青岛青岛超银中学选修1-2第四章《数系的扩充与复数的引入》检测题(答案解析)

一、选择题1．已知复数（为虚数单位），则下列说法正确的是（）A．复数在复平面内对应的点落在第二象限 B．C．的虚部为1 D．2．已知复数为纯虚数（其中i为虚数单位），则实数（）A． B．3C． D．3．是虚数单位，若复数在复平面内对应的点在直线上，则的值等于（）A．5 B．3 C．-5 D．-34．设是虚数单位，则等于()A． B． C． D．5．下面是关于复数的四个命题，其中的真命题为（）;;的共轭复数为；的虚部为i.A．, B． C． D．6．已知i为虚数单位，a为实数，复数在复平面内对应的点为M，则“”是“点M在第四象限”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件7．复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限8．设为虚数单位，则复数的模（）．A． B． C． D．9．设，其中，是实数，则（）A． B． C． D．10．已知是实数，是纯虚数，则等于（）A． B． C． D．11．复数z，则|z|=()A．1 B．2 C． D．212．若是纯虚数，则（）A． B．-1 C． D．-7二、填空题13．已知复数满足方程，则的最小值为____________．14．下面四个命题：①是两个相等的实数，则是纯虚数；②任何两个负数不能比较大小；③，且，则；④两个共轭虚数的差为纯虚数.其中正确的序号为_________；15．为虚数单位，若复数是纯虚数，则实数_______.16．复数的虚部为__________．17．已知复数，且，则的最大值为__________．18．若复数满足，则的最小值______．19．设，若是关于的方程的一个虚根，则的取值范围是____.20．关于的方程的两个根，若，则实数__________．三、解答题21．已知复数，.（1）求及并比较大小；（2）设，满足条件的点的轨迹是什么图形？22．试问x(x∈R)（1）是实数？（2）是虚数？（3）是纯虚数？23．已知复数.（I）若，求复数；（II）若复数在复平面内对应的点位于第一象限，求的取值范围.24．已知复数（是虚数单位，），且为纯虚数（是的共轭复数）.（1）设复数，求；（2）设复数，且复数所对应的点在第四象限，求实数的取值范围.25．已知复数，（为虚数单位，）（1）若复数在复平面内对应的点位于第一、三象限的角平分线上，求实数的值；（2）当实数时，求的值.26．已知复数满足（为虚数单位）．（1）求复数，以及复数的实部与虚部；（2）求复数的模．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】根据复数乘除运算化简得，结合复数相关概念判定A，B，D错误，化简判定正确.【详解】解：，其对应的复平面点为位于第四象限，故A错误；，故B错误；，虚部为1，故C正确；，故D错误.故选：C.【点睛】复数乘除法运算技巧：（1）复数的乘法：复数乘法类似于多项式的乘法运算．（2）复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数．2．A解析：A【分析】化简复数的代数形式，根据复数为纯虚数，列出方程组，即可求解.【详解】由题意，复数，因为复数为纯虚数，可得，解得.故选：A.【点睛】本题主要考查了复数的除法运算，以及复数的分类及其应用，着重考查计算能力，属于基础题.3．C解析：C【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求出的值，然后找到其在复平面对应的点，代入到直线，即可求出的值．【详解】复数在复平面内对应的点的坐标为(-1,2),将其代入直线得，【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，以及复数的几何意义．4．B解析：B【分析】化简复数得到答案.【详解】故答案选B【点睛】本题考查了复数的计算，意在考查学生的计算能力.5．A解析：A【解析】【分析】利用复数的乘除运算化简复数z，再根据共轭复数、复数的虚部、复数模的计算公式求解即可得答案．【详解】∵z1+i，∴：|z|，：z2＝2i，：z的共轭复数为1-i，：z的虚部为1，∴真命题为p2，p3．故选A．【点睛】本题考查命题的真假的判断与应用，考查复数运算及复数的模、复数的虚部、共轭复数的概念，是基础题．6．