2024届华东师大版高考数学五模试卷含解析

2024届华东师大版高考数学五模试卷注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知复数（为虚数单位，），则在复平面内对应的点所在的象限为（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．港珠澳大桥于2018年10月2刻日正式通车，它是中国境内一座连接香港、珠海和澳门的桥隧工程，桥隧全长55千米．桥面为双向六车道高速公路，大桥通行限速100km/h，现对大桥某路段上1000辆汽车的行驶速度进行抽样调查．画出频率分布直方图（如图），根据直方图估计在此路段上汽车行驶速度在区间[85，90）的车辆数和行驶速度超过90km/h的频率分别为（）A．300， B．300， C．60， D．60，3．设为坐标原点，是以为焦点的抛物线上任意一点，是线段上的点，且，则直线的斜率的最大值为（）A．1 B． C． D．4．已知定义在上函数的图象关于原点对称，且，若，则（）A．0 B．1 C．673 D．6745．已知的垂心为，且是的中点，则（）A．14 B．12 C．10 D．86．已知非零向量满足，，且与的夹角为，则（）A．6 B． C． D．37．若圆锥轴截面面积为，母线与底面所成角为60°，则体积为()A． B． C． D．8．已知正项等比数列的前项和为，且，则公比的值为（）A． B．或 C． D．9．已知棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥的四个面中，最大面积为（）A． B． C． D．10．已知函数在上都存在导函数，对于任意的实数都有，当时，，若，则实数的取值范围是()A． B． C． D．11．已知为定义在上的奇函数，若当时，（为实数），则关于的不等式的解集是（）A． B． C． D．12．为虚数单位,则的虚部为（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知下列命题：①命题“∃x0∈R，”的否定是“∀x∈R，x2＋1＜3x”；②已知p，q为两个命题，若“p∨q”为假命题，则“”为真命题；③“a＞2”是“a＞5”的充分不必要条件；④“若xy＝0，则x＝0且y＝0”的逆否命题为真命题．其中所有真命题的序号是________．14．若函数为偶函数，则________.15．曲线在处的切线方程是_________．16．《易经》是中国传统文化中的精髓，如图是易经八卦（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（""表示一根阳线，""表示一根阴线），从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有两根阳线，四根阴线的概率为_______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）在中，角的对边分别为.已知，.（1）若，求；（2）求的面积的最大值.18．（12分）已知函数.（1）求不等式的解集；（2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围.19．（12分）已知关于的不等式解集为（）.（1）求正数的值；（2）设，且，求证：.20．（12分）为了响应国家号召，促进垃圾分类，某校组织了高三年级学生参与了“垃圾分类，从我做起”的知识问卷作答随机抽出男女各20名同学的问卷进行打分，作出如图所示的茎叶图，成绩大于70分的为“合格”.（Ⅰ）由以上数据绘制成2×2联表，是否有95%以上的把握认为“性别”与“问卷结果”有关？男女总计合格不合格总计（Ⅱ）从上述样本中，成绩在60分以下（不含60分）的男女学生问卷中任意选2个，记来自男生的个数为，求的分布列及数学期望.附：0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.82821．（12分）如图，四棱锥中，底面ABCD为菱形，平面ABCD，BD交AC于点E，F是线段PC中点，G为线段EC中点．Ⅰ求证：平面PBD；Ⅱ求证：．22．（10分）已知函数的图象在处的切线方程是.（1）求的值；（2）若函数，讨论的单调性与极值；（3）证明：.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】

分别比较复数的实部、虚部与0的大小关系，可判断出在复平面内对应的点所在的象限.【详解】因为时，所以，，所以复数在复平面内对应的点位于第二象限.故选：B.【点睛】本题考查复数的几何意义，考查学生的计算求解能力，属于基础题.2、B【解析】

由频率分布直方图求出在此路段上汽车行驶速度在区间的频率即可得到车辆数，同时利用频率分布直方图能求行驶速度超过的频率．【详解】由频率分布直方图得：在此路段上汽车行驶速度在区间的频率为，∴在此路段上汽车行驶速度在区间的车辆数为：，行驶速度超过的频率为：．故选：B．【点睛】本题考查频数、频率的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3、A【解析】

