北京市通州区宋庄中学必修一第二单元《函数》测试卷(包含答案解析)

一、选择题1．令表示不超过的最大整数，例如，，，若函数，则函数在区间上所有可能取值的和为（）A．1 B．2 C．3 D．42．已知函数是定义在上的单调函数，，是其函数图像上的两点，则不等式的解集为（）A． B．C． D．3．函数的定义域是（）A． B． C． D．4．设函数的定义域，若对任意的，总存在，使得，则称函数具有性质.下列结论：①函数具有性质；②函数具有性质；③若函数，具有性质，则.其中正确的个数是（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个5．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（）A． B． C． D．6．已知函数的定义域为，则函数的定义域是（）A． B． C． D．7．对于每个实数，设取，，三个函数值中的最小值，则（）A．无最大值，无最小值 B．有最大值，最小值C．有最大值，无最小值 D．有最大值，无最小值8．已知函数f(x)的定义域为R，满足f(x)=2f(x+2)，且当x∈[，0)时，，若对任意的m∈[m，+∞)，都有，则m的取值范围为（）A． B． C． D．9．已知函数，在R上单调递增，则mn的最大值为（）A．2 B．1 C． D．10．若函数的定义域为，值域为，则的取值范围是（）A． B． C． D．11．若函数为上的减函数，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．12．已知函数是奇函数，在上是减函数，且在区间上的值域为，则在区间上（）A．有最大值4 B．有最小值-4 C．有最大值-3 D．有最小值-3二、填空题13．已知存在，不等式成立，则实数a的取值范围是__________.14．定义在上的奇函数在上是增函数，又，则不等式的解集为______．15．已知函数在定义域上是单调函数，若对任意，都有，则的值是______________.16．若关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是______.17．已知函数是幂函数，且在上单调递增，则实数________.18．若函数，若存在区间，使得当时，的取值范围恰为，则实数的取值范围是________.19．函数的定义域为，若且时总有，则称为单函数，例如，函数是单函数，下列命题：①函数是单函数；②若为单函数，且，则；③若为单函数，则对于任意，在中至多有一个数与它对应；④函数在某区间上具有单调性，则在其定义域上一定是单函数．期中正确命题的序号是___________．20．若函数的定义域为，值域为，则的取值范围______.三、解答题21．已知函数，是奇函数.（1）求实数的值；（2）讨论函数在上的单调性，并求函数在上的最大值和最小值.22．（1）已知函数，求的定义域；（2）已知函数，依据函数单调性的定义证明在上单调递减，并求该函数在上的值域.23．已知函数是奇函数，且（1）求实数和的值；（2）利用“函数单调性的定义”判断在区间上的单调性，并求在该区间上的最值．24．已知函数（1）求函数的解析式、定义域；（2）函数，，求函数的最小值.25．已知函数的是定义在上的函数，且图象经过点，.（1）求函数的解析式；（2）证明：函数在上是减函数；（3）求函数在的最大值和最小值.26．若函数f(x)，满足对于任意的，都有成立，g(x)=.（1）求b的取值范围；（2）当b=2时，写出f[g(x)]，g[f(x)]的表达式.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【分析】根据表示不超过的最大整数，分5种情况讨论，分别求出和的值，即可以计算的函数值，相加即可得答案．【详解】因为表示不超过的最大整数，所以：当时，有，则，则，，此时，当时，有，则，则，，此时，当时，有，则，则，，此时，当时，有，则，则，，此时，当时，，则，则，，此时，函数在区间，上所有可能取值的和为；故选：．【点睛】结论点睛：分类讨论思想的常见类型（1）问题中的变量或含有需讨论的参数的，要进行分类讨论的；（2）问题中的条件是分类给出的；（3）解题过程不能统一叙述，必须分类讨论的；（4）涉及几何问题时，由几何元素的形状、位置的变化需要分类讨论的.2．