固体物理4章-晶体缺陷-市公开课一等奖省赛课获奖

第四章晶体缺陷本章主要内容：1、教学内容：

点缺点、面缺点、体缺点产生及扩散。2、基本要求：

掌握点缺点；位错；面缺点与体缺点；缺点扩散等。第1页第四章晶体缺点

完美晶体——组成晶体全部原子或离子都排列在晶格中，没有晶格空位，也没有间隙原子或离子。其特征：1、晶格中原子或离子都是化学分子式中原子或离子，没有外来杂质；2、晶体原子之比符合化学计量比。实际晶体：与理想晶体有一些差异。如（现象）：1、处于晶体表面原子或离子与体内差异；2、晶体在形成时，常因一些部位同时成核生长，结果形成不是单晶而是许多细小晶粒按不规则排列组合起来多晶体；3、在外界原因作用下，原子或离子脱离平衡位置（如点缺点）和杂质原子引入等。第2页实际晶体1有三个点缺点规则堆积阵2点和线缺点3被缺点界面分开畴界没有孪晶4位错群5相界第3页

晶体缺点存在，破坏了完美晶体有序性，引发晶体内能U和熵S增加。按缺点在空间几何构型可将缺点分为：

点缺点——缺点延伸范围是零维

线缺点——一维

面缺点——二维

体缺点——三维每一类缺点都会对晶体性能产生很大影响，比如：点缺点——影响晶体电学、光学和机械性能；线缺点——严重影响晶体强度、电性能等。第4页

点缺点是晶体中以空位、间隙原子、杂质原子为中心，在一个或几个原子尺寸范围微观区域内，晶格结构偏离严格周期性而形成畸变区域。它是由晶体热振动而产生。点缺点是晶体中最简单、最常见或者说一定存在缺点形式。

点缺点：在三维空间各方向上尺寸都很小，是在原子尺寸大小晶体缺点。§4-1点缺点第5页空位——在晶格结点位置应有原子地方空缺，这种缺点称为“空位”。间隙原子——在晶格非结点位置，往往是晶格间隙，出现了多出原子。它们可能是同类原子，也可能是异类原子。异类原子——在一个类型原子组成晶格中，不一样种类原子替换原有原子占有其应有位置。一、点缺点类型和形成能（一）点缺点类型第6页（1）肖脱基（Schottky）缺点

特征：晶体中存在着晶格空位。形成原因：这种空位是晶体内部格点上原子或离子经过接力运动移到表面格点位置后在晶体内所留下空位，如图4-1b。定义：只形成空位不形成间隙原子（组成新晶面）晶体空位称为肖脱基缺点。（二）点缺点形成和形成能注意：1、负离子不能到间隙2、要求局部电中性第7页

（2）费伦克尔（Frenkel）缺点

特征：原子离开平衡位置进入间隙，形成等量空位和间隙原子。形成原因：假如晶体内部格点上原子或离子移到晶格间隙位置形成间隙原子，同时在原来格点位置上留下空位，于是晶体中将存在等浓度晶格空位和填隙原子，如图a。

定义：将空位-间隙原子对称为费仑克尔缺点。

（3）间隙原子缺点(或称反肖脱基缺点

)

特征：它是晶体表面格点原子运动到晶体间隙位置，如图c。形成填隙缺点需要更大能量，除小半径杂质原子外，普通不易单独形成此种缺点。

小结：形成填隙原子时，原子挤入间隙位置所需要能量比产生肖特基空位所需能量大，所以当温度不太高时，肖特基缺点数目要比弗仑克尔缺点数目大得多。第8页点缺点类型示意图(a)Frenkel缺点；(b)Schottky缺点；(c)反Schottky缺点

