黑龙江省齐齐哈尔市克东县第三中学2023-2024学年九年级上学期开学考试数学试题 【含答案】

数学试卷一、选择题（每题3分，满分30分）1.2的相反数是（）A.2 B.－2 C. D.【答案】B【解析】【详解】2的相反数是-2.故选：B.2.下列运算：①；②；③；④；⑤；其中结果正确的个数为（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】根据同底数幂的乘法运算、幂的乘方运算、积的乘方运算、同底数幂的除法运算及二次根式性质逐个验证即可得到答案．【详解】解：根据同底数幂的乘法运算法则，，①错误，不符合题意；根据幂的乘方运算法则，，②正确，符合题意；根据积的乘方运算法则，，③正确，符合题意；根据同底数幂的除法运算法则，，④错误，不符合题意；根据二次根式性质，，⑤错误，不符合题意；综上所述，正确的是②③，共2个，故选：B．【点睛】本题考查整式的运算及二次根式性质，熟练掌握整式的运算法则及二次根式性质是解决问题的关键．3.下列正方体展开图中，是轴对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】轴对称图形定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，根据定义逐项判定即可得出结论．【详解】解：A、不是轴对称图形，故选项不符合题意；B、不是轴对称图形，故选项不符合题意；C、是轴对称图形，故选项符合题意；D、不是轴对称图形，故选项不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查轴对称图形的定义，熟练掌握轴对称图形的定义是解决问题的关键．4.为增强学生体质，感受中国的传统文化，学校将国家级非物质文化遗产“抖空竹”引入阳光特色大课间，小聪把它抽象成图2的数学问题：已知AB∥CD，∠EAB＝80°，，则∠E的度数是（）A.30° B.40° C.60° D.70°【答案】A【解析】【分析】过点作，先根据平行线的性质可得，再根据平行公理推论、平行线的性质可得，然后根据角的和差即可得．【详解】解：如图，过点作，，，，，，，，，故选：A．【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的性质是解题关键．5.下列说法正确的是（）A.不等式的自然数解有3个 B.同位角相等，两直线平行的逆命题是真命题C.对角线互相垂直的平行四边形是正方形 D.立方根等于本身的数是0【答案】B【解析】【分析】根据一元一次不等式的解法、逆命题、平行线的判定与性质、正方形的判定及立方根性质逐项判定即可得到答案．【详解】解：A、解得，则不等式的自然数解有共4个，该选项说法错误，不符合题意；B、同位角相等，两直线平行的逆命题是两直线平行，同位角相等，是真命题，该选项说法正确，符合题意；C、根据正方形的判定，对角线互相垂直的矩形是正方形，该选项说法错误，不符合题意；D、根据立方根性质，立方根等于本身的数是共3个，该选项说法错误，不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查一元一次不等式的解法、逆命题、平行线的判定与性质、正方形的判定及立方根性质，熟记相关概念及性质是解决问题的关键．6.对于函数，下列结论正确的是（）A.它的图象必经过点 B.它的图象经过第一、二、三象限C.当时， D.y的值随x值的增大而增大【答案】C【解析】【分析】根据一次函数的性质及一次函数图象上点的坐标特点对各选项进行逐一分析即可．【详解】解：A、把代入函数得，，故点不在此函数图象上，故本选项错误，不符合题意；B、函数中，，，则该函数图象经过第一、二、四象限，故本选项错误，不符合题意；C、当时，，则，故本选项正确，符合题意；D、函数中，，则该函数图象值随着值增大而减小，故本选项错误，不符合题意．故选：C．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，掌握一次函数的性质是解题的关键．7.某学习小组的五名同学在一次数学抽测中的成绩分别是94分、98分、90分、94分、74分，则下列结论正确的是（）A.平均分是91 B.中位数是90 C.众数是94 D.方差是74【答案】C【解析】【分析】根据题意，由平均数、中位数、众数及方差的计算方法求出各个统计量后逐项验证即可得到答案．