人教版高中数学必修第一册第二单元《一元一次函数-方程和不等式》测试(答案解析)

一、选择题1．现有以下结论：①函数的最小值是；②若、且，则；③的最小值是；④函数的最小值为.其中，正确的有（）个A． B． C． D．2．如果两个正方形的边长之和为，那么它们的面积之和的最小值是（）A． B． C． D．3．已知a>0，b>0，a+b=1，则下列等式可能成立的是（）A． B．C． D．4．若正数x，y满足，则的最大值为（）A．1 B． C． D．5．若正数a，b满足，则下列说法正确的是（）A．有最大值 B．有最小值C．有最小值 D．有最大值6．在区间上，不等式有解，则m的取值范围为（）A． B． C． D．7．已知函数，若对于任意，恒成立，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．8．对于实数，规定表示不大于的最大整数，那么不等式成立的的取值范围是（）A． B． C． D．9．已知，，，则的最小值为（）A．3 B．4 C．5 D．610．下列结论不正确的是（）A．若，，则 B．若，，则C．若，则 D．若，则11．已知，则的最小值为A．3 B．4 C．5 D．612．在中，角、、的对边分别为、、，已知且，则的最小值（）A． B．2 C． D．4二、填空题13．设m，，，，若“对于一切实数x，”是“对于一切实数x，”的充分条件，则实数m的取值范围是___________.14．正数a，b满足，若不等式对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围是_______．15．已知实数满足，若，则的最小值为__________．16．设，，则的最小值为_________.17．已知“命题”是“命题”成立的必要不充分条件，则实数的取值范围为________.18．若命题“对任意实数，且，不等式恒成立”为假命题，则的取值范围为_______.19．已知为正实数，且，则的最小值为___________.20．已知向量，向量满足，则的最小值为______.三、解答题21．在数学探究活动中，某兴趣小组合作制作一个工艺品，设计了如图所示的一个窗户，其中矩形的三边，，由长为8厘米的材料弯折而成，边的长为厘米（）；曲线是一段抛物线，在如图所示的平面直角坐标系中，其解析式为，记窗户的高（点到边的距离）为.（1）求函数的解析式；（2）要使得窗户的高最小，边应设计成多少厘米？（3）要使得窗户的高与长的比值达到最小，边应设计成多少厘米？22．解关于的不等式.23．已知．（Ⅰ）关于x的方程有且只有正根，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若对恒成立，求实数x的取值范围．24．已知正实数x，y满足．（1）求xy的最大值；（2）若不等式恒成立，求实数m的取值范围．25．已知正数满足.（Ⅰ）若，求的取值范围；（Ⅱ）求证：.26．解关于的不等式：.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【分析】取，可判断①的正误；利用基本不等式可判断②③④的正误.【详解】对于①，当时，，①错误；对于②，若，且，说明，，则，当且仅当时取等号，显然成立，②正确；对于③，，当且仅时取等号，即，显然这样的不存在，所以结论不正确，③错误；对于④，因为，所以，函数的最大值为，所以结论不正确，④错误.故选：B.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.2．B解析：B【分析】设两个正方形的边长分别为、，可得，利用基本不等式可求得两个正方形的面积之和的最小值.【详解】设两个正方形的边长分别为、，则，且，由基本不等式可得，所以，，所以，，当且仅当时，等号成立，因此，两个正方形的面积之和的最小值为.故选：B.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.3．D解析：D【分析】根据已知条件由可求出，又由完全平方公式可得，即可判断A、B；由已知条件可知，则，因此，可判断C；由平方差公式可得，与联立可求出满足条件的a、b，故D可能成立.【详解】，当且仅当时等号成立，又，，，则不可能成立；，当且仅当时等号成立，故不可能成立；，，，（由A可知），则不可能成立；，联立，解得，满足条件，D成立.故选：D4．D解析：D【分析】已知等式变形为，然后用“1”的代换求出的最小值即可得．【详解】∵x，y均为正数，，∴，∴，当且仅当，即时等号成立，∴，所求最大值为．故选：D．【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方5．B解析：B【分析】利用基本不等式分析的最值，注意取等条件的分析，由此得到结果.【详解】因为，所以，所以，取等号时，所以有最大值，所以A，C错误；又因为，取等号时，所以有最小值，所以B正确，D错误，故选：B.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.6．C解析：C【分析】令，对二次项系数分三种情况讨论，再对二次函数的对称轴分类讨论，分别求出参数的取值范围，最后取并集即可；【详解】解：令当时，原不等式为，解得，满足条件；当时，函数的对称轴为，要使不等式在区间有解，只需，即解得当时，函数的对称轴为，要使不等式在区间有解，当，即时，只需，即无解；当，即时，只需，即解得；当，即时，只需，即解得；综上可得故选：C【点睛】本题考查一元二次不等式的解，一元二次方程根的分布问题，解答的关键是对对称轴即二次项系数分类讨论，分别求出各种情况的参数的取值范围，最后取并集；7．B解析：B【分析】根据条件将问题转化为“在上恒成立”，再根据求解出的范围.【详解】因为对于任意，恒成立，所以对恒成立，所以，，又因为的对称轴为，所以在上单调递减，所以，所以，故选：B.【点睛】方法点睛：一元二次不等式在指定区间上恒成立求解参数范围问题的处理方法：（1）分类讨论法：根据参数的临界值作分类讨论；（2）分离参数法：将自变量和参数分离开来，自变量部分构造新函数，分析新函数的最值与参数的大小关系.8．