2021-2022学年九年级数学(人教版)专题04《一元二次方程因式分解法》重难点专练

专题04因式分解法重难点专练（原卷版）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．（2021·陕西九年级一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝10，P是CD边上一点，M、N、E分别是PA、PB、AB的中点，以下四种情况，哪一种四边形PMEN不可能为矩形（）A．AD＝3 B．AD＝4 C．AD＝5 D．AD＝62．（2021·温州绣山中学九年级二模）如图是清朝李演撰写的《九章算术细草图说》中的“勾股圆方图"，四边形ABCD，四边形EBGF，四边形HNQD均为正方形，BG，NQ，BC是某个直角三角形的三边，其中BC是斜边，若，则AB的长为（）A． B． C．3 D．3．（2021·山东烟台市·九年级其他模拟）关于x的一元二次方程的一个根是0，则的值是（）A．−3或1 B．1 C．−3 D．4．（2021·山东九年级一模）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，若为非负整数，且该方程的根都是整数，则的值为（）A．1 B．0 C．0或1 D．5．（2021·广东九年级一模）对于实数m，n，先定义一种新运算“⊗”如下：m⊗n＝，若x⊗（﹣2）＝10，则实数x等于（）A．3 B．﹣4 C．8 D．3或86．（2021·河南八年级期末）如图，正方形的边长为，点分别为边上的点，点分别为边上的点，连接，若线段与的夹角为，则的长为（）A． B． C． D．7．（2021·长沙麓山国际实验学校九年级其他模拟）对任意实数x，点一定不在（）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限8．（2020·浙江八年级期中）若关于x的方程kx2-（k+1）x+1=0的根是整数，则满足条件的整数k的个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个9．（2021·安徽合肥38中）如图，在矩形ABCD中，AB=14，BC=7，M、N分别为AB、CD的中点，P、Q均为CD边上的动点（点Q在点P左侧），点G为MN上一点，且PQ=NG=5，则当MP+GQ=13时，满足条件的点P有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个10．（2021·湖南九年级一模）方程的解是（）A．2或0 B．±2或0 C．2 D．－2或0二、填空题11．（2021·天津九年级一模）如图，在中，，，垂足为D，，垂足为E，F是边AC的中点，连接DF．若，，则BE的长为_____．12．（2021·山东九年级一模）已知m、n、4分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长，且m、n是关于x的一元二次方程的两个根，则k的值等于______________．13．（2021·内蒙古九年级二模）若a满足，则__________．14．（2021·山东九年级一模）将关于x的一元二次方程变形为，就可以将表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：，且x＞0，则的值为______．15．（2021·四川中考真题）如图都是由同样大小的小球按一定规律排列的，依照此规律排列下去，第___个图形共有210个小球．16．（2021·浙江中考真题）数学活动课上，小云和小王在讨论张老师出示的一道代数式求值问题：已知实数同时满足，求代数式的值．结合他们的对话，请解答下列问题：（1）当时，a的值是__________．（2）当时，代数式的值是__________．17．（2021·江苏九年级二模）若一组数据2，3，4，5，的方差是2，那么的值为____．18．（2021·安徽八年级期末）若x，y都是实数，且满足，则的值为____．19．（2021·北京八年级期末）为了满足不同顾客对保温时效的要求，保温杯生产厂家研发了甲、乙两款保温杯．现从甲、乙两款中各随机抽取了5个保温杯，测得保温时效（单位：h）如表：甲组1112131415乙组x6758如果甲、乙两款保温杯保温时效的方差是相等的，那么x＝___．20．（2021·辽宁沈阳市·九年级期末）方程x2﹣2x=0的解为_____________21．