高考数学复习专题五立体几何与空间向量第3讲立体几何中的向量方法理市赛课公开课一等奖省名师获奖P

第3讲立体几何中向量方法专题五立体几何与空间向量1/66热点分类突破真题押题精练2/66Ⅰ热点分类突破3/66热点一利用向量证实平行与垂直设直线l方向向量为a＝(a1，b1，c1)，平面α，β法向量分别为μ＝(a2，b2，c2)，v＝(a3，b3，c3)，则有：(1)线面平行l∥α⇔a⊥μ⇔a·μ＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.(2)线面垂直l⊥α⇔a∥μ⇔a＝kμ⇔a1＝ka2，b1＝kb2，c1＝kc2.4/66(3)面面平行α∥β⇔μ∥v⇔μ＝λv⇔a2＝λa3，b2＝λb3，c2＝λc3.(4)面面垂直α⊥β⇔μ⊥v⇔μ·v＝0⇔a2a3＋b2b3＋c2c3＝0.5/66例1

如图，在直三棱柱ADE—BCF中，面ABFE和面ABCD都是正方形且相互垂直，点M为AB中点，点O为DF中点.利用向量方法证实：(1)OM∥平面BCF；证实6/66证实方法一由题意，得AB，AD，AE两两垂直，以点A为原点建立如图所表示空间直角坐标系.∵棱柱ADE—BCF是直三棱柱，且OM⊄平面BCF，∴OM∥平面BCF.7/66又OM⊄平面BCF，∴OM∥平面BCF.8/66(2)平面MDF⊥平面EFCD.证实思维升华9/66证实方法一

设平面MDF与平面EFCD一个法向量分别为n1＝(x1，y1，z1)，n2＝(x2，y2，z2).∵n1·n2＝0，∴平面MDF⊥平面EFCD.10/66方法二

由题意知，BF，BC，BA两两垂直，∴OM⊥CD，OM⊥FC，又CD∩FC＝C，CD，FC⊂平面EFCD，∴OM⊥平面EFCD.又OM⊂平面MDF，∴平面MDF⊥平面EFCD.11/66思维升华用向量知识证实立体几何问题，依然离不开立体几何中定理.如要证实线面平行，只需要证实平面外一条直线和平面内一条直线平行，即化归为证实线线平行，用向量方法证实直线a∥b，只需证实向量a＝λb(λ∈R)即可.若用直线方向向量与平面法向量垂直来证实线面平行，仍需强调直线在平面外.12/66跟踪演练1

如图，在底面是矩形四棱锥P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，点E，F分别是PC，PD中点，PA＝AB＝1，BC＝2.(1)求证：EF∥平面PAB；证实13/66证实以点A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴，建立如图所表示空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,1).∵点E，F分别是PC，PD中点，14/66即EF∥AB，又AB⊂平面PAB，EF⊄平面PAB，∴EF∥平面PAB.15/66(2)求证：平面PAD⊥平面PDC.证实16/66又AP∩AD＝A，AP，AD⊂平面PAD，∴DC⊥平面PAD.∵DC⊂平面PDC，∴平面PAD⊥平面PDC.17/66热点二利用空间向量求空间角设直线l，m方向向量分别为a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2).平面α，β法向量分别为μ＝(a3，b3，c3)，v＝(a4，b4，c4)(以下相同).(1)线线夹角18/6619/66例2

在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥平面BCC1B1，∠BCC1＝

，AB＝BC＝2，BB1＝4，点D在棱CC1上，且CD＝λCC1(0<λ≤1).建立如图所表示空间直角坐标系.(1)当λ＝

时，求异面直线AB1与A1D夹角余弦值；解答20/6621/66(2)若二面角A－B1D－A1平面角为

，求λ值.解答思维升华22/6623/6624/66故λ值为1.25/66思维升华(1)利用空间向量坐标运算求空间角普通步骤：①建立恰当空间直角坐标系；②求出相关点坐标；③写出向量坐标；④结合公式进行论证、计算；⑤转化为几何结论.(2)求空间角注意：①两条异面直线所成角α不一定是直线方向向量夹角β，即cosα＝|cosβ|；②两平面法向量夹角不一定是所求二面角，有可能为两法向量夹角补角；③直线和平面所成角正弦值等于平面法向量与直线方向向量夹角余弦值绝对值，注意函数名称改变.26/66跟踪演练2

如图，在四棱锥S－ABCD中，SD⊥平面ABCD，四边形ABCD是直角梯形，∠ADC＝∠DAB＝90°，SD＝AD＝AB＝2，DC＝1.(1)求二面角S－BC－A余弦值；解答27/66解以D为坐标原点，建立如图所表示空间直角坐标系Dxyz，则D(0,0,0)，B(2,2,0)，C(0,1,0)，S(0,0,2)，设平面SBC法向量为n1＝(x，y，z)，得2x＋2y－2z＝0且y－2z＝0.取z＝1，得x＝－1，y＝2，所以n1＝(－1,2,1)是平面SBC一个法向量.因为SD⊥平面ABC，取平面ABC一个法向量n2＝(0,0,1).28/66设二面角S－BC－A大小为θ，由图可知二面角S－BC－A为锐二面角，29/66解答30/66设PE与平面SAD所成角为α，31/6632/66热点三利用空间向量求解探索性问题存在探索性问题基本特征是要判断在一些确定条件下某一数学对象(数值、图形、函数等)是否存在或某一结论是否成立.处理这类问题基本策略是先假设题中数学对象存在(或结论成立)或暂且认可其中一部分结论，然后在这个前提下进行逻辑推理，若由此导出矛盾，则否定假设；不然，给出必定结论.33/66例3