A解析：A【解析】因为，则点M在第四象限时，满足2>a>-2,因此可知“”是“点在第四象限”的充分而不必要条件，选A7．D解析：D【分析】直接由复数的乘法运算化简，求出z对应点的坐标，则答案可求．【详解】复数.对应的点为，位于第四象限.故选D.【点睛】本题考查复数代数形式的乘法运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．8．B解析：B【解析】分析：根据复数模的定义求解.详解：，．故选．点睛：对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如.其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为9．D解析：D【解析】分析：首先应用复数代数形式的乘法运算法则，将求出来，之后应用复数相等的条件，得到所满足的等量关系式，求得的值，接着利用复数的模的计算公式求得结果.详解：因为是实数，所以，即，所以，则，故选D.点睛：该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数的乘法运算法则、复数相等的条件以及复数模的计算公式，属于简单题目.10．D解析：D【解析】分析：由题意结合复数的运算法则整理计算即可求得最终结果.详解：由题意可知：，为纯虚数，则：，据此可知.本题选择D选项.点睛：本题主要考查复数的运算法则及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11．A解析：A【解析】【分析】运用复数的除法运算法则,先计算出的表达式,然后再计算出.【详解】由题意复数z得,所以.故选【点睛】本题考查了运用复数的除法运算求出复数的表达式,并能求出复数的模,需要掌握其计算法则,较为基础.12．D解析：D【分析】根据复数为纯虚数得到，，故，展开计算得到答案.【详解】是纯虚数，则且，故，故选：【点睛】本题考查了复数的概念，和差公式，意在考查学生的综合应用能力和计算能力.二、填空题13．【分析】设复数根据复数的几何意义可知的轨迹为圆；再根据点和圆的位置关系及的几何意义即可求得点到圆上距离的最小值即为的最小值【详解】复数满足方程设（）则在复平面内轨迹是以为圆心以2为半径的圆；意义为圆解析：【分析】设复数根据复数的几何意义可知的轨迹为圆；再根据点和圆的位置关系，及的几何意义即可求得点到圆上距离的最小值，即为的最小值.【详解】复数满足方程，设（），则，在复平面内轨迹是以为圆心，以2为半径的圆；，意义为圆上的点到的距离，由点与圆的几何性质可知，的最小值为，故答案为：.【点睛】本题考查了复数几何意义的综合应用，点和圆的位置关系及距离最值的求法，属于中档题.14．④【分析】①采用特殊值法当都是零时来判断②通过负数也是实数来判断③采用特殊值法当时来判断④根据题意是两个共轭虚数则虚部不为零来判断【详解】当时则不是纯虚数故错误②因为负数是实数实数可以比较大小故错误解析：④【分析】①采用特殊值法，当都是零时来判断.②通过负数也是实数来判断.③采用特殊值法，当时来判断.④根据题意，是两个共轭虚数，则虚部不为零来判断.【详解】当时，则，不是纯虚数，故错误.②因为负数是实数，实数可以比较大小，故错误.③当时，符合，且，而不成立，故错误.④因为是两个共轭虚数，所以设，其共轭复数是，则所以是纯虚数，故正确.故答案为：④【点睛】本题主要考查了复数的概念，还考查了理解辨析的能力，属于中档题.15．-3【解析】分析：利用纯虚数的定义直接求解详解：∵复数是纯虚数解得故答案为-3点睛：本题考实数值的求法是基础题解题时要认真审题注意纯虚数的定义的合理运用解析：-3【解析】分析：利用纯虚数的定义直接求解．详解：∵复数是纯虚数，，解得．故答案为-3．点睛：本题考实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意纯虚数的定义的合理运用．16．【解析】分析：利用复数除法的运算法则化简复数为的形式即可得到复数虚部详解：则复数的虚部故答案为点睛：本题主要考查的是复数的乘法除法运算属于中档题解题时一定要注意和以及运算的准确性否则很容易出现错误解析：【解析】分析：利用复数除法的运算法则化简复数为的形式，即可得到复数虚部.详解：，则复数的虚部，故答案为.点睛：本题主要考查的是复数的乘法、除法运算，属于中档题．解题时一定要注意和以及运算的准确性，否则很容易出现错误.17．