（2019·全国）若关于的方程有三个根，且这三个根恰好可以作为一个三角形的三条边的长，则的取值范围是________.22．（2019·上海市建虹高级中学七年级月考）已知：(x2+y2)(x2+y2-4)-12=0,则x2+y2的值为_____________.23．（【新东方】fbk2038数学）已知正整数满足：，则值为___________．24．（【新东方】义乌初中数学初二下【00019】）如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别在x轴、y轴上，线段、的长（）是关于x的方程的两个实数根，C是线段的中点．（1）求直线的解析式______；（2）若P是直线上的点，求平面内使O、A、P、Q为顶点的四边形是菱形的点Q坐标_____．25．（2021·天津红桥区·）如图，在平行四边形中，，，是锐角，于点E，F是的中点，连结．若，则的长为__________．26．（2021·山东青岛市·九年级一模）（问题提出）：将一个边长为n（n≥2）的菱形的四条边n等分，连接各边对应的等分点，则该菱形被剖分的网格中的平行四边形的个数和菱形个数分别是多少？（问题探究）：要研究上面的问题，我们不妨先从特例入手，进而找到一般规律．探究一：将一个边长为2的菱形的四条边分别2等分，连接各边对应的等分点，则该菱形被剖分的网格中的平行四边形的个数和菱形个数分别是多少？如图1，从上往下，共有2行，我们先研究平行四边形的个数：（1）第一行有斜边长为1，底长为1～2的平行四边形，共有2＋1＝3个；（2）第二行有斜边长为1，底长为1～2的平行四边形，共有2＋1＝3个；为了便于归纳分析，我们把平行四边形下面的底在第二行的所有平行四边形均算作第二行的平行四边形，以下各行类同第二行．因此底第二行还包括斜边长为2，底长为1～2的平行四边形，共有2＋1＝3个．即：第二行平行四边形共有2×3个．所以如图1，平行四边形共有2×3＋3＝9＝（2＋1）2．我们再研究菱形的个数：分析：边长为1的菱形共有22个，边长为2的菱形共有12个，所以：如图1，菱形共有22＋12＝5＝×2×3×5个．探究二：将一个边长为3的菱形的四条边分别3等分，连接各边对应的等分点，则该菱形被剖分的网格中的平行四边形的个数和菱形个数分别是多少？如图2，从上往下，共有3行，我们先研究平行四边形的个数：（1）第一行有斜边长为1，底长为1～3的平行四边形，共有3＋2＋1＝6个；（2）第二行有斜边长为1，底长为1～2的平行四边形，共有3＋2＋1＝6个；底在第二行还包括斜边长为2，底长为1～3的平行四边形，共有3＋2＋1＝6个，即：第二行平行四边形共有2×6个．（3）第三行有斜边长为1，底长为1～3的平行四边形，共有3＋2＋1＝6个；底在第三行还包括斜边长为2，底长为1～3的平行四边形，共有3＋2＋1＝6个．底在第三行还包括斜边长为3，底长为1～3的平行四边形，共有3＋2＋1＝6个，即：第三行平行四边形共有3×6个．所以如图2，平行四边形共有3×6＋2×6＋6＝（3＋2＋1）×6＝（3＋2＋1）2．我们再研究菱形的个数：分析：边长为1的菱形共有32个，边长为2的菱形共有22个，边长为3的菱形共有12个．所以：如图2，菱形共有32＋22＋12＝14＝×3×4×7个．探究三：将一个边长为4的菱形的四条边分别4等分，连接各边对应的等分点，则该菱形被剖分的网格中的平行四边形的个数和菱形个数分别是多少？如图3，从上往下，共有4行，我们先研究平行四边形的个数：（1）第一行有斜边长为1，底长为1～4的平行四边形，共有4＋3＋2＋1＝10个；（2）第二行有斜边长为1，底长为1～4的平行四边形，共有4＋3＋2＋1＝10个；底在第二行还包括斜边长为2，底长为1～4的平行四边形，共有4＋3＋2＋1＝10个，即：第二行平行四边形共有2×10个．（3）模仿上面的探究，第三行平行四边形总共有个．（4）按照上边的规律，第四行平行四边形总共有个．所以，如图3，平行四边形总共有个．我们再研究菱形的个数：分析：边长为1的菱形共有42个，边长为2的菱形共有32个，边长为3的菱形共有22个，边长为4的菱形共有12个．所以：如图3，菱形共有42＋32＋22＋12＝×个，（仿照前面的探究，写成三个整数相乘的形式）（问题解决）将一个边长为n（n≥2）的菱形的四条边n等分，连接各边对应的等分点，根据上边的规律，得出该菱形被剖分的网格中的平行四边形的个数是和菱形个数分别是×．