如图，在四棱锥E－ABCD中，平面ABE⊥底面ABCD，侧面AEB为等腰直角三角形，

∠AEB＝

，底面ABCD为直角梯形，

AB∥CD，AB⊥BC，AB＝2CD＝2BC.(1)求直线EC与平面ABE所成角正弦值；解答34/66解因为平面ABE⊥平面ABCD，且AB⊥BC，平面ABE∩平面ABCD＝AB，BC⊂平面ABCD，所以BC⊥平面ABE,则∠CEB即为直线EC与平面ABE所成角，35/66(2)线段EA上是否存在点F，使EC∥平面FBD？若存在，求出

；若不存在，说明理由.解答思维升华36/66证实以下：取AB中点O为坐标原点，OB，OD，OE分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所表示，设CD＝1，则E(0,0,1)，A(－1,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,1,0)，37/6638/66且EC⊄平面FBD，所以EC∥平面FBD，39/66思维升华空间向量最适合于处理这类立体几何中探索性问题，它无需进行复杂作图、论证、推理，只需经过坐标运算进行判断.解题时，把要成立结论看成条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问题转化为“点坐标是否有解，是否有要求范围内解”等，所认为使问题处理更简单、有效，应善于利用这一方法.40/66解答(1)求二面角F－DE－C大小；41/66解因为AF⊥AB，平面ABCD⊥平面ABEF，平面ABEF∩平面ABCD＝AB，所以AF⊥平面ABCD，所以AF⊥AD.因为四边形ABCD为正方形，所以AB⊥AD，所以AD，AB，AF两两垂直，以A为原点，AD，AB，AF分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系(如图).42/66设平面CDE一个法向量为n＝(x，y，z)，由勾股定理可知，AF＝1，BE＝2，所以A(0,0,0)，B(0,2,0)，C(2,2,0)，D(2,0,0)，E(0,2,2)，F(0,0,1)，43/66同理可得平面DEF一个法向量m＝(1，－1,2)，44/66(2)若在平面DEF上存在点P，使得BP⊥平面DEF，试经过计算说明点P位置.解答45/6646/66所以P是线段DE上靠近E三等分点.47/66Ⅱ真题押题精练48/66真题体验1.(·浙江改编)如图，已知正四面体D—ABC(全部棱长均相等三棱锥)，P，Q，R分别为AB，BC，CA上点，AP＝PB，

分别记二面角D—PR—Q，D—PQ—R，D—QR—P平面角为α，β，γ，则α，β，γ大小关系为________.α＜γ＜β答案解析1249/66解析如图①，作出点D在底面ABC上射影O，过点O分别作PR，PQ，QR垂线OE，OF，OG，连接DE，DF，DG，则α＝∠DEO，β＝∠DFO，γ＝∠DGO.由图可知，它们对边都是DO，∴只需比较EO，FO，GO大小即可.1250/66如图②，在AB边上取点P′，使AP′＝2P′B，连接OQ，OR，则O为△QRP′中心.设点O到△QRP′三边距离为a，则OG＝a，OF＝OQ·sin∠OQF＜OQ·sin∠OQP′＝a，OE＝OR·sin∠ORE＞OR·sin∠ORP′＝a，∴OF＜OG＜OE，12∴α＜γ＜β.51/6612证实2.(·北京)如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，点M在线段PB上，PD∥平面MAC，PA＝PD＝

AB＝4.(1)求证：M为PB中点；52/66证实设AC，BD交于点E，连接ME，如图所表示.因为PD∥平面MAC，平面MAC∩平面PDB＝ME，所以PD∥ME.因为四边形ABCD是正方形，所以E为BD中点，所以M为PB中点.1253/66(2)求二面角B—PD—A大小；12解答54/66解取AD中点O，连接OP，OE.因为PA＝PD，所以OP⊥AD，又因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，且OP⊂平面PAD，所以OP⊥平面ABCD.因为OE⊂平面ABCD，所以OP⊥OE.因为四边形ABCD是正方形，所以OE⊥AD，如图，建立空间直角坐标系Oxyz，1255/66设平面BDP法向量为n＝(x，y，z)，12平面PAD法向量为p＝(0,1,0)，56/66由题意知，二面角B－PD－A为锐角，1257/66(3)求直线MC与平面BDP所成角正弦值.设直线MC与平面BDP所成角为α，则12解答58/66押题预测证实押题依据利用空间向量求二面角全方面考查了空间向量建系、求法向量、求角等知识，是高考重点和热点.(届太原模拟)如图，在几何体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，BE⊥平面ABCD,DF∥BE,DF＝2BE＝2，EF＝3.(1)证实：平面ACF⊥平面BEFD；押题依据59/66证实

∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD.∵BE⊥平面ABCD，∴BE⊥AC，又BE∩BD＝B，BE，BD⊂平面BEFD，∴AC⊥平面BEFD.∵AC⊂平面ACF，∴