【分析】根据复数z的几何意义以及的几何意义由图象得出最大值【详解】复数且复数z的几何意义是复平面内以点为圆心为半径的圆的几何意义是圆上的点与坐标原点连线的斜率由图可知：即的最大值为故答案为：【点睛】解析：【分析】根据复数z的几何意义以及的几何意义，由图象得出最大值.【详解】复数且，复数z的几何意义是复平面内以点为圆心，为半径的圆.的几何意义是圆上的点与坐标原点连线的斜率由图可知：即的最大值为.故答案为：【点睛】本题主要考查了复数的几何意义的应用，属于中档题.18．【分析】设复数由可得即将转化为和到抛物线动点距离和根据抛物线性质即可求得最小值【详解】设复数即整理得:是以焦点为的抛物线化简为:转化为和到抛物线动点距离和如图由过作垂线交抛物线准线于点交抛物线于点根解析：【分析】设复数,由可得,即.将转化为和到抛物线动点距离和,根据抛物线性质即可求得最小值.【详解】设复数即整理得:是以焦点为的抛物线.化简为:转化为和到抛物线动点距离和.如图.由过作垂线,交抛物线准线于点.交抛物线于点根据抛物线定义可知,,根据点到直线,垂线段最短,可得:的最小值为:.故答案为:.【点睛】本题考查与复数相关的点的轨迹问题,解本题的关键在于确定出复数对应的点的轨迹,利用数形结合思想求解,考查分析问题的和解决问题的能力.19．【解析】【分析】设z=a+bi(ab∈R)则也是此方程的一个虚根由方程有虚根可知判别式为负数据此可求出m的范围再利用根与系数的关系可得从而求出结果【详解】设z=a+bi(ab∈R)则也是此方程的一个解析：【解析】【分析】设z=a+bi，(a,b∈R)，则也是此方程的一个虚根，由方程有虚根可知，判别式为负数，据此可求出m的范围，再利用根与系数的关系可得，从而求出结果.【详解】设z=a+bi，(a,b∈R)，则也是此方程的一个虚根，z是关于x的方程x2+mx+m2−1=0的一个虚根，可得，即，则由根与系数的关系，，则，所以的取值范围是：.故答案为.【点睛】本题考查实系数多项式虚根成对定理，以及复数的模的求解，属中档题.20．【解析】分析：根据所给的方程当判别式不小于0时和小于0时用求根公式表示出两个根的差根据差的绝对值的值做出字母p的值详解：当即或由求根公式得得当即由求根公式得|得综上所述或故答案为点睛：本题考查一元二解析：【解析】分析：根据所给的方程，当判别式不小于0时和小于0时，用求根公式表示出两个根的差，根据差的绝对值的值做出字母p的值．详解：当，即或，由求根公式得，得当，即，由求根公式得|得综上所述，或．故答案为．点睛：本题考查一元二次方程根与系数的关系，本题解题的关键是对于判别式与0的关系的讨论，方程有实根和没有实根时，两个根的表示形式不同，本题是一个易错题．三、解答题21．(1)=2,=1,(2)以为圆心，以1和2为半径的两圆之间的圆环（包含圆周）【分析】（1）利用复数的模的计算公式求出、即可解答.（2）根据的几何意义及（1）中所求的模、可知的轨迹.【详解】解：（1），，∴.（2）由及（1）知.因为的几何意义就是复数对应的点到原点的距离，所以表示所表示的圆外部所有点组成的集合，表示所表示的圆内部所有点组成的集合，故符合题设条件点的集合是以为圆心，以1和2为半径的两圆之间的圆环（包含圆周），如图所示．【点睛】本题考查复数的模及其几何意义，属于基础题.22．（1）x=1或x=-2（2）x≠1且x≠-2（3）x=-1【解析】分析：⑴由定义可知当x2⑵由虚数定义可知x2⑶满足条件x2+3x+2=0详解：（1）由条件x2+x-2=0，解得x=1（2）由条件x2+x-2≠0，解得x≠1（3）由条件x2+3x+2=0点睛：本题考查了在复数域内实数、虚数、纯虚数的概念来求值，只要掌握概念即可得到满足题意得算式，求出结果．23．（1）；（2）.【解析】试题分析：(1)由题意计算可得,若，则，.(2)结合(1)的计算结果得到关于实数a的不等式，求解不等式可得的取值范围为.试题（1）,若，则，∴，∴.（2）若在复平面内对应的点位于第一象限，则且，解得，即的取值范围为.24．（I）；（Ⅱ）.【详解】分析：根据复数的概念及其分类，求解．（1）求得，再根据复数的模的计算公式，即可求解；（2）由（1）可求得，根据复数对应的点位于第一象限，列出方程组，即可求解实数的取值范围．详解：∵z=1+mi，∴．∴又∵为纯虚数，∴，解得m=﹣3．∴z=1﹣3i．（Ⅰ），∴；（Ⅱ）∵z=1﹣3i，∴．又∵复数z2所对应的点在第1象限，∴，．∴．点睛：复数代数形式的加减乘除运算的法则是进行复数运算的理论依据,加减运算类似于多项式的合并同类项,乘法法则类似于多项式乘法法则，除法运算则