柯西-施瓦兹不等式探讨数学毕业论文

PAGE3安庆师范学院数学与计算科学学院2010届毕业论文第11页共11页柯西——施瓦兹不等式探讨摘要：柯西—施瓦兹不等式是一个非常重要的不等式，灵活巧妙的应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。本文在证明不等式，解三角形相关问题，应用方面给出几个例子。近年来，许多学者在不同条件下提出柯西—施瓦兹不等式多种表现形式，并且对其性质及应用做了广泛而深入的研究，本文在已有的文献基础上，总结出了柯西—施瓦兹不等式4种表现形式及其在数学中的应用。本文的结论是对柯西—施瓦兹不等式理论的进一步深化，也是对现有文献中相应结论进行改善。关键词：柯西—施瓦兹不等式证明应用引言：柯西—施瓦兹不等式是一个非常重要的不等式，在证明不等式、解三角形相关问题、数学分析中都有重要应用，本文在已有的文献基础上，总结了柯西—施瓦兹不等式4种表现形式，并且给出其一些应用性的例子。柯西（Cauchy）不等式在代数学中的表现形式等号当且仅当或时成立（k为常数，）现将它的证明介绍如下：证明1：（判别式法），关于小的二次三项式保持非负，故判别式，当且仅当即时等号成立证明2数学归纳法（1）当时左式=右式=显然左式=右式当时，右式右式仅当即即时等号成立故时不等式成立（2）假设时，不等式成立即当，k为常数，或时等号成立设则当，k为常数，或时等号成立即时不等式成立综合（1）（2）可知不等式成立；证明3（配方法）因故柯西不等式获证。等号当且仅当成立。柯西不等式在几何中表现形式柯西不等式的代数形式十分简单，但却非常重要。数学当中没有巧遇，凡是重要的结果都应该有一个解释，一旦掌握了它，就使这个结果变得不言而喻了。而一个代数结果最简单的解释，通常驻要借助于几何背景。现在就对柯西不等式的二维、三维情况做出几何解释。（1）二维形式如图，可知线段，及的长度分别由下面的式子给出：表示与的夹角。由余弦定理，我们有将，，的值代入，化简得到而，故有于是这就是柯西不等式的二维形式。我们可以看到当且仅当，即当且仅当是零或平角，亦即当且仅当在同一条直线上是时等号成立。在这种情形，斜率之间必定存在一个等式；换句话说，除非，我们们总有.（2）三维形式对于三维情形，设是不同于原点的两个点，则与之间的夹角的余弦有又由，得到柯西不等式的三维形式：当且仅当三点共线时，等号成立；此时只要这里的都不是零，就有柯西不等式的推广前面的柯西不等式都是限制在实数范围内的，在复数范围内同样也有柯西不等式成立。定理：若和是两个复数序列，则有，当且仅当数列和成比例时等式成立。证明：设是复数，有恒等式若（其中），则有由此推出了复数形式的柯西不等式。除此之外，我们还可以知道一些与柯西不等式相关的结论。定理1：若和是实数列，且，则当时，这个不等式即为柯西不等式。定理2：若和是正数序列，且或，则这个不等式实际上是Holder不等式的推论。 对于柯西不等式，除了这种数列形式之外，还存在积分形式的柯西不等式即施瓦兹不等式。柯西不等式在分析中的表现形式即施瓦兹不等式定理：设和是在上的实可积函数，则当且仅当和是线性相关函数时等式成立。证明1：对任意实数,有即即证明2：将n等分，令，应用柯西不等式，令取极限，即证得。证明3：这就证明了施瓦兹不等式。由此可看出，如果连续，等号当且仅当存在（不全为零）使得时成立。柯西不等式形式在概率中表现形式定理：对任意随机变量和都有.等式成立当且仅当.这里是一个常数。证明：对任意实数，定义；显然对一切，，因此二次方程或者没有实数根或者有一个重根，所以，.此外，方程有一个重根存在的充要条件是.这时.因此，.有了这个结论，对于解决一些复杂的概率题时会有所帮助。证明不等式例1已知正数满足证明证明：利用柯西不等式又因为在此不等式两边同乘以2，再加上得：故解三角形的相关问题例2设是内的一点，是到三边的距离，是外接圆的半径，证明证明：由柯西不等式得，记为的面积，则故不等式成立。3）用柯西不等式解释样本线性相关系数在《概率论与数理统计》〉一书中，在线性回归中，有样本相关系数，并指出且越接近于1，相关程度越大，越接近于0，则相关程度越小。