第9页（4）空位形成能定义：

空位形成能是在晶体内格点上取出一个原子放到晶体表面所需要能量。讨论：（a）结合能越大，熔点越高，则空位形成能越大。（b）普通化合物晶体中点缺点是空位，因为形成间隙原子所需能量比形成空位高。（c）普通共价半径大原子含有较大空位形成能。第10页（三）点缺点表示Kroger-Vink（1960年前后）提出了一套描写点缺点记号，并发展了应用质量作用定律等来处理晶格缺点间关系缺点化学。以MO（氧化物）为例：空位（Vacancy）VM，VO间隙原子（Interstitial）Mi，Oi错位原子MO，OM溶质原子（外来原子）LM，Li自由电子及电子空穴e,，h·带电荷缺点VM,,，VO··缺点方程三标准：质量守恒,电荷平衡,正负离子格点成百分比增减。如：肖特基缺点生成：0→VM,,+VO··弗仑克尔缺点生成：0→VM,,+Mi··第11页

定义：色心是一个非化学计量比引发空位缺点。特征：该空位能够吸收可见光使原来透明晶体出现颜色，因而称它们为色心,最简单色心是F心(来自德语”Farbe”,颜色)。

F心：是离子晶体中一个负离子空位束缚一个电子组成点缺点。

形成过程：是碱卤晶体在对应过量碱金属蒸汽中加热，比如：NaCl晶体在Na蒸汽中加热后呈黄色；KCl晶体在K蒸汽中加热后呈紫色；LiF在Li蒸汽中加热后呈粉红色。二、色心第12页

V心：与F心相正确色心，又称空穴色心。是离子晶体负电中心束缚一个带正电“空穴”所组成点缺点。

形成过程：当碱卤晶体在过量卤素蒸汽中加热后，因为大量卤素进入晶体，为保持电中性，在晶体中出现了正离子空位,形成负电中心。这种负电中心能够束缚一个带正电“空穴”所组成体系称为V心。

V心和F心在结构上是碱卤晶体中两种最简单缺点。在有色心存在晶体中，A、B两种元素百分比已偏离严格化学计量比。所以色心也是一个非化学计量引发缺点。F心着色原理：在于加热过程中过量碱金属原子进入晶体占据碱金属格点位置。晶体为保持电中性，会产生对应数目标负离子空位。同时，处于格点碱金属原子被电离，失去电子被带正电负离子空位所束缚，从而在空位附近形成F心，如图4-3，F心能够看成是束缚在负离子空位处一个“电子陷阱”。第13页

实际晶体中存在一些微量杂质。杂质起源：

首先是晶体生长过程中引入，如O、N、C等，这些是实际晶体不可防止杂质缺点，只能控制相对含量大小；

另首先是有目标地向晶体中掺入一些微量杂质，比如在单晶硅中掺入微量B、Pb、Ga、In、P、As等能够使晶体导电性能发生很大改变。

当晶体存在杂质原子时，晶体内能会增加，因为少许杂质能够分布在数量很大格点或间隙位置上，使晶体组态熵（混合熵）改变也很大。所以温度T下，杂质原子存在也可能使自由能降低。(△F＝△U-T△S)三、杂质原子第14页

当杂质原子取代基质原子占据规则格点位置时，形成替位式杂质，如图a；若杂质原子占据间隙位置，形成间隙式杂质，如图b。第15页

对一定晶体，杂质原子是形成替位式杂质还是间隙式杂质，主要取决于杂质原子与基质原子几何尺寸相对大小及其电负性。（1）杂质原子比基质原子小得多时，形成间隙式杂质。因为替位式杂质占据格点位置后，会引发周围晶格畸变，畸变区域普通不大，畸变引发内能增加也不大；若杂质占据间隙位置，因为间隙空间有限，由此引发畸变区域比替位式大，因而使晶体内能增加较大。

