河北省唐县第一中学2024届高三下学期二模数学试题

高三数学考试本试卷满分150分，考试用时120分钟.注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4，本试卷主要考试内容：全部高考内容.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数（）A.B.C.D.2.已知集合，则（）A.B.C.D.3.3.下图为2020年~2023年某国星级酒店数量､营业收入及餐饮收入比重，根据该图，下列结论错误的是（）A.2020年~2023年某国星级酒店数量逐年减少B.2020年~2023年某国星级酒店营业收入最高不超过2000亿元C.2020年~2023年某国星级酒店餐饮收入比重最高的是2021年D.2020年~2023年某国星级酒店餐饮收入比重的极差是1.54%4.若，则（）A.B.C.D.5.若平面向量都是单位向量，，则（）A.对任意，都有B.对任意，都有C.存在，使得D.存在，使得6.已知椭圆的左､右焦点分别为在椭圆上，且，则椭圆的长轴长为（）A.B.C.或D.或7.已知圆周率，把圆周率通过四舍五入精确到的近似值分别记为，若从中任取2个数字，则满足，的慨率为（）A.B.C.D.8.已知满足：①是图象上任意不同的两点，且直线的斜率恒小于1；②存在及无数个使得，则的取值范围是（）A.B.C.D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.若直线与抛物线只有1个公共点，则的焦点的坐标可能是（）A.B.C.D.10.已知，则（）A.的最大值为B.的最小值为C.的最大值为2D.的最小值为11.已知正三棱柱的所有棱长均为为的中点，平面过点与直线垂直，与直线分别交于点是内一点，且，则（）A.为的中点B.C.为的中点D.的最小值为三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知数列的前项积为，若，则满足的正整数的最小值为__________.13.已知点为的中点，动点分别满足，则的最大值为__________.14.已知函数的定义域，对任意，恒有，且当时，恒成立，，则不等式的解集为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）已知中，角所对的边分别为.（1）求角；（2）若，且的周长为，求的面积.16.（本小题满分15分）单位面积穗数､穗粒数､千粒重是影响小麦产量的主要因素，某小麦品种培育基地在一块试验田种植了一个小麦新品种，收获时随机选取了100个小麦穗，对每个小麦穗上的小麦粒数进行统计得到如下统计表：穗粒数穗数41056228其中同一组中的数据用该组区间的中点值作代表.从收获的小麦粒中随机选取5组，每组1000粒，分别称重，得到这5组的质量（单位：）分别为：.（1）根据抽测，这块试验田的小麦亩穗数为40万，试估计这块试验田的小麦亩产量（结果四舍五入到）；公式：亩产量亩穗数样本平均穗粒数.（2）已知该试验田穗粒数近似服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差.若小麦穗粒数不低于28粒的穂数超过总体的，则称该小麦品种为优质小麦品种，试判断该试验田中的小麦品种是否为优质小麦品种.参考数据：若近似服从正态分布，则.17.（本小题满分15分）如图，在四棱柱中，四边形与四边形是面积相等的矩形，，，平面平面为的中点.（1）求点到平面距离的差；（2）求直线与平面所成角的正弦值.18.（本小题满分17分）三等分角是古希腊几何尺规作图的三大问题之一，如今数学上已经证明三等分任意角是尺规作图不可能问题，如果不局限于尺规，三等分任意角是可能的.下面是数学家帕普斯给出的一种三等分角的方法：已知角的顶点为，在的两边上截取，连接，在线段上取一点，使得，记的中点为，以为中心，为顶点作离心率为2的双曲线，以为圆心，为半径作圆，与双曲线左支交于点（射线在内部），则.在上述作法中，以为原点，直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，若，点在轴的上方.（1）求双曲线的方程；（2）若过点且与轴垂直的直线交轴于点，点到直线的距离为.证明：①为定值；②.19.（本小题满分17分）已知函数.（1）若，讨论的单调性；（2）已知存在，使得在上恒成立，若方程有解，求实数的取值范围.数学答案1.D.故选D.2.C因为，所以.故选C.3.D2020年~2023年某国星级酒店数量依次为：，逐年减少，A正确；2020年~2023年某国星级酒店营业收入最高为1907.77亿元，B正确；2020年~2023年某国星级酒店餐饮收入比重最高的是2021年，C正确；2020年年某国星级酒店餐饮收入比重的极差是错误.故选D.4.D由，得，即，解得或（舍），所以.故选D.5.A由单位向量满足，得，所以，又，所以，且.故选A.6.B由，得，所以，把及代入，得，解得（舍去）或，所以，椭圆的长轴长为.故选.7.C由题意可得，从中任取2个数字，结果有：，，共10种，其中满足的有，共3种，所以所求概率.故选C.8.B满足①：因为直线的斜率恒小于1，所以，设，则，所以在上单调递减，则时，，即，因为，所以，所以；满足②：存在及无数个使得，则在上有零点，所以，所以.综上，的取值范围是.故选B.9.BC当时，直线与只有一个公共点，满足题意，此时的坐标为；当时，把与联立得，由，得或（舍去），对应的的坐标为.故选.10.AC由，得，所以，当且仅当时取等号，正确；由，得，所以，当且仅当时取等号，B错误；由，得，所以，当且仅当时取等号，C正确；由，得，所以，当且仅当时取等号，D错误.故选AC.11.ABD如图1，由可得，因为侧面为正方形，所以，所以，即，所以为的中点，故正确；在正三棱柱中，因为为的中点，所以，又平面平面，所以，又平面，所以平面，又平面，所以，又，所以，故B正确；取的中点，可得，所以平面平面，又平面，所以，即四边形是平行四边形，所以，即为的四等分点，故错误；，如图，，设与交于点，则平面，在Rt中，由等面积法得，所以，因为，所以，所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆在内的圆弧，设与圆弧交于，则的最小值即为，因为，所以，故D正确.故选ABD.12.，当时，又为偶数时，为奇数时，，所以的最小值为5.13.由，得，所以点在以为直径的圆上，圆方程为，设，由，得，整理得，即，设，则点在以为圆心，半径为的圆上，所以的最大值为.14.由，得.设，则，取，得；取，得；取，得，所以是偶函数，所以.因为当时，，两边同时乘以，得，两边同时除以，得，即，即，所以在上单调递减.由，得，由，得，所以可化为，即，所以，解得或，所以不等式的解集为.15.解：（1）因为，所以，整理得，因为，所以，又，所以.（2）由（1）知，又，所以，即，所以，所以，所以，所以的面积.16.解：（1）该试验田样本平均穗粒数为，样本平均千粒重为，所以这块试验田的小麦亩产量的估计值为.（2）由（1），得，所以，所以，所以该试验田中的小麦为优质小麦品种.17.解：（1）因为四边形是矩形，所以，又平面平面，且平面平面平面，所以平面，因为平面，所以.在矩形中，，所以，因为，所以，又平面，所以平面.设，则点到平面的距离分别为，又，所以点到平面距离的差为.（2）因为平面平面，所以，又，所以，又由矩形知，两两垂直，以点为坐标原点，以直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系.则，所以设平面的一个法向量为，则即取，得，设直线与平面所成角为，则，即直线与平面所成角的正弦值为.18.（1）解：设双曲线的方程为，由及，可得，所以，因为双曲线的离心率为2，所以，所以双曲线的方程为.（2）证明：①由题可得，因为，所以直线的方程为，设，则，，，所以，为定值.②因为，由（1）得，因为，所以，又都是锐角，所以，所以，所以.19.解：（1）的定义域为，当时，