常微分方程第三版

第一章绪论

常微分方程是现代数学的一个重要分支，是人们解决各种实际问题的有效工具，它在几何、力学、物理、电子技术、航空航天、生命科学、经济领域等都有广泛的应用。

微分方程差不多是和微积分同时先后产生的，1676年詹姆士·贝努力致牛顿的信中第一次提出微分方程。微分方程建立后，立即成为研究，了解和知晓现实世界的重要工具。1846年，数学家和天文学家合作，通过求解微分方程发现了一颗有名的新星——海王星。1991年，科学家在阿尔卑斯山发现一个肌肉丰满的冰人，据躯体所含碳原子消失的程度，通过求解微分方程，推断这个冰人大约遇难于5000年以前，类似的实例还有很多。在微分方程发展的史中，数学家牛顿，莱布尼茨，雅各布·贝努利、欧拉、拉格朗日等等都做出了卓越的贡献。一、什么是微分方程？

方程对于学过中学数学的人来说是比较熟悉的；在初等数学中就有各种各样的方程，比如线性方程、二次方程、高次方程、指数方程、对数方程、三角方程和方程组等等。这些方程都是要把研究的问题中的已知数和未知数之间的关系找出来，列出包含一个未知数或几个未知数的一个或者多个方程式，然后取求方程的解。

在实际工作中，常常出现一些特点和以上方程完全不同的问题。比如：某个物体在重力作用下自由下落，要寻求下落距离随时间变化的规律；火箭在发动机推动下在空间飞行，要寻求它飞行的轨道等，研究这些问题所建立的数学方程不仅与未知函数有关，而且与未知函数的导数有关，这就是我们要研究的微分方程。

解这类问题的基本思想和初等数学解方程的基本思想很相似，也是要把研究的问题中已知函数和未知函数之间的关系找出来，从列出的包含未知函数及其导数的一个或几个方程中去求得未知函数的表达式——即求解微分方程。二、微分方程的研究内容1、利用初等函数或初等函数的积分形式来导出微分方程的通解，常微分方程的解包括通解和特解。能用初等积分求通解的是非常少的，因此，人们转而研究特解的存在性问题。2、利用数学分析或非线性分析理论来研究微分方程解的存在性、延展性、解对初值的连续性和可微性问题。5、微分方程的定性和稳定性理论

1900年，希尔波特提出的23个问题中的第16个问题之一，至今未解决。4、微分方程的数值解法3、微分方程解析理论由于绝大多数微分方程不能通过求积分得到，而理论上又证明了解的存在性，因此，人们将未知函数（即解）表示成级数形式，并引进特殊函数，如，椭圆函数、阿贝尔函数、贝塞尔函数等，并使微分方程和函数论及复变函数联系起来，产生了微分方程解析理论。§1.1微分方程模型

微分方程:联系着自变量,未知函数及其导数的关系式.

为了定量地研究一些实际问题的变化规律,往往是要对所研究的问题进行适当的简化和假设,建立数学模型,当问题涉及变量的变化率时,该模型就是微分方程,下面通过几个典型的例子来说明建立微分方程模型的过程.例1镭的衰变规律:解例2RLC电路

如图所示的R-L-C电路.它包含电感L,电阻R,电容C及电源e(t).设L,R,C均为常数,e(t)是时间t的已知函数.试求当开关K合上后,电路中电流强度I与时间t之间的关系.

电路的基尔霍夫（Kirchhoff）第二定律:在闭合回路中,所有支路上的电压的代数和为零.

设当开关K合上后,电路中在时刻t的电流强度为I(t),

则电流经过电感L,电阻R和电容的电压降分别为

其中Q为电量.由Kirchhoff第二定律,得到

因为

于是得到这就是电流强度I与时间t所满足的数学关系式.

解英国人口学家马尔萨斯（Malthus）在担任牧师期间，查看了当地教堂100多年人口出生统计资料，发现：人口增长率是一个常数。假设条件：净相对增长率（单位时间内人口的净增长数与人口数之比）为常数

.例3人口模型解

Malthus模型：Logistic模型：例4

传染病模型:长期以来,建立传染病的数学模型来描述传染病的传播过程,一直是各国有关专家和官员关注的课题.人们不能去做传染病传播的试验以获取数据,所以通常主要是依据机理分析的方法建立模型.解:SI模型SIS模型SIR模型例5生物种群模型

意大利生物学家棣安考纳发现某海港在第一次世界大战期间捕鱼量减少而捕获到的捕食鱼占的百分比确急剧增加，为解释这种现象，意大利数学家沃特拉（Volterra）建立了一个关于捕食鱼和被食鱼生长情形的模型。

沃特拉把所有的鱼分为两类：被食鱼与捕食鱼，设t时刻被食鱼的总数为x(t),而捕食鱼的总数为y(t).Volterra

被捕食-捕食模型：Volterra

模型：解例6Lorenz方程

气象学家洛伦茨在美国天气预报中心工作，进行数值天气预报。他在20世纪60年代初开始用数字计算机，曾简化气象方程，最终得到后来被成为混沌（Choas）现象第一例的有名的气象方程——Lorenz方程。

微分方程模型的构造方法：1、从已确定的自然规律（物理、力学知识）出发，考虑主要因素，忽略次要因素，提炼出自变量，未知函数及其导数的关系式，即相应微分方程。2、如果没有直接的已知规律可参考，可应用类比方法，建立模型。3、根据已发现的数据，通过分析数据的相互关系加上合理的逻辑推理，寻找相关规律建立相应的模型。4、还可根据一定的目的，通过反复实验，寻找适合要求的模型。牛顿(1642–1727)伟大的英国数学家,物理学家,天文学家和自然科学家.他在数学上的卓越贡献是创立了微积分.1665年他提出正流数(微分)术

,次年又提出反流数(积分)术,并于1671年完成《流数术与无穷级数》一书(1736年出版).他还著有《自然哲学的数学原理》和《广义算术》等

.莱布尼兹(1646–1716)德国数学家,哲学家.他和牛顿同为微积分的创始人,他在《学艺》杂志上发表的几篇有关微积分学的论文中,有的早于牛顿,所用微积分符号也远远优于牛顿

.他还设计了作乘法的计算机

,系统地阐述二进制计数法

,并把它与中国的八卦联系起来

.(雅各布第一·伯努利)

书中给出的伯努利数在很多地方有用,

伯努利(1654–1705)瑞士数学家,

位数学家.

标和极坐标下的曲率半径公式,

1695年

版了他的巨著《猜度术》,上的一件大事,

而伯努利定理则是大数定律的最早形式.

年提出了著名的伯努利方程,他家祖孙三代出过十多

1694年他首次给出了直角坐

1713年出

这是组合数学与概率论史此外,

他对双纽线,悬链线和对数螺线都有深入的研究.欧拉(1707–1783)瑞士数学家.

他写了大量数学经典著作,如《无穷小分析引论》,《微

还写了大量力学,几何学,变分法