所以只有半径较小杂质原子才能进入敞开型结构间隙位置中。比如：金属晶体结构密堆积形式决定了间隙空间有限，这类晶体只有象H、C这么小原子才能进入间隙位置。许多金属氧化物晶体中，只有象Li+这么杂质离子才能形成间隙缺点。即使这么，间隙杂质也还会引发显著晶格结构畸变。这种畸变以及基质原子和杂质原子之间化学差异，通常会影响杂质原子溶解度。

讨论：第16页

（2）替位式杂质在晶体中溶解度也决定于原子几何尺寸和化学原因。

假如杂质和基质含有相近原子尺寸和电负性，能够有较大溶解度。但也只有在二者化学性质相近情况下，才能得到高固溶度。

（3）元素半导体、氧化物及化合物半导体晶体中替位式杂质，通常引发并存电子缺点，从而显著改变材料导电性。

比如：Si晶体中含有五价P时，因为金刚石结构四面体键仅需4个电子，所以每个P多了一个电子；假如Si晶体中含有三价In原子时，因为共价键中缺乏一个电子而形成电子空位即空穴。

这种掺杂Si晶体都因杂质原子存在而是电导率有很大提升。第17页P多一个电子In少一个电子-电子空位施主杂质（n型杂质）受主杂质（p型杂质）补充：半导体中杂质和缺点能级Ⅳ族元素半导体中杂质主要是替位式杂质。第18页（1）施主杂质和施主能级ED——电子型半导体禁带宽度导带底价带顶第19页（2）受主杂质和受主能级EA——空穴型半导体第20页杂质赔偿——施主和受主在导电性能上抵消注：施主杂质若与受主杂质浓度相当——不能提供载流子——杂质高度赔偿——材料电学性能差，不能使用第21页四、点缺点对材料性能影响

结构畸变：不论那种点缺点存在，都会使其附近原子稍微偏离原结点位置才能平衡，即造成小区域晶格畸变。点缺点对材料性能影响：（1）提升材料电阻——定向流动电子在点缺点处受到非平衡力(陷阱)，增加了阻力，局部加速运动提升了局部温度(发烧)。

（2）加紧原子扩散迁移——空位可作为原子运动周转站。

（3）形成其它晶体缺点——过饱和空位可集中形成内部空洞，集中一片塌陷形成位错。

（4）改变材料力学性能——空位移动到位错处可造成刃位错攀移，间隙原子和异类原子存在会增加位错运动阻力。会使强度提升，塑性下降。第22页

线缺点——晶体内部偏离周期性点阵结构一维缺点。晶体中最主要一个线缺点是位错。位错在晶体范性与强度、断裂、相变以及其它结构敏感性问题中起着主要作用。

位错——在三维空间一个方向上尺寸很大(晶粒数量级)，另外两个方向上尺寸很小(原子尺寸大小)晶体缺点。

一、位错基本类型位错是晶体结构中一个缺点，也能够说是原子排列一个特殊组态。位错最简单、最基本类型是“刃位错”和“螺位错”。§4-2线缺点——位错（Dislocation）第23页刃位错(棱位错）

将晶体上半部分向右移动一个原子间距，再按原子结合方式连接起来(见b图)。除分界限附近一管形区域例外，其它部分基本都是完好晶体。在分界限上方将多出半个原子面（HEFG），这就是刃型位错。第24页螺位错

若将晶体上半部分向后移动一个原子间距，再按原子结合方式连接起来，一样除分界限附近一管形区域例外，其它部分基本也都是完好晶体。而在分界限区域形成一螺旋面，这就是螺型位错。第25页位错线特征：1、是滑移区与未滑移区分界限；2、位错线附近原子排列失去周期性；3、位错线附近原子受应力作用强，能量高；4、位错不是热运动结果；5、位错线几何形状可能很复杂，可能在体内形成闭合线，可能在晶体表面露头，不可能在体内中止。第26页

