(完整版)2019年高考理科数学北京卷理数(附参考答案和详解)

第页）绝密★启用前6月7日15:00-17:002019年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学（理工农医类）总分：150分考试时间：120分钟★祝考试顺利★注意事项：本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证条形码粘贴在答题卡的指定位置。用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸、答题卡上的非答题区域均无效。填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸、答题卡上的非答题区域均无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并上交。第I卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.（2019北京卷·理）已知复数，则（） A. B. C. D.【解析】因为，所以，所以.故选D.【答案】D2.（2019北京卷·理）执行如图所示的程序框图，输出的值为（） A. B. C. D.【解析】；第一次循环：，判断；第二次循环：，判断；第三次循环：，判断.故输出2，故选B.【答案】B3.（2019北京卷·理）已知直线的参数方程为（为参数），则点到直线的距离是（） A. B. C. D.【解析】由题意可知直线l的普通方程为，由点到直线的距离公式可得点到直线l的距离.故选D.【答案】D4.（2019北京卷·理）已知椭圆的离心率为，则（） A. B. C. D.【解析】因为椭圆的离心率为，所以.又，所以.故选B.【答案】B5.（2019北京卷·理）若，满足，且，则的最大值为（） A. B. C. D.【解析】由，且，得作出可行域如图阴影部分所示.设，则，作直线，并进行平移.显然当经过点时，z取得最大值，.故选C.【答案】C6.（2019北京卷·理）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足，其中星等为的星的亮度为．已知太阳的星等是，天狼星的星等是，则太阳与天狼星的亮度的比值为（） A. B. C. D.【解析】由题意知，，，代入所给公式得，所以，所以.故选A.【答案】A7.（2019北京卷·理）设点，，不共线，则“与的夹角为锐角”是“”的（） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【解析】因为设点，，不共线，由向量加法的三角形法则，可知，所以等价于，因模为正，故不等号两边平方得（为与的夹角），整理得，故，即为锐角.又以上推理过程可逆，所以“与的夹角为锐角”是“”的充分必要条件.故选C.【答案】C8.（2019北京卷·理）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线就是其中之一（如图）．给出下列三个结论： ①曲线恰好经过个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； ②曲线上任意一点到原点的距离都不超过； ③曲线所围成的“心形”区域的面积小于． 其中，所有正确结论的序号是（） A.① B.② C.①② D.①②③【解析】由，当时，；当时，；当时，.故曲线C恰好经过6个整点：，，，，，，所以①正确.由基本不等式，当时，，所以，所以，故②正确.如图，由①知矩形CDFE的面积为2，△BCE的面积为1，所以曲线C所围成的“心形”区域的面积大于3，故③错误.故选C.【答案】C第Ⅱ卷填空题：本题共6小题，每小题5分。9.（2019北京卷·理）函数的最小正周期是．【解析】由降幂公式得所以最小正周期.【答案】10.（2019北京卷·理）设等差数列的前项和为，若，，则，的最小值为．【解析】因为，，所以，所以，所以通项公式.令，得，即数列的前4项为负，，第6项及以后的项为正.所以的最小值为.【答案】，11.（2019北京卷·理）某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示．如果网格纸上小正方形的边长为，那么该几何体的体积为． 【解析】由题意知，去掉的四棱柱的底面为直角梯形，底面积，高等于正方体的棱长4，所以去掉的四棱柱的体积为.又正方体的体积为，所以该几何体的体积为.【答案】4012.（2019北京卷·理）已知，是平面外的两条不同直线．给出下列三个论断： ①； ②； ③． 以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：．【解析】已知，是平面外的两条不同直线，由①与②，不能推出③，因为l与可以平行，也可以相交但不垂直；由①与③能推出②；由②与③能推出①.故正确的命题是②③①或①③②.【答案】若，，则（答案不唯一）13.（2019北京卷·理）设函数（为常数）．若为奇函数，则；若是上的增函数，则的取值范围是．【解析】因为（为常数）的定义域为，所以，所以.而，由于是上的增函数，所以在上恒成立.又，所以，即a的取值范围是【答案】，14.