湖南省长沙麓山国际实验学校2024年高三二诊模拟考试数学试卷含解析

湖南省长沙麓山国际实验学校2024年高三二诊模拟考试数学试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设，，则“”是“”的A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题；“三百七十八里关，初行健步不为难，次后脚痛递减半，六朝才得到其关，要见每朝行里数，请公仔细算相还.”其意思为：“有一个人走了378里路，第一天健步走行，从第二天起脚痛每天走的路程是前一天的一半，走了6天后到达目的地，求该人每天走的路程.”由这个描述请算出这人第四天走的路程为（）A．6里 B．12里 C．24里 D．48里3．某几何体的三视图如图所示，若侧视图和俯视图均是边长为的等边三角形，则该几何体的体积为A． B． C． D．4．在我国传统文化“五行”中，有“金、木、水、火、土”五个物质类别，在五者之间，有一种“相生”的关系，具体是：金生水、水生木、木生火、火生土、土生金.从五行中任取两个，这二者具有相生关系的概率是（）A．0.2 B．0.5 C．0.4 D．0.85．已知向量，，且与的夹角为，则x=（）A．-2 B．2 C．1 D．-16．已知双曲线的左、右焦点分别为，过作一条直线与双曲线右支交于两点，坐标原点为，若，则该双曲线的离心率为（）A． B． C． D．7．把函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若函数是偶函数，则实数的最小值是（）A． B． C． D．8．设函数，当时，，则（）A． B． C．1 D．9．的展开式中，含项的系数为（）A． B． C． D．10．设i为数单位，为z的共轭复数，若，则（）A． B． C． D．11．已知椭圆：的左，右焦点分别为，，过的直线交椭圆于，两点，若，且的三边长，，成等差数列，则的离心率为（）A． B． C． D．12．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A． B． C． D．84二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．在中，内角所对的边分别是.若，，则__，面积的最大值为___.14．已知，则________.(填“>”或“=”或“<”).15．曲线在处的切线方程是_________．16．已知抛物线的对称轴与准线的交点为，直线与交于，两点，若，则实数__________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图,在平面直角坐标系中,以轴正半轴为始边的锐角的终边与单位圆交于点,且点的纵坐标是．（1）求的值:（2）若以轴正半轴为始边的钝角的终边与单位圆交于点,且点的横坐标为,求的值．18．（12分）心形线是由一个圆上的一个定点，当该圆在绕着与其相切且半径相同的另外一个圆周上滚动时，这个定点的轨迹，因其形状像心形而得名，在极坐标系中，方程（）表示的曲线就是一条心形线，如图，以极轴所在的直线为轴，极点为坐标原点的直角坐标系中.已知曲线的参数方程为（为参数）.（1）求曲线的极坐标方程；（2）若曲线与相交于、、三点，求线段的长.19．（12分）已知函数的最大值为2.（Ⅰ）求函数在上的单调递减区间；（Ⅱ）中,,角所对的边分别是，且，求的面积．20．（12分）已知关于的不等式解集为（）.（1）求正数的值；（2）设，且，求证：.21．（12分）某商场为改进服务质量，随机抽取了200名进场购物的顾客进行问卷调查．调查后，就顾客“购物体验”的满意度统计如下：满意不满意男4040女8040（1）是否有97.5%的把握认为顾客购物体验的满意度与性别有关？（2）为答谢顾客，该商场对某款价格为100元/件的商品开展促销活动．据统计，在此期间顾客购买该商品的支付情况如下：支付方式现金支付购物卡支付APP支付频率10%30%60%优惠方式按9折支付按8折支付其中有1/3的顾客按4折支付，1/2的顾客按6折支付，1/6的顾客按8折支付将上述频率作为相应事件发生的概率，记某顾客购买一件该促销商品所支付的金额为，求的分布列和数学期望．附表及公式：．0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82822．（10分）已知函数.（1）求不等式的解集；（2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】