刃型位错特点是位错线垂直于滑移矢量b；

螺型位错特点是位错线平行于滑移矢量b。

滑移矢量b又称为伯格斯（Burgers）矢量（简称伯氏矢量），它模等于滑移方向上平衡原子间距，它方向代表滑移方向。

位错特点：第27页柏氏矢量确实定方法：

确定方法：

首先在原子排列基本正常区域作一个包含位错回路，也称为柏氏回路，这个回路包含了位错发生畸变。然后将一样大小回路置于理想晶体中，回路当然不可能封闭，需要一个额外矢量连接才能封闭，这个矢量就称为该位错柏氏(Burgers)矢量。第28页柏氏矢量与位错类型关系：

刃型位错

柏氏矢量与位错线相互垂直。(依方向关系可分正刃和负刃型位错)螺型位错

柏氏矢量与位错线相互平行。(依方向关系可分左螺和右螺型位错)

混合位错

柏氏矢量与位错线夹角非0或90度。柏氏矢量守恒：①同一位错柏氏矢量与柏氏回路大小和走向无关。②位错不可能终止于晶体内部，只能到表面、晶界和其它位错，在位错网交汇点，必定第29页混合型位错——位错线与滑移矢量既不平行又不垂直，如右图。

E处——位错线与滑移矢量平行，是纯螺型位错，

F处——位错线与滑移矢量垂直，是纯刃型位错。

其余——位错线与滑移矢量既不平行又不垂直，属混合型位错。

混合位错原子排列介于刃型位错和螺型位错之间，能够分解为刃型位错和螺型位错。第30页二、位错运动晶体中位错在有条件时总是要从高能位置转移到低能位置而发生运动。1.位错滑移

在图4-12中，对含有刃型位错晶体加平行于伯氏矢量切应力τ，位错线周围原子只要移动很小距离，位错线便从位置A移动到位置A’。假如应力继续作用，位错线将继续向右运动，直至移出晶体所在表面形成台阶。显然，位错运动只需逐排克服原子间结协力，因而使位错滑移所需要临界切应力小得多，靠近于实际测量值。滑移面：过位错线并和柏氏矢量平行平面(晶面)是该位错滑移面。位错面第31页

即使位错滑移一个原子间距时每个原子只移动很小距离，但在位错扫过区域积累起靠近于b相对位移。当位错到达晶体表面后，整个晶体滑移面移动一个伯氏矢量，在晶体表面产生高度为b台阶，如图4-13。若有n个伯氏矢量相同位错扫过，会在晶体表面产生nb高台阶，形成显微镜下能够看到滑移线。可见，位错滑移运动造成了晶体范性形变，宏观观察到滑移面即是晶体中位错滑移面，滑移方向即是位错伯氏矢量方向。第32页攀移——刃型位错在垂直于滑移方向上运动。实质——是多出半晶面伸长或缩短；是空位或间隙原子

扩散过程。

在图中，当位错刃部空位扩散离开多出半原子面（实际是格点原子或间隙原子扩散到位错线附近）时，多出半晶面伸长，位错向下攀移，称为负攀移；反之，若空位扩散到位错线附近，半原子面缩短，位错向上攀移，称为正攀移。2.位错攀移负攀移多出半晶面位错线第33页讨论：（a）使位错发生攀移运动力为攀移力，它包含两部分：化学攀移力——不平衡空位浓度施给错位攀移驱动力；弹性攀移力——垂直于多出半晶面，刃位错受到力。（b）螺位错伯氏矢量平行于位错线，没有多出半晶面，因而螺位错没有攀移运动。（c）因为位错线和柏氏矢量平行，所以螺型位错能够有多个滑移面，螺型位错不论在那个方向移动都是滑移。（d）晶体两部分相对移动量决定于柏氏矢量大小和方向，与位错线移动方向无关。

第34页三、位错观察现象：位错在晶体表面露头抛光后试样在侵蚀时，易侵蚀而出现侵蚀坑。特点：是坑为规则多边型，且排列有一定规律。前提：只能在晶粒较大，位错较少时才有显著效果。