D解析：D【分析】根据题意可得出，从而得出在上为减函数，从而根据不等式得，或，从而得出或，解出的范围【详解】解：由题意得，因为函数是定义在上的单调函数，所以在上为减函数，由，得或，所以或，所以或，解得或，所以不等式的解集为，故选：D【点睛】关键点点睛：此题考查函数单调性的应用，考查绝对值不等式的解法，解题的关键是把转化为或，再利用在上为减函数，得或，考查数学转化思想，属于中档题3．C解析：C【分析】先根据函数的解析式建立不等式组，再解不等式组求定义域即可.【详解】解：因为函数的解析式：所以，解得故函数的定义域为：故选：C【点睛】数学常见基本初等函数定义域是解题关键.4．C解析：C【分析】根据函数性质的定义和指数对数函数的性质，结合每个选项中具体函数的定义，即可判断.【详解】解：对于①：的定义域是，所以，则.对于任意的，总存在，使得，所以函数具有性质，①正确；对于②：函数的定义域为，所以若取，则，此时不存在，使得，所以函数不具有性质，②错误；对于③：函数在上是单调增函数，其值域为，要使得其具有性质，则，即，解得，，故③正确；故选：C.【点睛】本题考查函数新定义问题，对数和指数的运算，主要考查运算求解能力和转换能力，属于中档题型.5．D解析：D【分析】利用奇函数的定义和常见基本初等函数的性质，对选项逐一判断即可.【详解】选项A中，函数，由幂函数性质知是奇函数，且其在两个区间上递减，不能说在定义域内是减函数，故错误；选项B中，函数，定义域是，不对称，故不具有奇偶性，，且在定义域内是增函数，故错误；选项C中，指数函数，，且，故不是奇函数，故错误；选项D中，函数，记，当时，，故，故，当时，，故，当时，，故，故，综上，是奇函数，又时，是开口向下的抛物线的一部分，是减函数，由奇函数性质知在定义域R上是减函数，故正确.故选：D.【点睛】本题解题关键是熟练掌握常见的基本初等函数的性质，易错点是分段函数奇偶性的判断，分段函数必须判断定义域内的每一段均满足（或）才能判定其是奇函数（或偶函数）.6．A解析：A【分析】先求出函数的定义域，再求出函数的定义域.【详解】函数的定义域为，则，所以所以函数的定义域为，则解得函数的定义域为故选:A【点睛】对于抽象函数定义域的求解方法：(1)若已知函数的定义域为，则复合函数的定义域由不等式求出；(2)若已知函数的定义域为，则的定义域为在上的值域．7．D解析：D【分析】作出函数的图象，结合图象可得出结论.【详解】由已知可得，作出函数的图象如下图所示：函数的图象如上图中的实线部分，联立，解得，由图象可知，函数有最大值，无最小值.故选：D.【点睛】关键点点睛：本题考查函数最值的求解，解题的关键就是结合函数的定义，进而作出函数的图象，利用图象得出结论.8．D解析：D【分析】求出时，的值域，满足，根据函数的定义，时，满足，同时可得时均满足，然后求得时的解析式，解不等式得解集，分析后可得的范围．【详解】时，在上递增，在上递减，，满足，当时，，，满足满足，按此规律，时，均满足，当时，，由，解得或，当时，．因此当时，都有，所以．故选：D．【点睛】关键点点睛：本题考查函数不等式恒成立问题，解题关键是依照周期函数的性质，根据函数的定义求出在（）满足，在上直接判断，求出上的解析式，确定的范围，此时有不满足的出现，于是可得结论的范围．9．D解析：D【分析】现根据分段函数单调增，列出不等式组，得出，再根据基本不等式即可求解.【详解】由题意可知，函数在R上单调递增，则，解得，则由基本不等式可得，当且仅当m=n=时取等号.故选：D【点睛】本题主要考查分段函数的单调性，和基本不等式，属于中档题，解题是应注意分段函数单调递增：左边增，右边增，分界点处左边小于等于右边.10．B解析：B【分析】求出，再计算出最小值为，然后求出的值后可得的范围．【详解】，在上递减，在上递增，，又，所以，由解得或，因此．故选：B．【点睛】方程点睛：本题考查二次函数的性质，掌握其对称轴、单调性是解题关键．由此可得二次函数在区间上的最值求法：设，函数的对称轴（），当时，，时，，时，，当时，，当时，．类似讨论．11．C解析：C【分析】由题意可知二次函数在区间上为减函数，函数在区间上为减函数，且有，可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.