安徽省马鞍山市第七中学2023-2024学年九年级上学期期中数学试卷

2023-2024学年安徽省马鞍山七中九年级（上）期中数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.如果，则下列各式不成立的是(

)A. B. C. D.2.若点在抛物线上，那么下列各点中一定在该抛物线的是(

)A. B. C. D.3.抛物线的图象最低点的坐标是(

)A. B. C. D.4.点和点是反比例函数图象上的两点，当时，，则k的取值范围(

)A. B. C. D.5.如图，将放在正方形网格中，则的值为(

)A.

B.

C.2

D.6.一个矩形沿某对称轴对折后和原矩形相似，则对折后的矩形长边与短边之比为(

)A.4：1 B.2：1 C.3：2 D.7.在中，，，则的值是(

)A. B. C. D.不能确定8.如图，已知AD为的角平分线，交AC于点E，如果，那么等于(

)

A. B. C. D.29.如图，在正方形ABCD中，E，F分别是边BC，AB上的点，且满足，连接CF，过点B作，垂足为G，连接DG，有下列说法不正确的是(

)A.

B.

C.

D.∽10.已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的结论有(

)A.2个

B.3个

C.4个

D.5个二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。11.一竹竿高米，影长1米，同一时刻，某塔影长20米，则塔高为______米.12.如图，反比例函数图象上一点C，过点C作轴，垂足为D，连接OC，，那么此反比例函数的表达式为______.

13.已知∽，其中一组对应边BC与EF的长分别为32cm和12cm，它们的周长相差45cm，则的周长为______14.已知，且，则______.15.已知点C是线段AB的黄金分割点，且，则AB的长为______.16.如图，的高BD、CE相交于F点，连接若，则______.

17.已知：，，m，n为实数，则p的最大值为______.18.在中，，AD是BC边上的高，并且，则的度数为______.三、解答题：本题共6小题，共46分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。19.本小题6分

计算：20.本小题8分

如图所示，在的正方形方格中，和的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．

填空：______，______；

判断与是否相似？并证明你的结论．21.本小题8分

如图，在平面直角坐标系中，，，，对四边形OABC依次进行下列两个变换：①关于y轴对称；②以原点为位似中心，位似比为3的位似变换；

在平面直角坐标系中画出四边形OABC及上述两个变换后的图形；

若四边形OABC内一点，用坐标表示上述变换是：______，____________，______22.本小题8分

如图，在梯形ABCD中，，过AC和BD的交点O作交AD于点M，交BC于点

猜想：OM______填“>”，“<”或“=”

求证：23.本小题8分

如图，已知在中，，边BC上的高为80，在这三角形内有一个内接矩形DEFG，矩形的边DE在BC边上，点F、G分别在边AC、AB上，设矩形的边DE长为x，边EF长为

请用x的代数式表示y；

当x，y分别为多少时，这个矩形的面积最大.24.本小题8分

如图所示，在平面直角坐标系xOy中，抛物线交x轴于A、B两点，交y轴于C点，且对称轴为直线

求抛物线的表达式和顶点D的坐标；

若点是y轴上的一个动点，是否存在以P、A、D三点为顶点的三角形与相似？如果存在，求点P的坐标；如果不存在，请说明理由.

答案和解析1.【答案】A

【解析】解：A、如果，则，所以A选项的等式不成立；

B、如果，则，所以B选项的等式成立；

C、如果，则，所以C选项的等式成立；

D、如果，则，所以D选项的等式成立．

故选：

根据比例性质，前项加或减后项等式成立，则可对A、B、C进行判断；利用后项都乘以2可对D进行判断．

本题考查了比例的性质：若，则熟练运用比例的性质可提高运算的速度．2.【答案】B

【解析】解：点在抛物线上，

，

当时，，故点不在抛物线上，不符合题意；

当时，，故点在抛物线上，符合题意；

当时，，故点不在抛物线上，不符合题意；

当时，，故点不在抛物线上，不符合题意；

故选：

由题意得，只需把各点的横坐标代入解析式，即可判断．

本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，所有在二次函数上的点的坐标适合解析式．3.【答案】D

