福建省泉州市丰泽区北峰中学2023-2024学年九年级上学期期中数学试卷

2023-2024学年福建省泉州市丰泽区北峰中学九年级（上）期中数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列方程中，是一元二次方程的是(

)A. B. C. D.2.下列运算，错误的是(

)A. B. C. D.3.下列各式中，能与合并的是(

)A. B. C. D.4.一元二次方程配方后可化为(

)A. B. C. D.5.下列线段成比例的是(

)A.1，2，3，4 B.5，6，7，8 C.2，4，4，8 D.3，5，6，96.如图，∽，若，，那么(

)A.

B.

C.

D.7.已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是(

)A. B. C.且 D.且8.某商店以每件60元的价格购进一批货物，零售价为每件80元时，可以卖出100件按相关规定零售价不能超过80元如果零售价在80元的基础上每降价1元，可以多卖出10件，当零售价在80元的基础上降价x元时，能获得2160元的利润，根据题意，可列方程为(

)A. B.

C. D.9.如图，H为平行四边形ABCD中AD边上一点，且，AC和BH交于点K，则AK：KC等于(

)

A.1：2 B.1：3 C.1：4 D.2：310.

二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。11.若二次根式有意义，则x的取值范围是______.12.若，则的值为______.13.如图，已知，BD：：2，，那么______.

14.已知m是方程的一个根，则代数式的值等于______.15.如图，某小区有一块长为30m，宽为24m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为，两块绿地之间及周边有宽度相等的人行通道，则人行通道的宽度为_________________________

16.如图，是等腰直角三角形，，E为AC上的一点，过A作交BD的延长线于D，若，则______.

三、计算题：本大题共2小题，共16分。17.计算：18.解方程：四、解答题：本题共7小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。19.本小题8分

先化简，再求值：，其中20.本小题8分

已知关于x的一元二次方程

若方程的一个根为2，求m的值；

求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根.21.本小题8分

如图，矩形ABCD中，E为BC上一点，于

与相似吗？请说明理由．

若，，，求DF的长．22.本小题10分

在的正方形方格中，和的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上.

填空：______，______；

判断与是否相似，并证明你的结论.23.本小题10分

李师傅今年初开了一家商店，九月份开始赢利，十月份的赢利是3000元，十二月份的赢利是3630元，且从十月到十二月，每月赢利的平均增长率都相同．

求每月赢利的平均增长率；

按照这个增长率，预计明年一月份的赢利将达到多少元？24.本小题12分

如图1，中，点D在线段BA延长线上，点E在线段BC延长线上，且，交直线CD于点P，交直线AB于点F，

当，，时，求线段PE的长.

若将“点D在线段BA延长线上，点E在线段BC延长线上”改为“点D在线段BA上，点E在线段CB延长线上”，其他条件不变如图图2中是否存在与AC相等的线段？若存在，请找出，并加以证明；若不存在，请说明理由.

25.本小题14分

如图，在直角坐标系中，直线BC经过点和点，A点坐标为，点P为直线BC上一点，连接AC、

求直线BC的解析式；

如图1，当点P在线段BC上，时，求P点坐标；

如图2，当点P在直线BC上移动，将沿AC翻折得到，直线与直线BC交于点D，的面积为7，求点D坐标直接写出结果

答案和解析1.【答案】B

【解析】解：A、是一元一次方程，故A错误；

B、是一元二次方程，故B正确；

C、是二元二次方程，故C错误；

D、是分式方程，故D错误；

故选：

本题根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．

本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2.【答案】A

【解析】解：A、，故此选项错误，符合题意；

B、，正确，不合题意；

C、，正确，不合题意；

D、，正确，不合题意；

故选：

直接利用二次根式的混合运算法则计算得出答案．

此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．3.【答案】C

【解析】解：，与不能合并，故本选项不符合题意；

B.，与不能合并，故本选项不符合题意；

C.，与能合并，故本选项符合题意；

D.，与不能合并，故本选项不符合题意；

故选：

根据同类二次根式的定义逐个判断即可．

本题考查了同类二次根式的定义，能熟记同类二次根式的定义是解此题的关键，几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式．4.【答案】D

【解析】解：，

，

，

，

故选：

利用解一元二次方程-配方法，进行计算即可解答．

本题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握解一元二次方程-配方法是解题的关键．5.【答案】C

【解析】解：A、，故四条线段不成比例，不符合题意；

B、，故四条线段不成比例，不符合题意；

C、，故四条线段成比例，符合题意；

D、，故四条线段不成比例，不符合题意．

故选：

如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．对选项一一分析，排除错误答案．

本题考查了比例线段，熟记成比例线段的定义是解题的关键．注意在线段两两相乘的时候，要让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等进行判断．6.【答案】A

