2024届北京市十三中高三第三次测评数学试卷含解析

2024届北京市十三中高三第三次测评数学试卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．过抛物线的焦点的直线交该抛物线于，两点，为坐标原点.若，则直线的斜率为()A． B． C． D．2．已知函数（，）的一个零点是，函数图象的一条对称轴是直线，则当取得最小值时，函数的单调递增区间是（）A．（） B．（）C．（） D．（）3．“完全数”是一些特殊的自然数，它所有的真因子（即除了自身以外的约数）的和恰好等于它本身.古希腊数学家毕达哥拉斯公元前六世纪发现了第一、二个“完全数”6和28，进一步研究发现后续三个完全数”分别为496，8128，33550336，现将这五个“完全数”随机分为两组，一组2个，另一组3个，则6和28不在同一组的概率为（）A． B． C． D．4．已知数列{an}满足a1=3，且aA．22n-1+1 B．22n-1-15．如图，圆的半径为，，是圆上的定点，，是圆上的动点，点关于直线的对称点为，角的始边为射线，终边为射线，将表示为的函数，则在上的图像大致为（）A． B． C． D．6．已知、是双曲线的左右焦点，过点与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点，若点在以线段为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是（）A． B． C． D．7．已知α，β是两平面，l，m，n是三条不同的直线，则不正确命题是（）A．若m⊥α，n//α，则m⊥n B．若m//α，n//α，则m//nC．若l⊥α，l//β，则α⊥β D．若α//β，lβ，且l//α，则l//β8．在等腰直角三角形中，，为的中点，将它沿翻折，使点与点间的距离为，此时四面体的外接球的表面积为（）.A． B． C． D．9．已知抛物线和点，直线与抛物线交于不同两点，，直线与抛物线交于另一点．给出以下判断：①以为直径的圆与抛物线准线相离；②直线与直线的斜率乘积为；③设过点，，的圆的圆心坐标为，半径为，则．其中，所有正确判断的序号是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③10．过双曲线的右焦点F作双曲线C的一条弦AB，且，若以AB为直径的圆经过双曲线C的左顶点，则双曲线C的离心率为（）A． B． C．2 D．11．已知函数为奇函数，且，则（）A．2 B．5 C．1 D．312．已知函数的部分图象如图所示，则（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．对任意正整数，函数，若，则的取值范围是_________；若不等式恒成立，则的最大值为_________．14．函数的极大值为______.15．某校高二（4）班统计全班同学中午在食堂用餐时间，有7人用时为6分钟，有14人用时7分钟，有15人用时为8分钟，还有4人用时为10分钟，则高二（4）班全体同学用餐平均用时为____分钟.16．在一次体育水平测试中，甲、乙两校均有100名学生参加，其中:甲校男生成绩的优秀率为70%，女生成绩的优秀率为50%;乙校男生成绩的优秀率为60%，女生成绩的优秀率为40%.对于此次测试，给出下列三个结论:①甲校学生成绩的优秀率大于乙校学生成绩的优秀率;②甲、乙两校所有男生成绩的优秀率大于甲、乙两校所有女生成绩的优秀率;③甲校学生成绩的优秀率与甲、乙两校所有学生成绩的优秀率的大小关系不确定.其中，所有正确结论的序号是____________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知的内角的对边分别为，且.（Ⅰ）求；（Ⅱ）若的周长是否有最大值？如果有，求出这个最大值，如果没有，请说明理由.18．（12分）己知等差数列的公差，，且，，成等比数列.（1）求使不等式成立的最大自然数n；（2）记数列的前n项和为，求证：.19．（12分）已知.（1）若曲线在点处的切线也与曲线相切，求实数的值；（2）试讨论函数零点的个数.20．（12分）在直角坐标系中，直线的参数方程为为参数)，直线的参数方程(为参数)，若直线的交点为，当变化时，点的轨迹是曲线（1）求曲线的普通方程；（2）以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，设射线的极坐标方程为，，点为射线与曲线的交点，求点的极径.21．（12分）如图所示的几何体中，，四边形为正方形，四边形为梯形，，，，为中点.（1）证明：；（2）求二面角的余弦值.22．（10分）选修4-4：坐标系与参数方程：在平面直角坐标系中，曲线：（为参数），在以平面直角坐标系的原点为极点、轴的正半轴为极轴，且与平面直角坐标系取相同单位长度的极坐标系中，曲线：.（1）求曲线的普通方程以及曲线的平面直角坐标方程；（2）若曲线上恰好存在三个不同的点到曲线的距离相等，求这三个点的极坐标.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】

根据抛物线的定义，结合，求出的坐标，然后求出的斜率即可．【详解】解：抛物线的焦点，准线方程为，设，则，故，此时，即．则直线的斜率．故选：D．【点睛】本题考查了抛物线的定义，直线斜率公式，属于中档题．2、B【解析】