（用含n的代数式表示）（问题应用）将一个边长为n（n≥2）的菱形的四条边n等分，连接各边对应的等分点，若得出该菱形被剖分的网格中的平行四边形的个数是441个，则n＝．（拓展延伸）将一个边长为n（n≥2）的菱形的四条边n等分，连接各边对应的等分点，当该菱形被剖分的网格中的平行四边形的个数与菱形个数之比是135∶19时，则n＝．27．（2021·珠海市紫荆中学桃园校区九年级一模）如图①，在矩形中，，对角线，相交于点O，动点P由点A出发，沿运动．设点P的运动路程为x，的面积为y，y与x的函数关系图象如图②所示，则边的长为________．28．（2021·浙江八年级期末）如图，在正方形中，，是对角线上的一点，连结，过点作交于点．和的面积分别为和，若，则的长为_____________．三、解答题29．解方程：（1）x2﹣7x﹣18＝0（2）（2x﹣3）2﹣2（2x﹣3）﹣3＝0．30．（2021·辽宁九年级一模）先化简，再求值：，其中a是方程x2＋2x﹣3＝0的一个根．31．（2021·北京九年级二模）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．（1）求的取值范围；（2）若该方程的两个根都是整数，写出一个符合条件的的值，并求此时方程的根．32．（2021·北京九年级二模）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根（1）求a的取值范围；（2）请你给出一个符合条件的a的值，并求出此时方程的解．33．（2021·广东九年级二模）若关于，的二元一次方程组的解，．（1）求的取值范围；（2）若是一个直角三角形的直角边长，是其斜边长，此三角形另一条直角边的长为方程的解，求这个直角三角形的面积．34．（2021·广东九年级二模）小明解关于的一元二次方程时，在解答过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是4和2．（1）求的值；（2）若菱形的对角线长是关于的一元二次方程的解，求菱形的面积．35．（2021·河南九年级一模）先化简，再求值，其中是方程的解．36．（2021·北京九年级二模）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）若k为满足条件的最大的整数，求此时方程的解．37．（2021·四川中考真题）已知关于x的一元二次方程．（1）求证：无论k取何值，方程都有两个不相等的实数根．（2）如果方程的两个实数根为，，且k与都为整数，求k所有可能的值．38．（2021·合肥市第四十二中学八年级期中）用适当方法解方程：．39．（2021·合肥市第四十二中学八年级期中）已知一元二次方程的正实数根也是一元二次方程的根，求k的值．40．（2021·内蒙古中考真题）先化简，再求值：，其中x满足．41．（2021·江苏九年级二模）（1）解方程：（2）解不等式组：，42．．43．用因式分解法解下列方程：（1）3（x+2）2＝2（x+2）；（2）（2x+3）2-25＝0．44．解方程45．解方程：x2+2x﹣=1．46．（2021·河北九年级二模）对有序数对规定运算：．例如，．（1）求的结果；（2）若，求的值．47．（2021·上海九年级其他模拟）解方程组：．48．（2021·浙江杭州市·九年级二模）（1）计算：|﹣2|+3﹣1；（2）解方程：x2﹣2x﹣15＝0．49．（2021·重庆八年级期末）如图1，一次函数的图象与轴、轴分别交于点、点，与正比例函数的图象交于点，将点向右平移1个单位，再向下平移6个单位得到点．（1）求的周长和点的坐标；（2）如图2，点是轴上一动点，当最小时，求点的坐标；（3）若点是轴上一动点，当为等腰三角形时，直接写出点的坐标．

50．（2021·广东惠州市·九年级二模）已知关于的一元二次方程．（）求证：方程总有两个实数根；（）记该方程的两个实数根为和若以，，为三边长的三角形是直角三角形，求的值．51．（2021·山东八年级期末）（1）因式分解：；（2）解方程：．52．（2021·浙江八年级期末）我们定义：有一组对边相等，另一组对边不相等的凸四边形叫做“单等对边四边形”．（1）如图1，在中，点E为上不与点A，B重合的一点，．求证：四边形为单等对边四边形；（2）如图2，在的网格中，顶点A、B、C均是格点，请在此网格内找格点D，使四边形为单等对边四边形，请你在网格中画出所有满足条件的点D；（3）如图3，在单等对边四边形中，，，，，若单等对边四边形内有一点P，使四边形为平行四边形，且与四边形的面积比为，求的面积．