理】要点一、消元法1.消元思想：二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，我们就可以先求出一个未知数，然后再求出另一个未知数.这种将未知数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想.2.消元的基本思路：未知数由多变少.3.消元的基本方法：把二元一次方程组转化为一元一次方程.要点二、代入消元法通过“代入”消去一个未知数，将方程组转化为一元一次方程，这种解法叫做代入消元法，简称代入法．要点诠释：(1)代入消元法的关键是先把系数较简单的方程变形为：用含一个未知数的式子表示另一个未知数的形式，再代入另一个方程中达到消元的目的．(2)代入消元法的技巧是：①当方程组中含有一个未知数表示另一个未知数的代数式时，可以直接利用代入法求解；②若方程组中有未知数的系数为1(或-1)的方程．则选择系数为1(或-1)的方程进行变形比较简便；③若方程组中所有方程里的未知数的系数都不是1或-1，选系数绝对值较小的方程变形比较简便．【典型例题】类型一、用代入法解二元一次方程组1．用代入法解方程组：的解为．【思路点拨】直接将下面的式子代入上面的式子，化简整理即可.【答案与解析】解：解，把②代入①得x+2=12，∴x=10，∴．故答案为：．【总结升华】当方程组中出现一个未知量代替另一个未知量的方程时，一般用直接代入法解方程组.举一反三：