根据函数的一个零点是，得出，再根据是对称轴，得出，求出的最小值与对应的，写出即可求出其单调增区间.【详解】依题意得，，即，解得或（其中，）.①又，即（其中）.②由①②得或，即或（其中，，），因此的最小值为.因为，所以（）.又，所以，所以，令（），则（）.因此，当取得最小值时，的单调递增区间是（）.故选：B【点睛】此题考查三角函数的对称轴和对称点，在对称轴处取得最值，对称点处函数值为零，属于较易题目.3、C【解析】

先求出五个“完全数”随机分为两组，一组2个，另一组3个的基本事件总数为，再求出6和28恰好在同一组包含的基本事件个数，根据即可求出6和28不在同一组的概率.【详解】解：根据题意，将五个“完全数”随机分为两组，一组2个，另一组3个，则基本事件总数为，则6和28恰好在同一组包含的基本事件个数，∴6和28不在同一组的概率.故选：C.【点睛】本题考查古典概型的概率的求法，涉及实际问题中组合数的应用.4、D【解析】试题分析：因为an+1=4an+3，所以an+1+1=4(an+1)，即an+1+1an+1考点：数列的通项公式．5、B【解析】

根据图象分析变化过程中在关键位置及部分区域，即可排除错误选项，得到函数图象，即可求解.【详解】由题意，当时，P与A重合，则与B重合，所以,故排除C,D选项；当时，，由图象可知选B.故选：B【点睛】本题主要考查三角函数的图像与性质，正确表示函数的表达式是解题的关键,属于中档题.6、A【解析】双曲线﹣=1的渐近线方程为y=x，不妨设过点F1与双曲线的一条渐过线平行的直线方程为y=（x﹣c），与y=﹣x联立，可得交点M（，﹣），∵点M在以线段F1F1为直径的圆外，∴|OM|＞|OF1|，即有+＞c1，∴＞3，即b1＞3a1，∴c1﹣a1＞3a1，即c＞1a．则e=＞1．∴双曲线离心率的取值范围是（1，+∞）．故选：A．点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a，b，c的方程或不等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式，建立关于a，b，c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.7、B【解析】

根据线面平行、线面垂直和空间角的知识，判断A选项的正确性.由线面平行有关知识判断B选项的正确性.根据面面垂直的判定定理，判断C选项的正确性.根据面面平行的性质判断D选项的正确性.【详解】A．若，则在中存在一条直线，使得，则，又，那么，故正确；B．若，则或相交或异面，故不正确；C．若，则存在，使，又，则，故正确．D．若，且，则或，又由，故正确．故选：B【点睛】本小题主要考查空间线线、线面和面面有关命题真假性的判断，属于基础题.8、D【解析】

如图，将四面体放到直三棱柱中，求四面体的外接球的半径转化为求三棱柱外接球的半径，然后确定球心在上下底面外接圆圆心连线中点，这样根据几何关系，求外接球的半径.【详解】中，易知，翻折后,，，设外接圆的半径为，，，如图：易得平面，将四面体放到直三棱柱中，则球心在上下底面外接圆圆心连线中点，设几何体外接球的半径为，，四面体的外接球的表面积为.故选：D【点睛】本题考查几何体的外接球的表面积，意在考查空间想象能力，和计算能力，属于中档题型，求几何体的外接球的半径时，一般可以用补形法，因正方体，长方体的外接球半径容易求，可以将一些特殊的几何体补形为正方体或长方体，比如三条侧棱两两垂直的三棱锥，或是构造直角三角形法，确定球心的位置，构造关于外接球半径的方程求解.9、D【解析】

对于①，利用抛物线的定义，利用可判断；对于②，设直线的方程为，与抛物线联立，用坐标表示直线与直线的斜率乘积，即可判断；对于③，将代入抛物线的方程可得，，从而，，利用韦达定理可得，再由，可用m表示，线段的中垂线与轴的交点（即圆心）横坐标为，可得a，即可判断.【详解】如图，设为抛物线的焦点，以线段为直径的圆为，则圆心为线段的中点．设，到准线的距离分别为，，的半径为，点到准线的距离为，显然，，三点不共线，则．所以①正确．由题意可设直线的方程为，代入抛物线的方程，有．设点，的坐标分别为，，则，．所以．则直线与直线的斜率乘积为．所以②正确．将代入抛物线的方程可得，，从而，．根据抛物线的对称性可知，，两点关于轴对称，所以过点，，的圆的圆心在轴上．由上，有，，则．所以，线段的中垂线与轴的交点（即圆心）横坐标为，所以．于是，，代入，，得，所以．所以③正确．故选：D【点睛】本题考查了抛物线的性质综合，考查了学生综合分析，转化划归，数形结合，数学运算的能力，属于较难题.10、C【解析】

由得F是弦AB的中点.进而得AB垂直于x轴，得，再结合关系求解即可【详解】因为，所以F是弦AB的中点.且AB垂直于x轴.因为以AB为直径的圆经过双曲线C的左顶点，所以，即，则，故.故选：C【点睛】本题是对双曲线的渐近线以及离心率的综合考查，是考查基本知识，属于基础题．11、B【解析】