现在可用柯西不等式解释样本线性相关系数。现记，，则，，由柯西不等式有，当时，此时，，为常数。点均在直线上，当时，即而为常数。此时，此时，，为常数点均在直线附近，所以越接近于1，相关程度越大当时，不具备上述特征，从而，找不到合适的常数，使得点都在直线附近。所以，越接近于0，则相关程度越小。4）应用Schwarz不等式，可证明另外一些不等式。使用时要注意恰当的选取函数与。已知，在上连续，为任意实数，求证：证明：式左端第一项使用Schwarz不等式同理（3）式即得式5)设在上有连续导函数，，试证：证明：令则由知因此（应用Schwarz不等式）6)假设函数在闭区间上连续阶导数，并且求证：这里，假如在上有连续的导数，则必有应用Schwarz公式两边同时积分（应用分部积分法）两边同时开方，便得欲证明的式回到一般情况，令反复应用刚刚证明的式（1）次。便可得欲证明不等式结束语本文利用代数学、集合学、分析学、概率论中的一些基本理论与技巧给出了柯西—施瓦兹不等式4种表现形式及其证明应用。本文的结果对深入研究柯西—施瓦兹不等式的性质及在代数学几、何学中具有十分重要的作用。参考书目[1]吕林根的解析几何[ M]，北京，高等教育出版社.2001[2]程其襄的实变函数与泛函分析[M]，北京，高等教育出版社.2003[3]北京大学，高等代数[M]，北京，高等教育出版社.2005[4]华东师范大学，数学分析[M]，北京，高等教育出版社.2005[5]茆诗松的概率论与数理统计[M]北京，高等教育出版社.2004[6]戴朝寿，数理统计简明教程[M]北京，高等教育出版社.2004[7]Lsaschs.Appliedstatistics1984TheprobeofCauchy—SchwarzinequalityAuthor:ZhangDaohuangSupervisor:TangYanyuAbstract:Cauchy—Schwarz-inequalityisveryimportantinequation,flexibleingeniousapplicationcanmakesomecomparativelydifficultproblemseasilysolved.Thistextprovidesseveralexamplesinprovingofinequalityandsolvingoftrianglerelevantproblemsandsoon.Inrecentyears,manyscholarsputforwardmanyformsofCauchy-Schwarzinequalityindifferentconditions,andmakeextensiveandin-depthresearchabouttheirproperitesandapplieations.ThepaperbasesontheexistingliteratureandsummarizesfourkindsofformsofCauchy—Schwarz-inequalityandtheirapplicationsinmathematica.TheconclusionsofthispaperfutherdeepenthetheoryofCauchy—Schwarz-inequality,butalsoimprovethecorrespondingconclusionsoftheexistingliterature.Keyword：Cauchy—Schwarz-inequalityproveapplication基于C8051F单片机直流电动机反馈控制系统的设计与研究基于单片机的嵌入式Web服务器的研究MOTOROLA单片机MC68HC（8）05PV8/A内嵌EEPROM的工艺和制程方法及对良率的影响研究基于模糊控制的电阻钎焊单片机温度控制系统的研制基于MCS-51系列单片机的通用控制模块的研究基于单片机实现的供暖系统最佳启停自校正（STR）调节器单片机控制的二级倒立摆系统的研究基于增强型51系列单片机的TCP/IP协议栈的实现基于单片机的蓄电池自动监测系统基于32位嵌入式单片机系统的图像采集与处理技术的研究基于