【详解】解：A、平均成绩为（分），该选项错误，不符合题意；B、将成绩按照从小到大排列：74分、90分、94分、94分、98分，中位数为94，该选项错误，不符合题意；C、由分数为94分、98分、90分、94分、74分，可知众数是94，该选项正确，符合题意；D、由A选项求出了平均分为，则方差为，该选项错误，不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查统计综合，熟记相关统计量的求法是解决问题的关键．8.已知关于x的分式方程=1的解是负数，则m的取值范围是（）A.m≤3 B.m≤3且m≠2 C.m＜3 D.m＜3且m≠2【答案】D【解析】【分析】解方程得到方程的解，再根据解为负数得到关于m的不等式结合分式的分母不为零，即可求得m的取值范围.【详解】=1，解得：x=m﹣3，∵关于x的分式方程=1的解是负数，∴m﹣3＜0，解得：m＜3，当x=m﹣3=﹣1时，方程无解，则m≠2，故m的取值范围是：m＜3且m≠2，故选D．【点睛】本题考查了分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法以及分式方程的分母不为零是解题关键．9.为奖励消防演练活动中表现优异的同学，某校决定用1200元购买篮球和排球，其中篮球每个120元，排球每个90元，在购买资金恰好用尽的情况下，购买方案有（）A.4种 B.3种 C.2种 D.1种【答案】B【解析】【详解】【分析】设购买篮球x个，排球y个，根据“购买篮球的总钱数+购买排球的总钱数=1200”列出关于x、y的方程，由x、y均为非负整数即可得．【详解】设购买篮球x个，排球y个，根据题意可得120x+90y=1200，则y=，∵x、y均为正整数，∴x=1、y=12或x=4、y=8或x=7、y=4，所以购买资金恰好用尽的情况下，购买方案有3种，故选B．【点睛】本题考查二元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，依据相等关系列出方程．10.甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行2400米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离y（米）与甲出发的时间t（分）之间的关系如图所示，下列结论：①甲步行的速度为60米/分；②乙走完全程用了34分钟；③乙用16分钟追上甲；④乙到达终点时，甲离终点还有300米．其中正确的结论有（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【答案】A【解析】【分析】根据题意和函数图象中得数据逐一判断即可．【详解】解：由题意得：甲步行的速度为：（米/分），故①正确；设乙的速度为米/分，由题意得：，解得：，乙的速度为：米/分，乙走完全程的时间为：（分），故②错误；由图得：乙追上甲的时间为：（分），故③错误；乙到达终点时，甲离终点的距离为：（米），故④错误，则正确的个数为1个，故选A．【点睛】本题考查了一次函数的应用，明确题意，从函数图象中获取信息是解题的关键．二、填空题（每题3分，满分30分）11.我国研制的曙光3000超级服务器排在全世界运算速度最快的500台高性能计算机的第80位，它的峰值速度达到每秒403200000000次，用科学记数法表示它的峰值计算速度为每秒_____次．【答案】【解析】【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．【详解】解：，故答案为：．【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．12.函数中，自变量的取值范围是______．【答案】且【解析】【分析】根据分式的分母不能为0、二次根式的定义即可得．【详解】由题意得：，解得且，故答案为：且．【点睛】本题考查了求函数自变量的取值范围、分式的分母不能为0、二次根式的定义，熟练掌握分式和二次根式的定义是解题关键．13.如图，在平行四边形中，添加一个条件_______使平行四边形是菱形．【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】在平行四边形的基础上，邻边相等或对角线互相垂直均可判定．【详解】解：在平行四边形的基础上①∵一组邻边相等的平行四边形是菱形，∴平行四边形中，只需添一个条件：邻边；②∵对角线互相垂直的平行四边形是菱形，∴平行四边形中，只需添一个条件：．故可添加：或等故答案为：（答案不唯一）．