由函数为奇函数,则有,代入已知即可求得.【详解】.故选:.【点睛】本题考查奇偶性在抽象函数中的应用,考查学生分析问题的能力,难度较易.12、A【解析】

先利用最高点纵坐标求出A，再根据求出周期，再将代入求出φ的值.最后将代入解析式即可.【详解】由图象可知A＝1，∵，所以T＝π，∴.∴f（x）＝sin（2x+φ），将代入得φ）＝1，∴φ，结合0＜φ，∴φ.∴.∴sin.故选：A.【点睛】本题考查三角函数的据图求式问题以及三角函数的公式变换.据图求式问题要注意结合五点法作图求解.属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

将代入求解即可；当为奇数时,,则转化为,设,由单调性求得的最小值；同理,当为偶数时,,则转化为,设,利用导函数求得的最小值,进而比较得到的最大值.【详解】由题,,解得.当为奇数时,,由,得,而函数为单调递增函数,所以,所以；当为偶数时,,由,得,设,,单调递增,,所以,综上可知,若不等式恒成立,则的最大值为.故答案为:(1)；(2)【点睛】本题考查利用导函数求最值,考查分类讨论思想和转化思想.14、【解析】

先求函的定义域，再对函数进行求导，再解不等式得单调区间，进而求得极值点，即可求出函数的极大值．【详解】函数，，，令得，，当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减，当时，函数取到极大值，极大值为.故答案为：．【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查运算求解能力，求解时注意定义域优先法则的应用．15、7.5【解析】

分别求出所有人用时总和再除以总人数即可得到平均数.【详解】故答案为：7.5【点睛】此题考查求平均数，关键在于准确计算出所有数据之和，易错点在于概念辨析不清导致计算出错.16、②③【解析】

根据局部频率和整体频率的关系，依次判断每个选项得到答案.【详解】不能确定甲乙两校的男女比例，故①不正确；因为甲乙两校的男生的优秀率均大于女生成绩的优秀率，故甲、乙两校所有男生成绩的优秀率大于甲、乙两校所有女生成绩的优秀率，故②正确；因为不能确定甲乙两校的男女比例，故不能确定甲校学生成绩的优秀率与甲、乙两校所有学生成绩的优秀率的大小关系，故③正确.故答案为：②③.【点睛】本题考查局部频率和整体频率的关系，意在考查学生的理解能力和应用能力.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（Ⅰ）；（Ⅱ）有最大值，最大值为3.【解析】

（Ⅰ）利用正弦定理将角化边，再由余弦定理计算可得；（Ⅱ）由正弦定理可得，则，再根据正弦函数的性质计算可得；【详解】（Ⅰ）由得再由正弦定理得因此，又因为，所以.（Ⅱ）当时，的周长有最大值，且最大值为3，理由如下：由正弦定理得，所以，所以.因为，所以，所以当即时，取到最大值2，所以的周长有最大值，最大值为3.【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理解三角形，以及三角函数的性质的应用，属于中档题.18、（1）；（2）证明见解析【解析】

（1）根据，，成等比数列，有，结合公差，，求得通项，再解不等式.（2）根据（1），用裂项相消法求和，然后研究其单调性即可.【详解】（1）由题意，可知，即，∴.又，，∴，∴.∴，∴，故满足题意的最大自然数为.（2），∴...从而当时，单调递增，且，当时，单调递增，且，所以，由，知不等式成立.【点睛】本题主要考查等差数列的基本运算和裂项相消法求和，还考查了运算求解的能力，属于中档题.19、（1）（2）答案不唯一具体见解析【解析】

（1）利用导数的几何意义，设切点的坐标，用不同的方式求出两种切线方程，但两条切线本质为同一条，从而得到方程组，再构造函数研究其最大值，进而求得；（2）对函数进行求导后得，对分三种情况进行一级讨论，即，，，结合函数图象的单调性及零点存在定理，可得函数零点情况.【详解】解:（1）曲线在点处的切线方程为，即.令切线与曲线相切于点，则切线方程为，∴，∴，令，则，记，于是，在上单调递增，在上单调递减，∴，于是，.（2），①当时，恒成立，在上单调递增，且，∴函数在上有且仅有一个零点；②当时，在R上没有零点；③当时，令，则，即函数的增区间是，同理，减区间是，∴.ⅰ）若，则，在上没有零点；ⅱ）若，则有且仅有一个零点；ⅲ）若，则.，令，则，∴当时，单调递增，.∴又∵，∴在R上恰有两个零点，综上所述，当时，函数没有零点；当或时，函数恰有一个零点；当时，恰有两个零点.【点睛】本题考查导数的几何意义、切线方程、零点等知识，求解切线有关问题时，一定要明确切点坐标.以导数为工具，研究函数的图象特征及性质，从而得到函数的零点个数，此时如果用到零点存在定理，必需说明在区间内单调且找到两个端点值的函数值相乘小于0，才算完整的解法.20、（1）；（2）【解析】

（1）将两直线化为普通方程，消去参数，即可求出曲线的普通方程；（2）设Q点的直角坐标系坐标为,求出，代入曲线C可求解.【详解】（1）直线的普通方程为,直线的普通方程为联立直线,方程消去参数k,得曲线C的普通方程为整理得.（2）设Q点的直角坐标系坐标为,由可