【解析】解：∽，，

在中，

，，

即，

故选：

由∽，，根据相似三角形的对应角相等，即可求得的度数，又由三角形的内角和等于，即可求得的度数．

此题考查了相似三角形的性质与三角形内角定理．题目比较简单，注意相似三角形的对应角相等．7.【答案】C

【解析】【分析】

本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．

利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到且，然后求出两个不等式的公共部分即可．

【解答】

解：根据题意得且，

解得且

故选8.【答案】B

【解析】解：设零售价在80元的基础上降价x元时，能获得2160元的利润，

则，

故选：

设零售价在80元的基础上降价x元时，能获得2160元的利润根据题意列方程即可得到结论；

考查了一元二次方程的应用，解题的关键是能够读懂题意并找到题目中的等量关系，难度不大．9.【答案】B

【解析】解：，

，

四边形ABCD是平行四边形，

，，

∽，

，

故选

根据“”求出AH：AD即AE：BC的值是1：3，再根据相似三角形对应边成比例求出AK：KC的值．

本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，比例式的变形是解题的关键．10.【答案】

【解析】

11.【答案】

【解析】解：根据二次根式有意义的条件，，

故答案为：

根据二次根式的性质可知，被开方数大于等于0，列出不等式即可求出x的取值范围．

此题考查了二次根式有意义的条件，只要保证被开方数为非负数即可．12.【答案】

【解析】解：

设，则，

故答案为：

设，则，代入代数式再化简即可．

本题考查分式的化简，设出参数并代入化简是解题关键．13.【答案】6

【解析】解：，

，

：：2，，

，

，

故答案为：

根据平行线分线段成比例定理即可得到结论．

本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．14.【答案】3

【解析】解：把代入方程可得：，

所以，

故答案是：

将代入原方程即可求的值．

此题考查了一元二次方程的解，解题时应注意把当成一个整体．利用了整体的思想．15.【答案】2

【解析】解：设人行通道的宽度为x米，将两块矩形绿地合在一起长为，宽为，

由已知得：，

整理得：，

解得：，，

当时，，，不符合题意舍去，

即

答：人行通道的宽度为2米．

故答案为

设人行通道的宽度为x米，将两块矩形绿地合在一起长为，宽为，根据矩形绿地的面积为，即可列出关于x的一元二次方程，解方程即可得出x的值，经检验后得出不符合题意，此题得解．

本题考查了一元二次方程的应用，根据数量关系列出关于x的一元二次方程是解题的关键．16.【答案】

【解析】解：，

可以假设，，则，

，

，

，

，

，

∽，

，

，

，

，

故答案为：

设，，则，想办法用k表示AD，BE即可解决问题．

本题考查相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数，正确寻找相似三角形解决问题．17.【答案】解：原式

【解析】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质和运算法则．先计算乘法和除法，再合并即可得．18.【答案】解：

，

或，

，

【解析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，当把方程通过移项把等式的右边化为0后方程的左边能因式分解时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为0的特点解出方程的根．因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用．

通过观察方程形式，利用因式分解法解方程比较简单．19.【答案】解：

，

当时，原式

【解析】先去括号，再合并同类项，然后把a的值代入化简后的式子进行计算即可解答．

本题考查了整式的混合运算-化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．20.【答案】解：方程的一个根为2，

，

解得，

即m的值为；

证明：，

无论x取何值，，

即无论x取何值，，

不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根．

【解析】将代入方程得，解出m的值即可；

计算，无论x取何值，，即可得出结论．

本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的根与有如下关系：①当时，方程有两个不相等的两个实数根；②当时，方程有两个相等的两个实数根；③当时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．21.【答案】解：与相似．理由如下：

四边形ABCD为矩形，，

，

，

∽

∽

，

在中，，，

答：DF的长为

【解析】根据矩形的性质和，可得，，即可证明∽

利用∽，得，再利用勾股定理，求出AE的长，然后将已知数值代入即可求出DF的长．

此题主要考查学生对相似三角形的判定与性质、勾股定理和矩形的性质的理解和掌握，难度不大，属于基础题．22.【答案】

【解析】解：根据图形可得：，，

，

；

相似，理由如下：

在中：，，，

在中：，，，

，，，

，

∽

由图形可以直接得到：和的度数，求其和即可；DE的长利用勾股定理即可算出；

根据勾股定理分别计算出和的长，再根据三组对应边的比相等的两个三角形相似即可得到结论．

此题主要考查了勾股定理，相似三角形的判定，关键是熟练运用勾股定理计算出三角形的三边长．23.【答案】解：设每月赢利的平均增长率为x，

依题意，得：，

解得：，不合题意，舍去

答：每月赢利的平均增长率为

元

答：预计明年一月份的赢利将达到3993元．

【解析】设每月赢利的平均增长率为x，根据该商店十月份及十二月份的盈利额，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；

根据明年一月份的盈利额=今年十二月份的盈利额增长率，即可求出结论．

本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．24.【答案】解：在中，，，，

由勾股定理得：，

，

即，

又，

∽，

：：：CD，

即：，

，，

，

又，

，

点C为BE的中点，

，

为的中位线，

，，

，

点F为AD的中点，

又，

为的中位线，

，

与AC相等的线段是BF，证明如下：

，

而，，

，

，

∽，

：：CD①，

，

∽，

：：BE，

即：AB：：BE②，

由①②得：AC：：BE，

，

【解析】先求出，证和相似，利用相似三角形的性质可求出，，进而得，再证AC为的中位线得，，然后证FP为的中位线得，据此即可求出PE的长；

先证，进而可证和相似，得AB：：CD①，再由得和相似，进而得AB：：BE，根据已知条件再比较两个比例式即可得出结论．

此题主要考查了相似三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，熟练掌握相似三角形的判定方法，理解相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键．25.【答案】解：设直线BC的解析式为：，

直线BC经过点点和点，

，解得，

直线BC的解析式为：；

当点P在线段BC上，

点，A点坐标为，

，，

为等腰直角三角形，

，

又，

，

∽，

，

设34

，点，

，

，

，

过点P作轴于点Q，

在中，，

即，

或舍去正值，

此时，

；

点，，

直线