根据对数的运算分别从充分性和必要性去证明即可.【详解】若，，则，可得；若，可得，无法得到，所以“”是“”的充分而不必要条件.所以本题答案为A.【点睛】本题考查充要条件的定义，判断充要条件的方法是：①若为真命题且为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若为假命题且为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若为真命题且为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若为假命题且为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件.⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系.2、C【解析】

设第一天走里，则是以为首项，以为公比的等比数列，由题意得，求出（里，由此能求出该人第四天走的路程．【详解】设第一天走里，则是以为首项，以为公比的等比数列，由题意得：，解得（里，（里．故选：C．【点睛】本题考查等比数列的某一项的求法，考查等比数列等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题．3、C【解析】

由三视图可知，该几何体是三棱锥，底面是边长为的等边三角形，三棱锥的高为，所以该几何体的体积，故选C．4、B【解析】

利用列举法，结合古典概型概率计算公式，计算出所求概率.【详解】从五行中任取两个，所有可能的方法为：金木、金水、金火、金土、木水、木火、木土、水火、水土、火土，共种，其中由相生关系的有金水、木水、木火、火土、金土，共种，所以所求的概率为.故选：B【点睛】本小题主要考查古典概型的计算，属于基础题.5、B【解析】

由题意，代入解方程即可得解.【详解】由题意，所以，且，解得.故选：B.【点睛】本题考查了利用向量的数量积求向量的夹角，属于基础题.6、B【解析】

由题可知，，再结合双曲线第一定义，可得，对有，即，解得，再对，由勾股定理可得，化简即可求解【详解】如图，因为，所以.因为所以.在中，，即，得，则.在中，由得.故选：B【点睛】本题考查双曲线的离心率求法，几何性质的应用，属于中档题7、A【解析】

先求出的解析式，再求出的解析式，根据三角函数图象的对称性可求实数满足的等式，从而可求其最小值.【详解】的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数解析式为，故.令，，解得，.因为为偶函数，故直线为其图象的对称轴，令，，故，，因为，故，当时，.故选：A.【点睛】本题考查三角函数的图象变换以及三角函数的图象性质，注意平移变换是对自变量做加减，比如把的图象向右平移1个单位后，得到的图象对应的解析式为，另外，如果为正弦型函数图象的对称轴，则有，本题属于中档题．8、A【解析】

由降幂公式，两角和的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后由正弦函数性质求得参数值．【详解】，时，，，∴，由题意，∴．故选：A．【点睛】本题考查二倍角公式，考查两角和的正弦公式，考查正弦函数性质，掌握正弦函数性质是解题关键．9、B【解析】

在二项展开式的通项公式中，令的幂指数等于，求出的值，即可求得含项的系数．【详解】的展开式通项为，令，得，可得含项的系数为.故选：B.【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．10、A【解析】

由复数的除法求出，然后计算．【详解】，∴．故选：A.【点睛】本题考查复数的乘除法运算，考查共轭复数的概念，掌握复数的运算法则是解题关键．11、C【解析】

根据等差数列的性质设出，，，利用勾股定理列方程，结合椭圆的定义，求得.再利用勾股定理建立的关系式，化简后求得离心率.【详解】由已知，，成等差数列，设，，.由于，据勾股定理有，即，化简得；由椭圆定义知的周长为，有，所以，所以；在直角中，由勾股定理，，∴离心率.故选：C【点睛】本小题主要考查椭圆离心率的求法，考查椭圆的定义，考查等差数列的性质，属于中档题.12、B【解析】

画出几何体的直观图，计算表面积得到答案.【详解】该几何体的直观图如图所示：故.故选：.【点睛】本题考查了根据三视图求表面积，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、1【解析】

由正弦定理，结合，，可求出；由三角形面积公式以及角A的范围,即可求出面积的最大值.【详解】因为，所以由正弦定理可得，所以;所以，当，即时，三角形面积最大.故答案为(1).1(2).【点睛】本题主要考查解三角形的问题，熟记正弦定理以及三角形面积公式即可求解，属于基础题型.14、【解析】