单片机的作物营养诊断专家系统的研究基于单片机的交流伺服电机运动控制系统研究与开发基于单片机的泵管内壁硬度测试仪的研制基于单片机的自动找平控制系统研究基于C8051F040单片机的嵌入式系统开发基于单片机的液压动力系统状态监测仪开发模糊Smith智能控制方法的研究及其单片机实现一种基于单片机的轴快流CO〈,2〉激光器的手持控制面板的研制基于双单片机冲床数控系统的研究基于CYGNAL单片机的在线间歇式浊度仪的研制基于单片机的喷油泵试验台控制器的研制基于单片机的软起动器的研究和设计基于单片机控制的高速快走丝电火花线切割机床短循环走丝方式研究基于单片机的机电产品控制系统开发基于PIC单片机的智能手机充电器基于单片机的实时内核设计及其应用研究基于单片机的远程抄表系统的设计与研究基于单片机的烟气二氧化硫浓度检测仪的研制基于微型光谱仪的单片机系统单片机系统软件构件开发的技术研究基于单片机的液体点滴速度自动检测仪的研制基于单片机系统的多功能温度测量仪的研制基于PIC单片机的电能采集终端的设计和应用基于单片机的光纤光栅解调仪的研制气压式线性摩擦焊机单片机控制系统的研制基于单片机的数字磁通门传感器基于单片机的旋转变压器-数字转换器的研究基于单片机的光纤Bragg光栅解调系统的研究单片机控制的便携式多功能乳腺治疗仪的研制基于C8051F020单片机的多生理信号检测仪基于单片机的电机运动控制系统设计Pico专用单片机核的可测性设计研究基于MCS-51单片机的热量计基于双单片机的智能遥测微型气象站MCS-51单片机构建机器人的实践研究基于单片机的轮轨力检测基于单片机的GPS定位仪的研究与实现基于单片机的电液伺服控制系统用于单片机系统的MMC卡文件系统研制基于单片机的时控和计数系统性能优化的研究基于单片机和CPLD的粗光栅位移测量系统研究单片机控制的后备式方波UPS提升高职学生单片机应用能力的探究基于单片机控制的自动低频减载装置研究基于单片机控制的水下焊接电源的研究基于单片机的多通道数据采集系统基于uPSD3234单片机的氚表面污染测量仪的研制基于单片机的红外测油仪的研究96系列单片机仿真器研究与设计基于单片机的单晶金刚石刀具刃磨设备的数控改造基于单片机的温度智能控制系统的设计与实现基于MSP430单片机的电梯门机控制器的研制基于单片机的气体测漏仪的研究基于三菱M16C/6N系列单片机的CAN/USB协议转换器基于单片机和DSP的变压器油色谱在线监测技术研究基于单片机的膛壁温度报警系统设计基于AVR单片机的低压无功补偿控制器的设计基于单片机船舶电力推进电机监测系统基于单片机网络的振动信号的采集系统基于单片机的大容量数据存储技术的应用研究基于单片机的叠图机研究与教学方法实践基于单片机嵌入式Web服务器技术的研究及实现基于AT89S52单片机的通用数据采集系统基于单片机的多道脉冲幅度分析仪研究机器人旋转电弧传感角焊缝跟踪单片机控制系统基于单片机的控制系统在PLC虚拟教学实验中的应用研究基于单片机系统的网络通信研究与应用基于PIC16F877单片机的莫尔斯码自动译码系统设计与研究基于单片机的模糊控制器在工业电阻炉上的应用研究基于双单片机冲床数控系统的研究与开发基于Cygnal单片机的μC/OS-Ⅱ的研究基于单片机的一体化智能差示扫描量热仪系统研究基于TCP/IP协议的单片机与Internet互联的研究与实现变频调速液压电梯单片机控制器的研究基于单片机γ-免疫计数器自动换样功能的研究与实现基于单片机的倒立摆控制系统设计与实现单片机嵌入式以太网防盗报警系统基于51单片机的嵌入式Internet系统的设计与实现单片机监测系统在挤压机上的应用MSP430单片机在智能水表系统上的研究与应用基于单片机的嵌入式系统中TCP/IP协议栈的实现与应用单片机在高楼恒压供水系统中的应用基于ATmega16单片机的流量控制器的开发基于MSP430单片机的远程抄表系统及智能网络水表的设计基于MSP430单片机具有数据存储与回放功能的嵌入式电子血压计的设计基于单片机的氨分解率检测系统的研究与开发锅炉的单片机控制系统基于单片机控制的电磁振动式播种控制系统的设计基于单片机技术的WDR-01型聚氨酯导热系数测