【详解】由于函数为上的减函数，则二次函数在区间上为减函数，该二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，所以，；函数在区间上为减函数，则，且有.所以，，解得.因此，实数的取值范围是.故选：C.【点睛】本题考查利用分段函数的单调性求参数的取值范围，要注意分析每支函数的单调性以及分界点处函数值的大小关系，考查计算能力，属于中等题.12．B解析：B【分析】根据奇函数的性质,分析在对称的区间上单调性相同,即可找出最大值与最小值.【详解】∵是奇函数,在上是减函数,∴在上也是减函数,即在区间上递减.又∵在区间上的值域为,∴根据奇函数的性质可知且在区间上单调递减,∴在区间上有最大值3,有最小值-4.故选：B.【点睛】本题考查了奇函数的单调性和值域特点,如果性质记不熟,可以将大致图像画出.本题属于中等题.二、填空题13．【分析】问题转化为即可由令问题转化为求的最大值根据二次函数的性质求出的最大值从而求出的范围即可【详解】若存在不等式成立即即可由令问题转化为求的最大值而的最大值是2故故故答案为：【点睛】方法点睛：本题解析：【分析】问题转化为即可，，由，令，，问题转化为求的最大值，根据二次函数的性质求出的最大值，从而求出的范围即可．【详解】若存在，不等式成立，即即可，，由，令，，问题转化为求的最大值，而，的最大值是2，故，故，故答案为：【点睛】方法点睛：本题考查函数的有解问题，一般通过变量分离，将不等式有解问题转化为求函数的最值问题：有解；有解.14．【分析】由条件确定原点两侧函数的单调性和零点由函数的草图确定不等式的解集【详解】在R上是奇函数且在上是增函数∴在上也是增函数由得由得作出的草图如图所示：则或由图象得所以或所以的解集为故答案为：【点睛解析：【分析】由条件确定原点两侧函数的单调性和零点，由函数的草图确定不等式的解集.【详解】在R上是奇函数，且在上是增函数，∴在上也是增函数，由，得，由，得，作出的草图，如图所示：，则或，由图象得，所以或，所以的解集为．故答案为：．【点睛】本题考查函数奇偶性、单调性的综合应用，考查数形结合思想，灵活作出函数的草图是解题关键．属于中档题．15．2021【分析】由已知条件利用换元法求出f（x）然后代入计算即可求解【详解】已知函数f（x）在定义域（0+∞）上是单调函数且对任意x∈（0+∞）都有ff（x）﹣＝2可设f（x）﹣＝c故f（x）＝+c解析：2021【分析】由已知条件，利用换元法求出f（x），然后代入计算即可求解．【详解】已知函数f（x）在定义域（0，+∞）上是单调函数，且对任意x∈（0，+∞），都有f[f（x）﹣]＝2，可设f（x）﹣＝c，故f（x）＝+c，且f（c）＝c+＝2（c＞0），解可得c＝1，f（x）＝+1，则f（）＝2021．故答案为：2021【点睛】本题主要考查了利用函数的单调性求函数值，函数解析式的求法，注意函数性质的合理应用，属于中档题．16．【分析】由题意可知关于的不等式在上有解作出函数和函数的图象考虑直线与函数的图象相切以及直线过点数形结合可求得实数的取值范围【详解】关于的不等式在上有解即关于的不等式在上有解作出两函数图象当由与相切时解析：【分析】由题意可知关于的不等式在上有解，作出函数和函数的图象，考虑直线与函数的图象相切，以及直线过点，数形结合可求得实数的取值范围.【详解】关于的不等式在上有解，即关于的不等式在上有解，作出两函数，图象，当由与相切时，则，即，，解得.由过点得.由图可知，因此，，即实数的取值范围为.故答案为：.【点睛】本题考查利用含绝对值的不等式在区间上有解求参数，考查数形结合思想的应用，属于中等题.17．2【分析】由函数是幂函数求得或结合幂函数的性质即可求解【详解】由题意函数是幂函数可得即解得或当时函数此时在上单调递增符合题意；当时函数此时在上单调递减不符合题意故答案为：【点睛】本题主要考查了幂函数解析：2【分析】由函数是幂函数，求得或，结合幂函数的性质，即可求解.【详解】由题意，函数是幂函数，可得，即，解得或，当时，函数，此时在上单调递增，符合题意；当时，函数，此时在上单调递减，不符合题意，故答案为：.【点睛】本题主要考查了幂函数的定义及图像与性质的应用，其中解答中熟记幂函数的定义，结合幂函数的图象与性质进行判定是解答的关键，着重考查运算能力.18．