2024北京清华附中高二（下）期中数学试卷及答案

第1页/共1页2024北京清华附中高二（下）期中数学（清华附中高22级）2024.4第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.设集合，，则集合的元素的个数为（）A.0 B.1 C.2 D.32.已知数列是公差为的等差数列，其前项和为，若，则等于（）A.2 B.3 C.4 D.53.在复平面内，复数对应的点坐标为，则复数等于（）A. B. C. D.4.设，若，则的值为（）A.4 B.6 C.7 D.85.已知圆，直线经过点，且与圆相切，则的方程为（）A. B. C. D.6.若，，，，则，，的大小关系为（）A. B. C. D.7.已知抛物线的焦点为，准线为直线，横坐标为3的点在抛物线上，过点作的垂线，垂足为，若，则等于（）A.1 B.2 C.3 D.48.已知的外接圆的半径为1，，则的最大值为（）A. B. C. D.19.已知是公比为的等比数列.则“，恒成立”是“是的一个最值”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.即不充分也不必要条件10.已知曲线，点在曲线上，给出下列四个结论：①曲线关于直线对称：②当时，点不在直线上：③当时，；④当时，曲线所围成的区域的面积大于.其中所有正确结论的有（）A.②③④ B.①②③ C.①② D.③④第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.在正方体中，直线与平面所成的角的正弦值为______.12.已知双曲线，其焦点到渐近线的距离是其焦距的倍，则双曲线的离心率为______.13.已知函数，若，，使得，则正数的最小值为______.14.设，函数①若，则______；②若函数有且仅有两个零点，则的取值范围为______.15.训练师是一种新型的工作，通过向提问，能让软件更加准确地回答问题.训练师需要和数据标注员紧密协作，把控好整个流程的输入规则和输出结果，最终输出标注准确的数据.通过训练师每次提问后，软件回答问题的正确率可能发生变化.某软件初始回答问题的正确率记为，设第次训练后，可将该软件回答问题的正确率从改变为，其中，，，，，，…，给出下列四个结论：①当，若，，时，该软件无法通过训练提高正确率；②若，时，该软件经过第一次训练提高了正确率：③当，若，，时，该软件经过5次训练后，正确率高于：④当，若，时，该软件无论怎么训练，正确率都不高于.其中，所有正确结论的序号是______.三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（16）（本小题13分）在中，.（I）求的值；（II）以下三个条件中仅有两个正确，请选出正确的条件，并求：条件①：；条件②：；条件③：的面积为.注：如果选择的条件不符合要求，第（II）问得0分.（17）（本小题13分）如图，在四棱锥中，，，，和都是等边三角形，且.（I）求证：平面；（II）求平面与平面所成角的余弦值.（18）（本小题14分）为了解某地区居民每户月均用电情况，采用随机抽样的方式，从该地区随机调查了100户居民，获得了他们每户月均用电量的数据，发现每户月均用电量都在之间，进行适当分组后（每组为左闭右开区间），得到如下频率分布直方图：（I）记频率分布直方图中从左到右的分组依次为第1组，第2组，…，第6组.从样本中第1组和第2组中，任取2户，求他们月均用电量都不低于的概率；（II）从该地区全体居民中随机抽取3户，设月均用电量在之间的用户数为，以样本的频率估计总体的概率，求的分布列和数学期望；（III）用图中数据估计该地区全体用户的月均用电量.有人估计该地区全体用户的月均用电量低于.请分析这一估计是否正确，说明理由.（19）（本小题15分）已知椭圆过点，点是椭圆的右焦点，且.过点作两条互相垂直的弦，.（I）求椭圆的方程；（II）若直线，的斜率都存在，设线段，的中点分别为，.求点到直线的距离的最大值.（20）（本小题15分）已知函数，其中.（I）判断曲线在处切线是否与轴平行；（II）求的单调区间；（III）若有两个极值点，设极大值点为，且，判断与2的大小关系，并说明理由.（21）（本小题15分）已知整数，集合，，，满足，对任意的，都有且.记.（I）若，写出两组满足条件的集合，并写出相应的；（II）证明：；（III）求的所有可能取值.

参考答案一、1-5CADBA 6-10DBCAA二、11. 12. 13.14.①2；②或得15.①②，不能确定③，表示首项为，公比为的等比数列.则.④，得，，得.当变大时，越来越趋近于0，，则，得16.解：（I）因为，所以，即，因为，所以.（II）由（I）知，，由余弦定理知，，所以，而条件①中，所以，显然不符合题意，即条件①错误；由条件②，条件③，解得，由余弦定理知，，所以，由正弦定理知，，所以.17.解：（I）法：1：取线段中点为.由，为等边三角形知，.，平面.平面，.，平面.法2：求得，得，得，得.，平面.（II）取线段的中点0，连接，则.由平面，知.作交于.由，，则有，.则，，两两垂直.如图建立坐标系.，，，.，.平面的一个法向量.设平面的法向量，，，则有，，即，令，得.则.由于平面与平面所成的角是锐角，则其余弦值为.18.解：（I）由频率分布直方图可知，100户居民中，第1组的居民户数为，第2组的居民户数为，从第1组、第2组中任取2户居民，他们月均用电量都不低于300千瓦时的概率为；（II）该地区月均用电量在千瓦时之间的用户所占的频率为.由题意可知，，；；；，所以的分布列为：0123.（III）这一推断是不正确的.由于抽样的数据具有随机性，当总体的数据集中于区间的左端时，该地区全体用户月均用电量为：千瓦时.所以这一结论是不正确的.19.解：（1），，则椭圆的方程为.（2），斜率均存在，设直线方程为：，设，，联立：，消去得：，，，.即，将上式中的换成，同理可得：，①若直线斜率不存在，此时，解得：，直线过点；②若直线䣄率存在，则，直线为，得，直线过点；综上，直线恒过定点.因为，故斜率不为0，设直线，，当时，.20.解：（I），，，所以曲线在处切线为，与轴平行.（II）令，则或.当时，时，，；时，，.故，，所以单增区间为当时，，则有000极大值极小值所以单增区间为和，单减区间为.当时，，则有000极大值极小值所以单增区间为和，单减区间为.（III）由知，则.若有两个极值点，则.当时，，，则有，则.当时，，即，又得则设，.，令，得.0极大值故，此时，.所以当时，；当时，.21.解：（I）（共6组，任写2组即可），，.，，.，，.，，.，，.，，.（II）若，则，而，，，…，，所以.，所以，，结论成立.若，则