A解析：A【分析】先由不等式得出的取值范围，再由的定义得出的取值范围.【详解】不等式即为，解得，则，因此，，故选A.【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，同时也考查了取整函数的定义，解题的关键要结合不等式得出的取值，考查计算能力，属于中等题.9．B解析：B【分析】由，，，所以，结合“1”的代换，结合基本不等式，即可求解.【详解】因为，，，所以，则，当且仅当且，即时取等号，故选：B.【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最值问题，其中解答合理构造基本不等式的条件“一正、二定、三相等”，结合“1”的代换技巧是解答的关键，着重考查推理与运算能力.10．B解析：B【分析】根据不等式的性质，对选项逐一分析，由此得出正确选项.【详解】对于A选项，不等式两边乘以一个正数，不等号不改变方程，故A正确.对于B选项，若，则，故B选项错误.对于C、D选项，不等式两边同时加上或者减去同一个数，不等号方向不改变，故C、D正确.综上所述，本小题选B.【点睛】本小题主要考查不等式的性质，考查特殊值法解选择题，属于基础题.11．C解析：C【分析】由，得，则，利用基本不等式，即可求解．【详解】由题意，因为，则，所以，当且仅当时，即时取等号，所以的最小值为5，故选C．【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用，其中解答中熟记基本不等式的使用条件，合理构造是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．12．A解析：A【分析】由已知条件和三角形的面积公式得，再根据基本不等式可得，令，，（），由此函数的单调性可得选项.【详解】由已知且，得，解得，所以，即，当且仅当时取等号，所以，令，，则（），而在单调递增，所以，所以的最小值为.故选：A.【点睛】本题考查三角形的面积公式，基本不等式的应用，以及运用函数的单调性求最值的问题，属于中档题.二、填空题13．【分析】先求出和恒成立时的范围然后根据充分条件的定义求解【详解】在上恒成立则解得在上恒成立首先都不可能恒成立因此解得∵对于一切实数x是对于一切实数x的充分条件∴解得故答案为：【点睛】思路点睛：本题考解析：【分析】先求出和恒成立时的范围，然后根据充分条件的定义求解．【详解】在上恒成立，则，解得，在上恒成立，首先都不可能恒成立，因此，解得，∵“对于一切实数x，”是“对于一切实数x，”的充分条件，∴，解得．故答案为：．【点睛】思路点睛：本题考查一元二次不等式恒成立问题，考查由充分条件求参数范围，一元二次不等式恒成立问题，注意讨论最高次项系数（若最高次项系数为0，则不等式不是二次不等式），充分条件与必要条件问题可以利用集合的包含关系进行求解．14．【分析】将不等式对任意实数x恒成立转化为利用基本不等式求出的最小值可得即求出的最大值即可【详解】解：不等式对任意实数x恒成立则又当且仅当即时等号成立又故答案为：【点睛】方法点睛：含参数的一元二次不等解析：【分析】将不等式对任意实数x恒成立转化为，利用基本不等式求出的最小值，可得，即，求出的最大值即可．【详解】解：不等式对任意实数x恒成立，则，又，当且仅当，即时等号成立，，，又，．故答案为：．【点睛】方法点睛：含参数的一元二次不等式在某区间内恒成立问题，常有两种处理方法：一是利用二次函数区间上的最值来处理；二是先分离出参数，再去求函数的最值来处理，一般后者比较简单．15．9【分析】应用基本不等式求得最小值【详解】∵若∴当且仅当时等号成立故答案为：9【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时要注意其必须满足的三个条件：（1）一正二定三相等一正就是各项必须为正数；（2）二解析：9【分析】应用基本不等式求得最小值．【详解】∵，若，∴．当且仅当时等号成立．故答案为：9．【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方16．4【分析】两次应用基本不等式验证等号能同时成立即得【详解】由题意当且仅当即时上述不等式中等号同时成立故答案为：4【点睛】本题考查了基本不等式求最值考查了运算求解能力逻辑推理能力在连续运用基本不等式求解析：4【分析】两次应用基本不等式，，，验证等号能同时成立即得．【详解】由题意，，当且仅当，即时上述不等式中等号同时成立．故答案为：4．【点睛】本题考查了基本不等式求最值，考查了运算求解能力，逻辑推理能力，在连续运用基本不等式求最值时，要注意等号能否同时成立．17．或【分析】设命题中的取值集合为命题中的取值集合为由题意可得可求的取值范围【详解】由不等式可得或记集合或解不等式得记集合命题是命题成立的必要不充分条件或即或故答案为：或【点睛】本题考查充分条件必要条件解析：或【分析】设命题中的取值集合为，命题中的取值集合为.由题意可得，可求的取值范围.【详解】由不等式，可得.或，记集合或.解不等式，得，记集合.命题是命题成立的必要不充分条件，，或，即或.故答案为：或.【点睛】本题考查充分条件、必要条件和解一元二次不等式，属于基础题.18．【分析】利用基本不等式求出的最小值可得不等式恒成立时的取值范围再取其补集即可【详解】若不等式对任意实数且恒成立则当且仅当且即时等号成立所以故命题为假命题时的取值范围为故答案为:【点睛】本题主要考查命解析：【分析】利用基本不等式求出的最小值，可得不等式恒成立时，的取值范围，再取其补集即可.【详解】若不等式对任意实数，且恒成立，则，当且仅当且，即，时等号成立.所以，故命题为假命题时，的取值范围为.故答案为:【点睛】本题主要考查命题的真假，基本不等式的应用，属于中档题.19．3【分析】利用已知条件结合1代换构造进而应用基本不等式求最值即可求的最小值；【详解】知：当且仅当等号成立∴即有故答案为：3【点睛】本题考查了利用基本不等式求最值根据已知条件构造基本不等式形式求最值然解析：3【分析】利用已知条件，结合“1”代换构造，进而应用基本不等式求最值，即可求的最小值；【详解】知：当且仅当等号成立，∴，即有，故答案为：3【点睛】本题考查了利