【分析】根据二次函数的单调性得出是上的减函数从而有整理得即关于的方程在区间内有实数解记由二次函数的单调性和零点存在定理建立不等式组可求得范围【详解】∵函数是上的减函数∴当时即两式相减得即代入得由且得解析：【分析】根据二次函数的单调性得出是上的减函数，从而有，整理得，即关于的方程，在区间内有实数解，记，由二次函数的单调性和零点存在定理建立不等式组，可求得范围.【详解】∵函数是上的减函数，∴当时，，即，两式相减得，即，代入得，由，且得，故关于的方程，在区间内有实数解，记，所以函数在上单调递减，则，即，解得，故答案为：.【点睛】关键点点睛：在解决二次函数的值域问题，关键在于得出二次函数的对称轴与区间的关系，也即是判断出二次函数在区间上的单调性.19．②③【分析】结合单函数的定义对四个命题逐个分析可选出答案【详解】命题①：对于函数设则由与可能相等也可能互为相反数即不是单函数故①错误；命题②：假设因为函数为单函数所以与已知矛盾故即命题②正确；命题③解析：②③【分析】结合单函数的定义，对四个命题逐个分析，可选出答案.【详解】命题①：对于函数，设，则，由与可能相等，也可能互为相反数，即不是单函数，故①错误；命题②：假设，因为函数为单函数，所以，与已知矛盾，故，即命题②正确；命题③：若为单函数，则对于任意，，假设不只有一个原象与其对应，设为，则，根据单函数定义，可得，又因为原象中元素不重复，故函数至多有一个原象，即命题③正确；命题④：函数在某区间上具有单调性，并不意味着在整个定义域上具有单调性，则可能存在不同的，使得，不符合单函数的定义，故命题④错误.综上可知，真命题为②③.故答案为②③．【点睛】关键点点睛：本题考查新定义函数，解题关键是根据新定义的特点，弄清新定义的性质，按照新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决，考查学生的逻辑推理能力，计算求解能力，属于中档题.20．；【分析】根据函数的函数值结合函数的图象即可求解【详解】又故由二次函数图象可知：要使函数的定义域为值域为的值最小为；最大为3的取值范围是：故【点睛】本题考查了二次函数的定义域值域特别是利用抛物线的对解析：；【分析】根据函数的函数值，，结合函数的图象即可求解.【详解】，，又，故由二次函数图象可知：要使函数的定义域为，值域为的值最小为；最大为3．的取值范围是：．故【点睛】本题考查了二次函数的定义域、值域，特别是利用抛物线的对称特点进行解题，考查了数形结合思想，属于基础题．三、解答题21．（1）；（2）函数在上单调递减；最大值，最小值.【分析】（1）根据奇函数性质求解计算即可；（2）用单调性的定义证明函数的单调性，由单调性即可证明函数在闭区间上的最值.【详解】（1）∵是奇函数，所以，检验知，时，，是奇函数，所以；（2），且，有，∵，∴，即，又，所以，即，所以函数在上单调递减，所以当时，取得最大值；当时，取得最小值.【点睛】本题主要考查奇函数的性质，以及定义法证明函数单调性，最值的求法，属于中档题.22．（1）；（2）单调性证明见解析，值域为.【分析】（1）利用偶次根式和分式有意义的条件，列出不等式组，求得函数的定义域；（2）依据减函数的定义，利用取值、作差、判断符号的过程，证得函数的单调减，在区间端点取得最大最小值，得到函数在上的值域.【详解】（1）由.得且，故的定义域为；（2）设，则，因为，所以和.所以，从而，故在上单调递减，因为在上单调递减，且，，所以该函数在上的值域为.【点睛】思路点睛：该题考查的是有关函数的问题，解题思路如下：（1）利用分式和偶次根式有意义的条件，列出不等式组，求得结果，得到函数的定义域；（2）利用函数在某个区间上单调减的定义，证得函数在给定区间上是减函数，求得函数在区间端点处取得最值，得到函数的值域.23．（1）；；（2）单调递增；，.【分析】（1）根据函数的奇偶性的关系建立方程即可求实数和的值；（2）利用定义证明函数的单调性，即取值，作差，变形，定号，下结论，再利用单调性即可求最值.【详解】（1）∵是奇函数，∴，∴.所以，解得：，又，∴，解得.∴实数和的值分别是和.（2）由（1）知.任取，且，则，∵，∴，，，∴，即，∴函数在区间上单调递增，∴，.【点睛】方法点睛：利用定义证明函数单调性的方法（1）取值：设是该区间内的任意两个值，且；（2）作差变形：即作差，即作差，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断符号的方向变形；（3）定号：