注意到，故只需比较与1的大小即可.【详解】由已知，，故有.又由，故有.故答案为：.【点睛】本题考查对数式比较大小，涉及到换底公式的应用，考查学生的数学运算能力，是一道中档题.15、【解析】

利用导数的运算法则求出导函数，再利用导数的几何意义即可求解.【详解】求导得，所以，所以切线方程为故答案为：【点睛】本题考查了基本初等函数的导数、导数的运算法则以及导数的几何意义，属于基础题.16、【解析】

由于直线过抛物线的焦点，因此过，分别作的准线的垂线，垂足分别为，，由抛物线的定义及平行线性质可得，从而再由抛物线定义可求得直线倾斜角的余弦，再求得正切即为直线斜率．注意对称性，问题应该有两解．【详解】直线过抛物线的焦点，，过，分别作的准线的垂线，垂足分别为，，由抛物线的定义知，．因为，所以．因为，所以，从而．设直线的倾斜角为，不妨设，如图，则，，同理，则，解得，，由对称性还有满足题意．，综上，．【点睛】本题考查抛物线的性质，考查抛物线的焦点弦问题，掌握抛物线的定义，把抛物线上点到焦点距离与它到距离联系起来是解题关键．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解析】

（1）依题意,任意角的三角函数的定义可知,,进而求出．在利用余弦的和差公式即可求出.（2）根据钝角的终边与单位圆交于点,且点的横坐标是,得出,进而得出,利用正弦的和差公式即可求出,结合为锐角,为钝角,即可得出的值.【详解】解：因为锐角的终边与单位圆交于点,点的纵坐标是,所以由任意角的三角函数的定义可知,．从而．（1）于是．（2）因为钝角的终边与单位圆交于点,且点的横坐标是,所以,从而．于是．因为为锐角,为钝角,所以从而．【点睛】本题本题考查正弦函数余弦函数的定义,考查正弦余弦的两角和差公式,是基础题.18、（1）（）；（2）.【解析】

（1）化简得到直线方程为，再利用极坐标公式计算得到答案.（2）联立方程计算得到，，计算得到答案.【详解】（1）由消得，即，是过原点且倾斜角为的直线，∴的极坐标方程为（）.（2）由得，∴，由得∴，∴.【点睛】本题考查了参数方程，极坐标方程，意在考查学生的计算能力和应用能力.19、（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】

(1)由题意，f(x)的最大值为所以而m>0，于是m=，f(x)=2sin(x+).由正弦函数的单调性可得x满足即所以f(x)在［0,π］上的单调递减区间为(2)设△ABC的外接圆半径为R，由题意，得化简得sinA+sinB=2sinAsinB.由正弦定理，得①由余弦定理，得a2+b2-ab=9，即(a+b)2-3ab-9=0②将①式代入②，得2(ab)2-3ab-9=0，解得ab=3或(舍去)，故20、（1）1；（2）证明见解析.【解析】

（1）将不等式化为，求解得出，根据解集确定正数的值；（2）利用基本不等式以及不等式的性质，得出，，，三式相加，即可得证.【详解】（1）解：不等式，即不等式∴，而，于是依题意得（2）证明：由（1）知，原不等式可化为∵，∴，同理，三式相加得，当且仅当时取等号综上.【点睛】本题主要考查了求绝对值不等式中参数的范围以及基本不等式的应用，属于中档题.21、（1）有97.5%的把握认为顾客购物体验的满意度与性别有关；（2）67元，见解析.【解析】

（1）根据表格数据代入公式，结合临界值即得解；（2）的可能取值为40，60，80，1，根据题意依次计算概率，列出分布列，求数学期望即可.【详解】（1）由题得，所以，有97.5%的把握认为顾客购物体验的满意度与性别有关.（2）由题意可知的可能取值为40，60，80，1．，，，．则的分布列为4060801所以，（元）．【点睛】本题考查了统计和概率综合，考查了列联表，随机变量的分布列和数学期望等知识点，考查了学生数据处理，综合