【解析】解：，则其顶点坐标是

故选：

将已知函数解析式转化为顶点式方程，然后求得其顶点坐标即可．

本题考查了二次函数的最值．抛物线的图象最高点的坐标就是抛物线的顶点坐标，解题时，利用了完全平方公式将抛物线一般式方程转化为顶点式方程，由此直接求得抛物线的顶点坐标．4.【答案】B

【解析】解：点和点是反比例函数图象上的两点，当时，，

，

，

故选：

根据已知条件可知，函数在第四象限内y随x的增大而增大，得，即得k的取值范围．

本题考查反比例函数图象上的点的特征，解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质．5.【答案】A

【解析】解：如图，

设小正方形的边长为1，

则在中，根据勾股定理得，

，

故选：

构造直角三角形，设小正方形的边长为1，则在中，，利用余弦函数的定义计算即可．

本题考查了解直角三角形，解题的关键是将求锐角三角函数值的角构造到直角三角形中．6.【答案】D

【解析】解：如图：矩形ABCD沿EF对折后，所得矩形ABFE与矩形ADCB相似，

，

由折叠得：

，

，

，

，

：：1，

对折后的矩形长边与短边之比为：1，

故选：

利用相似多边形的性质可得，再利用折叠的性质可得，然后进行计算即可解答．

本题考查了相似多边形的性质，矩形的性质，翻折变换折叠问题，熟练掌握相似多边形的性质是解题的关键．7.【答案】D

【解析】解：当AB是斜边时，，

当AB是直角边时，，

则，

故的值不确定．

故选：

由于在中，，，13可能是斜边，也可能是直角边，故的大小不确定，依此即可求解．

本题考查了解直角三角形，解题的关键是根据题意进行分类讨论．8.【答案】B

【解析】解：平分，

，

，

，

，

，

，

，

，

∽，

，即，

故选：

根据等腰三角形的判定定理得到，证明∽，根据相似三角形的性质解答即可．

本题考查的是平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定和性质，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．9.【答案】C

【解析】解：四边形ABCD是正方形，

，即，

，

，

，A正确，不符合题意；

，，

∽，

，

，，

，

，

∽，

正确，不符合题意；

∽，

，

，

，即，B正确，不符合题意；

故选：

根据正方形的性质、相似三角形的判定定理和性质定理进行证明，判断即可．

本题考查的是相似三角形的判定和性质、正方形的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．10.【答案】A

【解析】解：抛物线开口向下，

，

抛物线对称轴为直线，

，

，

抛物线与y轴交点在x轴上方，

，

，①错误．

时，，

，②错误．

抛物线对称轴为直线，时，

时，，③正确．

，

，

，

，

，④错误．

时y取最大值，

，即，⑤正确．

故选：

由抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与压轴交点位置可判断①，由时可判断②，由抛物线对称性及时可判断③，由a与b的数量关系及可得a与c的数量关系，从而判断④，由时y取最大值可判断⑤．