设，因为，得到，利用直线的斜率公式，得到，结合基本不等式，即可求解.【详解】由题意，抛物线的焦点坐标为，设，因为，即线段的中点，所以，所以直线的斜率，当且仅当，即时等号成立，所以直线的斜率的最大值为1.故选：A.【点睛】本题主要考查了抛物线的方程及其应用，直线的斜率公式，以及利用基本不等式求最值的应用，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.4、B【解析】

由题知为奇函数，且可得函数的周期为3，分别求出知函数在一个周期内的和是0，利用函数周期性对所求式子进行化简可得.【详解】因为为奇函数，故；因为，故，可知函数的周期为3；在中，令，故，故函数在一个周期内的函数值和为0，故.故选：B.【点睛】本题考查函数奇偶性与周期性综合问题.其解题思路：函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．5、A【解析】

由垂心的性质，得到，可转化，又即得解.【详解】因为为的垂心，所以，所以，而，所以，因为是的中点，所以．故选：A【点睛】本题考查了利用向量的线性运算和向量的数量积的运算率，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.6、D【解析】

利用向量的加法的平行四边形法则，判断四边形的形状，推出结果即可．【详解】解：非零向量，满足，可知两个向量垂直，，且与的夹角为，说明以向量，为邻边，为对角线的平行四边形是正方形，所以则．故选：．【点睛】本题考查向量的几何意义，向量加法的平行四边形法则的应用，考查分析问题解决问题的能力，属于基础题．7、D【解析】

设圆锥底面圆的半径为，由轴截面面积为可得半径，再利用圆锥体积公式计算即可.【详解】设圆锥底面圆的半径为，由已知，，解得，所以圆锥的体积.故选：D【点睛】本题考查圆锥的体积的计算，涉及到圆锥的定义，是一道容易题.8、C【解析】

由可得，故可求的值.【详解】因为，所以，故，因为正项等比数列，故，所以，故选C.【点睛】一般地，如果为等比数列，为其前项和，则有性质：（1）若，则；（2）公比时，则有，其中为常数且；（3）为等比数列（）且公比为.9、B【解析】

由三视图可知，该三棱锥如图,其中底面是等腰直角三角形，平面,结合三视图求出每个面的面积即可.【详解】由三视图可知，该三棱锥如图所示：其中底面是等腰直角三角形，平面,由三视图知，因为,,所以,所以,因为为等边三角形，所以,所以该三棱锥的四个面中，最大面积为.故选：B【点睛】本题考查三视图还原几何体并求其面积;考查空间想象能力和运算求解能力;三视图正确还原几何体是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.10、B【解析】

先构造函数，再利用函数奇偶性与单调性化简不等式，解得结果.【详解】令，则当时，，又，所以为偶函数，从而等价于，因此选B.【点睛】本题考查利用函数奇偶性与单调性求解不等式，考查综合分析求解能力，属中档题.11、A【解析】

先根据奇函数求出m的值，然后结合单调性求解不等式.【详解】据题意，得，得，所以当时，.分析知，函数在上为增函数.又，所以.又，所以，所以，故选A.【点睛】本题主要考查函数的性质应用，侧重考查数学抽象和数学运算的核心素养.12、C【解析】

利用复数的运算法则计算即可.【详解】，故虚部为.故选：C.【点睛】本题考查复数的运算以及复数的概念，注意复数的虚部为，不是，本题为基础题，也是易错题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、②【解析】命题“∃x∈R，x2＋1＞3x”的否定是“∀x∈R，x2＋1≤3x”，故①错误；“p∨q”为假命题说明p假q假，则(p)∧(q)为真命题，故②正确；a＞5⇒a＞2，但a＞2⇒/a＞5，故“a＞2”是“a＞5”的必要不充分条件，故③错误；因为“若xy＝0，则x＝0或y＝0”，所以原命题为假命题，故其逆否命题也为假命题，故④错误．14、【解析】

二次函数为偶函数说明一次项系数为0，求得参数，将代入表达式即可求解【详解】由为偶函数，知其一次项的系数为0，所以，，所以，故答案为：-5【点睛】本题考查由奇偶性求解参数，求函数值，属于基础题15、【解析】