薄膜透射电镜观察将试样减薄到几十到数百个原子层(500nm以下)，利用透射电镜进行观察，可见到位错线。

第35页（1）位错是热力学上不稳定线缺点，而且含有一定宽度。（2）半径比主晶格原子大替位杂质倾向于在伸长变形区聚焦，而半径较小则倾向于在压缩变形区聚焦。可见位错线类似于一根高能“管道”，它是晶体内空位“源”和“漏”。（3）位错向下攀移形成空位源，它向体内释放空位；位错向上攀移形成空位漏，它将聚集体内空位。晶体在升降温过程中，体内平衡空位数或其它缺点浓度改变也是经过位错攀移运动来实现。（4）在这根高能管道内及其附近，因为晶格畸变有较大应力集中，在晶体内形成应力场，位错线附近原子能量高于正常格点上原子能量，所以管道内及其附近原子轻易被杂质原子替换，形成复杂电荷中心，且易被腐蚀。（5）对于共价晶体，正常格点位置上原子与近邻原子形成饱和共价键，而在位错线上原子共价键是不饱和，即存在所谓“悬挂键”。悬挂键能够经过向晶体释放电子或从晶体中接收电子对晶体电学性质产生影响。四.位错与晶体性质关系第36页

定义：面缺点为晶体内偏离周期性点阵结构二维缺点，主要有层错、小角晶界、晶粒间界、相界等。体缺点为晶体内部偏离周期性点阵结构三维缺点，主要有包裹体、空洞、夹杂物，第二相团等。一、层错

层错是在密排晶体中原子面堆垛次序出现反常所造成面缺点。前面讨论晶体密堆积方式时得到：（1）fcc晶体在平行于{111}面原子排列次序是ABCABCABC……。（2）hcp晶体在平行于（0001）面原子排列次序是ABABAB……。§4-3面缺点与体缺点第37页

若由力学原因（如变形）或热力学原因（加热或冷却）使堆垛次序发生局部改变，形成以下几个新结构：（1）外层错：插入一密排层，形成ABCAB(A)CABC……。（2）内层错：抽去一密排层，形成ABCABCBCABC……。（3）孪生：对称密排层，形成ABCABCABCACBACBA……排列。第38页

这些堆错了新结构，相当于在面心立方晶体中形成了薄层hcp（六角密堆）晶体，也称为堆垛层错。这些层错对晶体影响，仅在于层错面两侧晶体结构，对应于理想情况作了一个特定非点阵相对平移，这种平移在密堆积结构中并不改变原子最近邻关系，只产生次近邻错排，而且几乎不产生畸变，所以是一个低能量面缺点。除密堆积结构外，其它类型晶体也可能出现层错，如：金刚石结构和闪锌矿结构{111}面在外延生长过程中，将会出现层错（P124，图4-15，Si晶体层错）。

第39页二、固体从蒸汽、溶液或熔体中结晶出来时，只有在一定条件下，比如有籽晶存在时，才能形成单晶，而大多数固体属于多晶体。多晶是由许多小晶粒组成。这些小晶粒本身能够近似看作单晶，且在多晶体内做杂乱排列。多晶体中晶粒与晶粒交界区域称为晶粒间界，它就是空间取向(或位向)不一样相邻晶粒之间分界面。二、晶粒间界（或称晶界）第40页

晶粒间界试验结构模型：（见124页图4-17）

（1）晶界区含有不属于任何晶粒原子A；（2）含有同属于两个晶粒原子D；（3）含有晶格受压缩区域B；（4）含有晶格疏松区域C；（5）有晶格基本不变区域D。

晶界上原子都处于畸变状态，含有较高能量，而且含有非晶态特征：（1）杂质原子倾向于在晶界上偏聚和析出；（2）化学腐蚀或蚀刻现象也首先在晶界上发生；（3）原子也较轻易沿着结构较疏松晶粒间界扩散，而且在间界内轻易产生新固相。