（2019北京卷·理）李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为元/盒、元/盒、元/盒、元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到元，顾客就少付元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的． ①当时，顾客一次购买草莓和西瓜各盒，需要支付元； ②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则的最大值为．【解析】①顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，原价应为（元），超过了120元可以优惠，所以当时，顾客需要支付（元）.②由题知，当x确定后，顾客可以得到的优惠金额是固定的，所以顾客支付的金额越少，优惠的比例越大.而顾客想要得到优惠，最少要一次购买2盒草莓，此时顾客支付的金额为元，所以列出不等式，解得.即x的最大值为15.【答案】，三、解答题：本题共80分。15.（2019北京卷·理）在中，，，．（1）求，的值；（2）求的值．【解析】（1）由余弦定理，得．因为，所以．解得．所以．（2）由得．由正弦定理得．在中，是钝角，所以为锐角．所以．所以．16.（2019北京卷·理）如图，在四棱锥中，，，，，．为的中点，点在上，且． （1）求证：；（2）求二面角的余弦值；（3）设点在上，且．判断直线是否在平面内，说明理由．【解析】（1）因为，所以．又因为，所以．（2）过作的垂线交于点．因为，所以，．如图建立空间直角坐标系，则，，，，．因为为的中点，所以．所以，，．所以，．设平面的法向量为，则即令，则，．于是．又因为平面的法向量为，所以．由题知，二面角为锐角，所以其余弦值为．（3）直线在平面内．因为点在上，且，，所以，．由（Ⅱ）知，平面的法向量．所以．所以直线在平面内．17.（2019北京卷·理）改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月，两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了人，发现样本中，两种支付方式都不使用的有人，样本中仅使用和仅使用的学生的支付金额分布情况如下：大于2000仅使用A18人9人3人仅使用B10人14人1人（1）从全校学生中随机抽取人，估计该学生上个月，两种支付方式都使用的概率；（2）从样本仅使用和仅使用的学生中各随机抽取人，以表示这人中上个月支付金额大于元的人数，求的分布列和数学期望；（3）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用的学生中，随机抽查人，发现他们本月的支付金额都大于元．根据抽查结果，能否认为样本仅使用的学生中本月支付金额大于元的人数有变化?说明理由．【解析】（1）由题意知，样本中仅使用的学生有人，仅使用的学生有人，，两种支付方式都不使用的学生有人．故样本中，两种支付方式都使用的学生有人．所以从全校学生中随机抽取人，该学生上个月，两种支付方式都使用的概率估计为．（2）的所有可能值为，，．记事件为“从样本仅使用的学生中随机抽取人，该学生上个月的支付金额大于元”，事件为“从样本仅使用的学生中随机抽取人，该学生上个月的支付金额大于元”．由题设知，事件，相互独立，且，．所以，所以的分布列为0120.240.520.24 故的数学期望．（3）记事件为“从样本仅使用的学生中随机抽查人，他们本月的支付金额都大于元”．假设样本仅使用的学生中，本月支付金额大于元的人数没有变化，则由上个月的样本数据得．答案示例：可以认为有变化．理由如下：比较小，概率比较小的事件一般不容易发生．一旦发生，就有理由认为本月的支付金额大于元的人数发生了变化．所以可以认为有变化．答案示例：无法确定有没有变化．理由如下：事件是随机事件，比较小，一般不容易发生，但还是有可能发生的，所以无法确定有没有变化．18.（2019北京卷·理）已知抛物线：经过点．（1）求抛物线的方程及其准线方程；（2）设为原点，过抛物线的焦点作斜率不为的直线交抛物线于两点，，直线分别交直线，于点和点．求证：以为直径的圆经过轴上的两个定点．【解析】（1）由抛物线：经过点，得．所以抛物线的方程为，其准线方程为．（2）抛物线的焦点为．设直线的方程为．由得．设，，则．直线的方程为．令，得点的横坐标．同理得点的横坐标．设点，则，，令，即，则或．综上，以为直径的圆经过轴上的定点和．19.（2019北京卷·理）已知函数．（1）求曲线的斜率为的切线方程；（2）当时，求证：；（3）设，记在区间上的最大值为．当最小时，求的值．【解析】（1）由得．令，即，得或．又，，所以曲线的斜率为的切线方程是与，即与．（2）令，．由得．令得或．，的情况如表： .0 的最小值为，最大值为．故，即．（3）由（Ⅱ）知，当时，；当时，；当时，．综上，当最小时，．20.（2019北京卷·理）已知数列从中选取第项、第项、、第项（），若，则称新数列，，，为的长度为的递增子列．规定：数列的任意一项都是的长度为的递增子列．（1）写出数列，，，，，，的一个长度为的递增子列；（2）已知数列的长度为的递增子列的末项的最小值为，长度为的递增子列的末项的最小值为．若，求证：；（3）设无穷数列的各项均为正整数，且任意两项均不相等．若的长度为的递增子列末项的最小值为，且长度为末项为的递增子列恰有个（），求数列的通项公式．【解析】（1），，，．（答案不唯一）（2）设长度为末项为的一个递增子列为，，，，．由，得．因为的长度为的递增子列末项的最小值为，又，，，是的长度为的递增子列，所以．所以.（3）由题设知，所有正奇数都是中的项.先证明：若是中的项，则必排在之前（为正整数）．假设排在之后．设，，，，是数列的长度为