53．（2021·北京八年级期末）关于的一元二次方程有两个实数根．（1）求的取值范围；（2）若为正整数，求此时方程的根．54．（2021·上海八年级期末）为庆祝建党100周年，某中学组织八年级学生进行徒步活动，从学校出发，步行至离校千米的红色基地，返回时，由于步行速度比去时每小时少千米，结果时间比去时多用了半小时，求学生返回时步行的速度．55．（2021·上海八年级期末）2021年5月22日，“祝融号”火星车安全驶离着陆平台，到达火星表面，开始巡视探测工作．着陆点附近的火星表面照片显示，最佳探测路线有两条，西线地势平坦，行程米，东线地势稍有起伏，行程米，走西线比走东线多用小时，走西线的速度比走东线的速度每小时快米．同时，为了确保安全，火星车的速度要小于米/小时，问走东线、走西线的速度各是多少？56．（2021·浙江八年级期末）小明设计了一个魔术盒，当任意实数对（a，b）进入其中时，会得到一个新的实数a2＋2b﹣3．例如把（2，﹣5）放入共中，就会得到22＋2×（﹣5）﹣3＝﹣9．（1）若把实数对（﹣5，2）放入其中，得到的实数是多少？（2）若把实数对（m，﹣3m）放入其中，得到实数4，求m的值．（3）小明说，若把实数对（n，3n﹣1）放入其中，得到的实数可能小于﹣15．你认为小明的说法正确吗？为什么？57．（2021·上海八年级期末）闵行区政府为提高道路的绿化率，在道路两边进行植工程，计划第一期先栽种棵梧桐树.为了加快进度，绿化队在实际栽种时增加了植树人员，每天栽种的梧桐树比原计划多棵，结果提前天完成任务．求实际每天栽种多少棵梧桐树？58．（2021·重庆八年级期末）若关于x的一元二次方程（ax﹣b）（cx﹣d）＝0（ac≠0且a≠﹣1，c≠﹣1）的解x1＝＝a﹣b，x2＝＝c﹣d，则称该方程为二次“差解方程”．例如：（x﹣）（﹣3x+）＝0的解x1＝，x2＝，且＝1﹣，=﹣3﹣（﹣），所以该方程（x﹣）（﹣3x+）＝0是二次“差解方程”．根据上述材料，解决下列问题：（1）判断方程（2x﹣）（﹣4x﹣）＝0是否是二次“差解方程”，并说明理由；（2）若关于x的方程（3x﹣mn﹣m）（﹣2x﹣mn＋n）＝0是二次“差解方程”，求关于y的一元二次方程m（y﹣1）＋n（y﹣m）＝的解．59．（2021·北京八年级期末）解下列一元二次方程：（1）；（2）；（3）；（4）．60．（2021·浙江八年级期末）（1）计算；（2）解方程：．61．（2021·江苏八年级期末）（1）用配方法解一元二次方程除了课本的方法，也可以用下面的配方方式：将两边同时乘以并移项，得到，两边再同时加上，得．请用这样的方法解方程：；（2）华裔数学家罗博深在2019年提出了一种全新的一元二次方程解法，对于，将等式左边进行因式分解，得到以下形式：（从这里可以看出方程的解为，）即因为，所以、的平均数为，不妨设，，利用，得，所以，即能求出的值．举例如下：解一元二次方程，由于，所以方程的两个根为，而，解得，所以方程的解为，．请运用以上方法解如下方程①；②62．（2021·苏州市相城实验中学八年级月考）阅读题：一元二次方程（其中）的二根为和，请构造一个新的一元二次方程，使方程的二根适是原方程二根的3倍．数学老师张老师给出了一种方法是：设新方程的根是y，则，得代入原方程得变形得此方程即为所求，这种利用方程根的代换求方程的方法叫换根法．解答：（1）已知方程，求一个新方程使它的根分别是已知方程的相反数，所求方程为_________．（2）已知关于x的一元二次方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是原方程根的倒数．63．（2021·浙江八年级期末）解方程：（1）；（2）64．（2021·浙江八年级期末）用指定的方法解方程：（1）（x﹣4）2＝2（x﹣4）（因式分解法）；（2）2x2﹣4x﹣1＝0（公式法）．65．（2021·北京八年级期末）已知关于的方程．（）不解方程，判断方程根的情况，并说明理由；（）如果该方程有一个根大于，求的取值范围．66．（2021·安徽六安市·八年级期末）对于任意实数，方程总有一个根1．（1）求实数，；（2）当时，求方程的另一个根．67．（2018·全国九年级课时练习）解方程：6x4－35x3＋62x2－35x＋6＝0.68．（2018·全国九年级课时练习）解方程：(x－2013)(x－2014)＝2015×2016．69．