晶界对材料力学性质影响：（1）对共价键陶瓷，畸变了晶界点阵排列使晶界能较高，造成剪切开裂，常出现沿晶界断裂。（2）对离子键陶瓷，往往含有穿晶为主断裂特征，晶界有妨碍裂纹扩散作用。第41页

（1）当取向差小于10˚时，晶界称为小角晶界；最简单小角晶界是对称倾斜晶界

。右图是简单立方结构晶体中界面为（100）面倾斜晶界，相当于一系列平行、伯氏矢量在[100]方向上刃型位错线。（2）当取向大于10˚时晶界称为大角度晶界。（3）实际多晶材料普通都是大角度晶界，但晶粒内部亚晶界则是小角晶界。晶界结构和性质与相邻晶粒取向差相关：（4）相邻位错间距离D与倾角θ和伯氏矢量模b关系：试验：用XRD可测定取向夹角θ，用金相蚀坑法测定位错露头间距。b第42页1、小角度晶界

特征：（1）晶界两侧晶粒位向差很小，可看成是一系列刃位错排列成墙。（2）晶界中位错排列愈密，则位向差愈大。

（3）小角晶界含有阻止原子扩散作用。

试验表明：沿着垂直于一个小角晶界中位错扩散，要比平行于位错扩散慢多。而且经过晶界扩散，能控制晶体中一些沉淀反应速率。第43页2、大角度晶界

特征：

晶界两侧晶粒位向差较大，不能用位错模型。关于大角度晶界结构说法不一，晶界可视为2～3(5)个原子过渡层，这部分原子排列尽管有其规律，但排列复杂，暂以相对无序来了解。第44页三、相界面1、相：在物理化学中已经有了明确解释。它是指成份相同、(晶体)结构相同、有界面和其它部分分开物质均匀组成部分。2、相界面：两种不一样相分界面。液体表面是液相和气相分界面；晶体表面是晶体和气相(或液相)分界面；两个不一样固相之间分界面也是相界面，在我们课程中主要是指后者。3、相界面主要特征：相界面结构和晶界有一定共性，也有一些显著差异。（1）非共格界面类似大角度晶界，（2）完全共格是困难，共格面两边微少差异能够用晶格畸变来调整，界面两边差异不十分大时，将能够补充一定位错来协调，组成半共格界面。不论那种情况，界面都存在自己界面能，都将对材料结构形貌(组织)带来显著影响。第45页4、界面能

定义：晶界面上原子相对正常晶体内部原子而言，均处于较高能量状态，其能量差即为界面能。界面能与结构关系：

第46页5.晶界与杂质原子相互作用（不要求）在材料研究中，发觉少许杂质或合金元素在晶体内部分布也是不均匀，它们常偏聚于晶界，称这种现象为晶界内吸附。产生原因可参见位错与点缺点作用，普通杂质原子与晶体尺寸或性质差异愈大，这种偏聚愈严重。杂质原子在晶界偏聚对晶体性能产生主要影响，详细影响可参考材料性能部分文件。

第47页

包裹体是晶体生长过程中界面所捕捉夹杂物。它是一个严重影响晶体性质体缺点。

产生原因：1、可能是晶体原料中某一过量组分形成固体颗粒，2、也可能是晶体生产过程中坩埚材料带入杂质微粒。

对材料性质影响：

1、如造成光散射，或吸收强光引发发烧从而影响晶体强度。

2、因为包裹体热膨胀系数普通与晶体不一样，在单晶体生长冷却过程中会产生体内应力，造成大量位错形成。四、体缺点第48页晶体中原子扩散实质：

晶体中扩散是原子在晶体中布朗运动。这种过程是随机，但若存在浓度梯度，这种过程是定向，其结果是造成原子从高浓度向低浓度定向扩散流动。晶体许多性质及物理现象都与扩散过程相关。

