全等三角形倍长中线(含答案)

全等三角形倍长中线三角形中线的定义：三角形顶点和对边中点的连线三角形中线的相关定理：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半等腰三角形底边的中线三线合一(底边的中线、顶角的角平分线、底边的高重合)见到中线(中点)，我们可以联想的内容无非是倍长中线以及中位线定理(以后还要学习中线长公式)，尤其是在涉及线段的等量关系时，倍长中线的应用更是较为常见．例1、已知：中，是中线．求证：．如图所示，延长到，使，连结，利用证得≌，∴中，，∴∴练习：在中，，则边上的中线的长的取值范围是什么？中线倍长，例2、如图，中，，是中线．求证：．延长到，使，连结．在和中∴∴，在中，∵，∴∴，∴．(如果取中点用中位线也可证，目前还不能)例3、如图，已知在中，是边上的中线，是上一点，延长交于，，求证：．延长到，使，连结∵，，∴∴．又∵，∴∴∴，∴．例4、如图，在中，交于点，点是中点，交的延长线于点，交于点，若，求证：为的角平分线．延长到点，使，连结．在和中∴∴，∴，而∴又∵∴，∴∴为的角平分线．例5、已知△ABC，，D，E分别是AB及AC延长线上的一点，且BD=CE，连接DE交底BC于G，求证GD=GE．(等腰三角形、线段相等)(一)过E作EF∥AB，交BC的延长线于F，则∠B=∠F∵∠3=∠4，∠3=∠B∴∠4=∠F∴CE=EF在△GEF与△GDB中，∴△GFE≌△GBD∴证明(二)过D，E分别作直线DK⊥CB，EF⊥CB∵∠1=∠2∠2=∠B∴∠1=∠B又∵BD=CE∴Rt△BDK≌△CEF∴DK=EF又∵∠3=∠4．∴Rt△DKG≌Rt△EFG∴GD=GE证明(三)过D点作DK∥AC交BC于K过D点作DF∥BC交AC于F∴四边形DKCF是开行四边形∴DK=FC∠1=∠C∵∠C=∠B∴∠1=∠B∴DB=DK=CE=CF∴C是EF中点，∴BC∥DF∴G是DE中点，∴DG=EG注(此题还有他法，可补充)例6、已知为的中线，，的平分线分别交于、交于．求证：．延长到，使，连结、．易证≌，∴，又∵，的平分线分别交于、交于，∴，利用证明≌，∴，在中，，∴．例7、已知：如图，梯形中，，点是的中点，的延长线与的延长线相交于点．求证：．∵点是中点∴又∵，在延长线上∴，在与中∴例8、如图，在中，是边的中点，，分别是及其延长线上的点，．求证：．∵，∴．又∵，，∴．例9、在中，是斜边的中点，、分别在边、上，满足．若，，则线段的长度为_________．如图、延长至点，使得，联结、．由，有．又，．例10、如图所示，在和中，、分别是、上的中线，且，，，求证．如图所示，分别延长、至、，使，．连接、，则，．因为，所以．在和中，，，，故，从而，．同理，，则，．因为，所以．在和中，，，，所以，从而，，故，则．在和中，，，，故．练习1、如图，在等腰中，，是的中点，过作，，且．求证：．本题相对例题简单一些．连结，则．∵，，∴∴，∴．2、如图，已知在中，是边上的中线，是上一点，且，延长交于，与相等吗？为什么？延长到，使，连结∵，，∴．∴．又∵，∴∴，而∴，故．3、如右下图，在中，若，，为边的中点．求证：．如右下图，则取边中点，连结、．由中位线可得，且．为斜边上的中线，∴．∴，又∵，即，∴，∴，∴．4、如图，已知AB=DC，AD=BC，O是BD中点，过O点的直线分别交DA、BC的延长线于E，F．求证：∠E=∠F(提示：由△ABD≌△CDB，得∠1=∠2，过