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文档简介
阶段方法技巧训练(一)专训2垂径定理的四种
应用技巧习题课垂径定理的巧用主要体现在求点的坐标、解决最值问题、解决实际问题等.解题时,巧用弦的一半、圆的半径和圆心到弦的垂线段三条线段组成的直角三角形,然后借助勾股定理,在这三个量中知道任意两个,可求出第三个.1技巧巧用垂径定理求点的坐标1.如图所示,在平面直角坐标系中,点A的坐标是
(10,0),点B的坐标是(8,0),点C,D在以OA
为直径的半圆M上,且四边形OCDB是平行四
边形,求点C的坐标.如图,连接CM,作MN⊥CD于N,CH⊥OA于H.∵四边形OCDB为平行四边形,B点的坐标是(8,0),∴CD=OB=8,CN=MH,CH=MN.又∵MN⊥CD,∴CN=DN=
CD=4.易知OA=10,∴MO=MC=5.在Rt△MNC中,MN=∴CH=3,又OH=OM-MH=5-4=1.∴点C的坐标为(1,3).解:2技巧巧用垂径定理解决最值问题(对称思想)2.如图,AB,CD是半径为5的⊙O的两条弦,AB
=8,CD=6,MN是直径,AB⊥MN于点E,
CD⊥MN于点F,P为直线EF上的任意一点,求
PA+PC的最小值.解:如图,易知点C关于MN的对称点为点D,连接AD,交MN于点P,连接PC,易知此时PA+PC最小且PA+PC=AD.过点D作DH⊥AB于点H,连接OA,OC.易知AE=4,CF=3,由勾股定理易得OE=3,OF=4,∴DH=EF=7,又AH=AE+EH=4+3=7.∴AD=7.即PA+PC的最小值为7.本题运用了转化思想,将分散的线段转化为同一直线上的一条线段,然后运用勾股定理求出线段的长度.3技巧巧用垂径定理计算3.如图,CD为⊙O的直径,CD⊥AB,垂足为点F,
AO⊥BC,垂足为E,BC=2.(1)求AB的长;(2)求⊙O的半径.解:(1)连接AC,∵CD为⊙的直径,CD⊥AB,∴AF=BF,∴AC=BC.延长AO交⊙O于G,
则AG为⊙O的直径,又AO⊥BC,∴BE=CE,∴AC=AB.∴AB=BC=2.(2)由(1)知AB=BC=AC,∴△ABC为等边三角形,∵AE⊥BC,∴∠EAB=∠CAE=
∠CAB=30°.即∠OAF=30°,在Rt△OAF中,AF=
,易得OA=2,即⊙O的半径为2.4技巧巧用垂径定理解决实际问题(建模思想)4.某地有一座拱桥,它的桥拱是圆弧形,桥下的
水面宽度为7.2米,拱顶高出水面2.4米,现有
一艘宽3米,船舱顶部为长方形并高出水面2米
的货船要经过这里,此货船能顺利通过这座拱
桥吗?解:如图,设圆弧形桥拱AB所在圆的圆心为O,连接OA,OB,作OD⊥AB于点D,交⊙O于点C,交MN于点H,由垂径定理可知,D为AB的中点.设OA=r米,则OD=OC-DC=(r-2.4)米,AD=
AB=3.6米.在Rt△AOD中,OA2=AD2+OD2,即r2=3.62+(r-2.4)2,解得r=3.9.在Rt△OHN中,OH=
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