晶体中扩散类型：一类是外来杂质原子在晶体中扩散，称为杂质原子扩散；一类是基质原子在基体中扩散，成为自扩散。

扩散前提条件：扩散是经过点缺点运动来实现，所以晶体中点缺点存在是实现扩散前提条件。

§4-4晶体中扩散第49页一、扩散宏观定律

1.费克（Fick）方程

试验：

材料：两块不一样材料，

条件：（1）适当退火温度；（2）退火时间足够长。

现象：因为扩散，晶体内部便会发生物质流动，结果造成浓度梯度降低，变成成份均匀材料，物质净流也就停顿。第50页

扩散能够分为稳态和非稳态（考虑时间原因）。在稳态扩散中，扩散流通量J是不随时间改变；在非稳态扩散中，扩散流通量J是随时间改变。

试验表明：假如晶体中某种扩散原子浓度为C(x,y,z,t)，则在稳态扩散中，扩散流通量J正比于扩散原子浓度梯度

，这个关系称为费克第一定律，数学表示式为:

式中：负号表示扩散原子是从高浓度区域向低浓度区域扩散；

D称为扩散系数，其值与材料性质及温度亲密相关；

C是体积浓度，即单位体积中扩散原子重量或扩散原子个数。

J是扩散流通量，单位是[kg/m2·s]或[个/m2·s]。（4－25）扩散方程推导：第51页在一维情况下，考虑两个垂直x轴、相距dx单位面。经过平面1通流量为经过平面2通流量为（4－1）稳态扩散模型：第52页

两式相减，并除以dx得到：

是在单位时间内、第一平面和第二平面之间单位体积内扩散物质总量改变，由扩散连续性，它等于这两个平面间浓度改变率负值，于是有

（4－2）（4-26）第53页

上式便是在一维情况下费克第二定律。假如该式中扩散系数D与向x无关，费克第二定律又可表示为：

（4-27）考虑三维空间扩散，在各向异性介质中，假如三个方向扩散系数不一样，则上式能够写成：

（4-28）第54页

（4-26）式也可作以下推导：由连续性方程（设D是常数，即与位置、浓度无关）

一维情况下第55页2.费克方程解

仅讨论在一维情况下，且D与C无关时，稳态和非稳态两种解。（1）稳态扩散

假如样品一边保持比较高气压，而另一边气压比较低，经过足够长时间后，扩散能够到达稳定状态，即单位时间内，从高压方向进入样品气体量等于从低压方向离开量，并不随时间改变。第56页这时扩散进入样品内部各点气体浓度也将和时间无关，即式（4-27）费克第二定律中并得到

（4-30）

假如厚度为d晶体薄片与x轴垂直,边界条件成为：

x＝0处，C=C0;

x＝d处，C=Cd;第57页且，解（4-30）式得到（4-31）这便是在稳态情况下晶体薄片中任意点处浓度。

（2）非稳态扩散：常采取两种边界条件。

（a）恒定源扩散

含有一定数量原子Q，由晶体表面向内部扩散，在t=0时有：

x=0，C0=Q

x0，C(x)=0第58页当t>0

时，由晶体表面扩散到内部原子总数为Q，即。在此边界条件下解式（4-27）得（4-32）（b）恒定表面浓度扩散在扩散过程中，晶体表面扩散原子浓度C0

保持不变，其边界条件能够表示成

J据此边界条件，解式（4-27）得0x第59页

式中是积分变量，假如令，得（4-10）其中：式中：称为余误差函数(又称高斯误差函数），它在扩散、热传导等问题中惯用到。（4-33）第60页余误差函数表Zerf(Z)Zerf(Z)001.20.91030.10.11251.50.96610.50.52052.00.99531.00.84272.40.9993由表可知，当时，C(x,t)=C0(1-0.5205)≈0.5C0

第61页由能够预计原子平均迁移距离数量级。假如对固体掺入某种扩散元素，那么

就