利用导数的运算法则求出导函数，再利用导数的几何意义即可求解.【详解】求导得，所以，所以切线方程为故答案为：【点睛】本题考查了基本初等函数的导数、导数的运算法则以及导数的几何意义，属于基础题.16、【解析】

观察八卦中阴线和阳线的情况为3线全为阳线或全为阴线各一个，还有6个是1阴2阳和1阳2阴各3个。抽取的两卦中共2阳4阴的所有可能情况是一卦全阴、另一卦2阳1阴，或两卦全是1阳2阴。【详解】八卦中阴线和阳线的情况为3线全为阳线的一个，全为阴线的一个，1阴2阳的3个，1阳2阴的3个。抽取的两卦中共2阳4阴的所有可能情况是一卦全阴、另一卦2阳1阴，或两卦全是1阳2阴。∴从8个卦中任取2卦，共有种可能，两卦中共2阳4阴的情况有，所求概率为。故答案为：。【点睛】本题考查古典概型，解题关键是确定基本事件的个数。本题不能受八卦影响，我们关心的是八卦中阴线和阳线的条数，这样才能正确地确定基本事件的个数。三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）4【解析】

（1）根据已知用二倍角余弦求出，进而求出，利用正弦定理，即可求解；（2）由边角，利用余弦定理结合基本不等式，求出的最大值，即可求出结论.【详解】（1）∵，∴，由正弦定理得.（2）由（1）知，，所以，，，当且仅当时，的面积有最大值4.【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、三角恒等变换解三角形，应用基本不等式求最值，属于基础题.18、（1）或；（2）.【解析】

（1）利用绝对值的几何意义，将不等式，转化为不等式或或求解.（2）根据-2在R上恒成立，由绝对值三角不等式求得的最小值即可.【详解】（1）原不等式等价于或或，解得：或，∴不等式的解集为或.（2）因为-2在R上恒成立，而，所以，解得，所以实数的取值范围是.【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.19、（1）1；（2）证明见解析.【解析】

（1）将不等式化为，求解得出，根据解集确定正数的值；（2）利用基本不等式以及不等式的性质，得出，，，三式相加，即可得证.【详解】（1）解：不等式，即不等式∴，而，于是依题意得（2）证明：由（1）知，原不等式可化为∵，∴，同理，三式相加得，当且仅当时取等号综上.【点睛】本题主要考查了求绝对值不等式中参数的范围以及基本不等式的应用，属于中档题.20、（Ⅰ）填表见解析，有95%以上的把握认为“性别”与“问卷结果”有关；（Ⅱ）分布列见解析，【解析】

（Ⅰ）根据茎叶图填写列联表，计算得到答案.（Ⅱ），计算，，，得到分布列，再计算数学期望得到答案.【详解】（Ⅰ）根据茎叶图可得：男女总计合格101626不合格10414总计202040，故有95%以上的把握认为“性别”与“问卷结果””有关.（Ⅱ）从茎叶图可知，成绩在60分以下（不含60分）的男女学生人数分别是4人和2人，从中任意选2人，基本事件总数为，，，，012.【点睛】本题考查了独立性检验，分布列，数学期望，意在考查学生的综合应用能力.21、（1）见解析；（2）见解析．【解析】分析：（1）先证明，再证明FG//平面PBD.（2）先证明平面，再证明BD⊥FG．详解：证明：（1）连结PE，因为G.、F为EC和PC的中点，，又平面，平面，所以平面（II）因为菱形ABCD，所以，又PA⊥面ABCD，平面，所以，因为平面，平面，且，平面，平面，∴BD⊥FG.点睛：（1）本题主要考查空间位置关系的证明，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和空间想象转化能力.(2)证明空间位置关系，一般有几何法和向量法，本题利用几何法比较方便.22、（1）；（2）单调递减区间为，单调递增区间为，的极小值为，无极大值；（3）见解析.【解析】

（1）切点既在切线上又在曲线上得一方程，再根据斜率等于该点的导数再列一方程，解方程组即可；（2）先