（2019·重庆九年级期中）阅读下列材料计算：（1﹣﹣）×（+）﹣（1﹣﹣）（+），令+＝t，则：原式＝（1﹣t）（t+）﹣（1﹣t﹣）t＝t+﹣t2﹣+t2＝在上面的问题中，用一个字母代表式子中的某一部分，能达到简化计算的目的，这种思想方法叫做“换元法”，请用“换元法”解决下列问题：（1）计算：（1﹣﹣）×（+）﹣（1﹣﹣）×（+）（2）因式分解：（a2﹣5a+3）（a2﹣5a+7）+4（3）解方程：（x2+4x+1）（x2+4x+3）＝370．（2019·深圳市明德外语实验学校八年级期中）阅读下列材料：1637年笛卡儿(R．Descartes，1596−1650)在其《几何学》中，首次应用待定系数法将4次方程分解为两个2次方程求解，并最早给出因式分解定理．他认为，若一个高于二次的关于x的多项式能被()整除，则其一定可以分解为()与另外一个整式的乘积，而且令这个多项式的值为0时，x=a是关于x的这个方程的一个根．例如：多项式可以分解为()与另外一个整式M的乘积，即令时，可知x=1为该方程的一个根．关于笛卡尔的“待定系数法”原理，举例说明如下：分解因式：观察知，显然x=1时，原式=0，因此原式可分解为()与另一个整式的积．令：，则=，因等式两边x同次幂的系数相等，则有：，得，从而此时，不难发现x=1是方程的一个根．根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答以下问题：（1）若是多项式的因式，求a的值并将多项式分解因式；（2）若多项式含有因式及，求a+b的值．71．（2021·江苏省江阴市第一中学八年级月考）如图，矩形的顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点的坐标为（3，4），一次函数的图像与边OC、AB分别交于点D、E，并且满足，M是线段DE上的一个动点（1）求b的值；（2）连接OM，若的面积与四边形的面积之比为，求点M的坐标；（3）设N是x轴上方平面内的一点，以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形，求点N的坐标．72．（2020·上海上外附中九年级月考）解方程：73．（2021·全国九年级）已知，，为有理数，且多项式能够写成的形式．（1）求的值．（2）求的值．（3）若，，为整数，且，试求，，的值．74．（2021·扬州市江都区育才中学九年级期末）阅读下列材料：为解方程可将方程变形为然后设，则，原方程化为①，解①得，．当时，无意义，舍去；当时，，解得；∴原方程的解为，；上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题转化成简单的问题．利用以上学习到的方法解下列方程：（1）；（2）．75．（2021·河南平顶山市·九年级期末）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．（1）求的取值范围．（2）当取满足条件的最大整数时，求方程的根．76．（2021·黑龙江九年级零模）已知：直线y＝﹣x+12交x轴于点A，交y轴于点B，经过点A的直线y＝x+m交y轴于点C．（1）如图1，求点C的坐标；（2）如图2，点D为线段AB上的一点，点E在线段AC上，连接DE，延长DE交y轴于点F，且DE＝EF，设点D的横坐标为t，线段OF的长为d，求d与t之间的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）；（3）如图3，在（2）的条件下，过点A作AG⊥AC，AG交ED的延长线于点G，DE交OA于点H，若DG＝EH，求d的值．77．问题再现：数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来并且具有可操作性，从而可以帮助我们快速解题．初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释．例如：利用图形的几何意义推证完全平方公式．将一个边长为a的正方形的边长增加b，形成两个矩形和两个正方形，如图1，这个图形的面积可以表示成：（a＋b）2或a2＋2ab＋b2，∴（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2这就验证了两数和的完全平方公式．问题提出：如何利用图形几何意义的方法推证：13＋23＝32如图2，A表示1个1×1的正方形，即：1×1×1＝13，B表示1个2×2的正方形，C与D恰好可以拼成1个2×2的正方形，因此：B、C、D就可以表示2个2×