本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．11.【答案】30

【解析】解：设塔高为h米，根据同一时刻物高和影长成正比，则有h：：1；

，

所以塔的高度为30米．

故答案为：

在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．

本题考查了相似三角形在测量高度时的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．12.【答案】

【解析】解：轴，，而，

，

，

反比例函数为

故答案为：

根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到，然后去绝对值即可得到满足条件的k的值．

本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值13.【答案】27

【解析】解：∽，其中一组对应边BC与EF的长分别为32cm和12cm，

和的相似比为32：：3，

他们周长的比为8：3，

设的周长为8xcm，则的周长为3xcm，

根据题意得：，

解得：，

的周长为，

故答案为：

根据相似三角形的周长比等于相似比解答．

本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键．14.【答案】

【解析】解：，

，

，

故答案为：

利用等比性质，进行计算即可解答．

本题考查了比例的性质，熟练掌握等比性质是解题的关键．15.【答案】

【解析】解：设，

，

，

，

点C是线段AB的黄金分割点，，

，

，

整理得：，

解得：，舍去，

，

故答案为：

设，则，从而可得，然后根据黄金分割的定义可得，从而可得，进行计算即可解答．

本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．16.【答案】

【解析】解：和CE是的高，

于点D，于点E，

，，

∽，

，

，

∽，

，，

，

，

，

，

，

，，

∽，

，

故答案为：

由，，证明∽，得，变形为，再证明∽，由，，，所以，则，再证明∽，则，于是得到问题的答案．

此题重点考查等角的余角相等、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、相似三角形的判定与性质等知识，证明∽及∽是解题的关键．17.【答案】4

【解析】解：把代入得：

，

当时，P最大为

故答案为：

把代入得到用m表示p的二次函数，整理成顶点式，根据抛物线开口向下，函数有最大值可得p的最大值．

此题主要是考查了二次函数的最值，能够得到用m表示p的二次函数是解题的关键．18.【答案】或

【解析】解：当为锐角时，

，AD是BC边上的高得，

，，

∽，

，

；

当为钝角时，

同理可得，∽

故答案为：或

根据已知可得到∽，注意可以是锐角也可是钝角，故应该分情况进行分析，从而确定度数．

本题考查了相似三角形的性质，分类讨论思想，知道分类讨论是解题的关键．19.【答案】解：原式

【解析】根据特殊锐角三角函数值，代入计算即可．

本题考查特殊锐角三角函数值，掌握特殊锐角的三角函数值是正确计算的关键．20.【答案】；

；

∽

证明：在的正方形方格中，

，，

，，，，

，，

，

∽

【解析】【分析】

此题主要考查学生对勾股定理和相似三角形的判定的理解和掌握，解答此题的关键是认真观察图形，得出两个三角形角和角，边和边的关系．

根据已知条件，结合正方形网格的特征可以求出的度数，利用勾股定理即可求出线段BC的长；

根据相似三角形的判定定理，对应边成比例且夹角相等即可证明与相似．

【解答】

解：，

；

故答案为；

；

见答案.21.【答案】，

【解析】解：如图，四边形，四边形即为所求．

，

故答案为：，n，，

利用轴对称变换，位似变换的性质作出图形即可；利用轴对称变换，位似变换的性质求解即可．

利用轴对称变换，位似变换的性质求解即可．

本题考查作图-轴对称变换，位似变换等知识，解题的关键是掌握轴对称变换，位似变换的性质，属于中考常考题型．22.【答案】=

【解析】解：经过点O，且，

，，

∽，∽，

，，

，

，

，

，

故答案为：

由得，

∽，

，

，，

，

∽，

，

，

先证明∽，∽，则，，根据平行线分线段成比例定理得，所以，则，于是得到问题的答案；

由∽，得，由∽，得，则，而，即可推导出

此题重点考查平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定与性质等知识，证明∽、∽及∽是解题的关键．23.【答案】解：如图，过A作于K，交GF于M，

四边形GDEF是矩形，

，，，，

∽，

，

，，，

，

；

--，

而，所以S有最大值，

当时，

，

当，时，这个矩形的面积最大．

【解析】如图，过A作于K，交GF于M，再证明∽，可得，再整理可得答案；

由，而，所以S有最大值，再利用二次函数的性质可得答案．

本题考查了矩形的性质、相似三角形的应用，主要利用了相似三角形对应高的比等于相似比，二次函数的最值问题，掌握其性质是解题的关键．24.【答案】解：抛物线的对称轴为直线，

，

，

，

，

顶点；

存在以P、A、D三点为顶点的三角形与相似，理由如下：

令，则，

解得或，

，，

令，则，

，

，，

，

，

，

，

，，，

当时，，

，

解得或舍，

；

当时，

，，

过点D作轴交于点H，

，，

，

，

，

，

，