【点睛】本题主要考查的是平行四边形和菱形的判定定理．但需要注意的是本题的知识点是关于平行四边形、菱形之间的关系．14.已知|x﹣2y|+（y﹣2）2＝0，则xy＝__．【答案】16【解析】【分析】利用平方和绝对值的非负性，可求出x＝4，y＝2，即可求解．【详解】解：根据题意得，x﹣2y＝0，y﹣2＝0，解得x＝4，y＝2，所以，xy＝42＝16．故答案为：16．【点睛】本题主要考查了平方和绝对值的非负性，乘方运算，准确得出x＝4，y＝2是解题的关键．15.如图：函数y=2x和y=ax+4的图象交于点A（m，2），不等式2x＜ax+4的解集为_____．【答案】x＜1【解析】【详解】解：∵函数y=2x过点A（m，2），∴2m=2，解得：m=1，∴A（1，2），∴不等式2x＜ax+4的解集为x＜1．故答案为x＜1．16.如图，O是坐标原点，菱形OABC顶点A的坐标为，顶点C在x轴的正半轴上，则的角平分线所在直线的函数关系式为______．【答案】【解析】【分析】延长BA交y轴于D，则BD⊥y轴，依据点A的坐标为（3，4），即可得出B（8，4），再根据∠AOC的角平分线所在直线经过点B，即可得到函数关系式．【详解】如图所示，延长BA交y轴于D，则BD⊥y轴．∵点A的坐标为（3，4），∴AD=3，OD=4，∴AO=AB=5，∴BD=3+5=8，∴B（8，4）．设∠AOC的角平分线所在直线的函数关系式为y=kx．∵菱形OABC中，∠AOC的角平分线所在直线经过点B，∴4=8k，即k，∴∠AOC的角平分线所在直线的函数关系式为yx．故答案为yx．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及菱形的性质的运用，正确得出B点坐标是解题的关键．17.如图，四边形ABCD中，AB＝AD，AC＝5，∠DAB＝∠DCB＝90°，则四边形ABCD的面积为_____．【答案】12.5【解析】【分析】过A作AE⊥AC，交CB的延长线于E，判定△ACD≌△AEB，即可得到△ACE是等腰直角三角形，四边形ABCD的面积与△ACE的面积相等，根据S△ACE=×5×5=12.5，即可得出结论．【详解】如图，过A作AE⊥AC，交CB的延长线于E，∵∠DAB=∠DCB=90°，∴∠D+∠ABC=180°=∠ABE+∠ABC，∴∠D=∠ABE，又∵∠DAB=∠CAE=90°，∴∠CAD=∠EAB，又∵AD=AB，∴△ACD≌△AEB（ASA），∴AC=AE，即△ACE是等腰直角三角形，∴四边形ABCD的面积与△ACE的面积相等，∵S△ACE=×5×5=12.5，∴四边形ABCD的面积为12.5，故答案为12.5．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题18.已知△ABC中，AB=10，AC=2，∠B=30°，则△ABC的面积等于_____．【答案】15或10【解析】【分析】作AD⊥BC交BC（或BC延长线）于点D，分AB、AC位于AD异侧和同侧两种情况，先在Rt△ABD中求得AD、BD的值，再在Rt△ACD中利用勾股定理求得CD的长，继而就两种情况分别求出BC的长，根据三角形的面积公式求解可得．【详解】解：作AD⊥BC交BC（或BC延长线）于点D，①如图1，当AB、AC位于AD异侧时，在Rt△ABD中，∵∠B=30°，AB=10，∴AD=ABsinB=5，BD=ABcosB=5，在Rt△ACD中，∵AC=2，∴CD=，则BC=BD+CD=6，∴S△ABC=•BC•AD=×6×5=15；②如图2，当AB、AC在AD的同侧时，由①知，BD=5，CD=，则BC=BD-CD=4，∴S△ABC=•BC•AD=×4×5=10．综上，△ABC的面积是15或10，故答案为15或10．【点睛】本题主要考查解直角三角形，解题的关键是熟练掌握三角函数的运用、分类讨论思想的运算及勾股定理．19.如图，△ABC的周长为26，点D、

E都在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为Q，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为P．若BC=10，则PQ的长是_________．【答案】3【解析】【分析】首先根据角平分线的性质得出△BAE和△CAD是等腰三角形，再根据中位线的性质即可得出PQ．【详解】∵BQ平分∠ABC，BQ⊥AE，∴△BAE是等腰三角形．同理△CAD是等腰三角形．∴点Q是AE中点，点P是AD中点（三线合一），∴PQ是△ADE的中位线．∵BE+CD=AB+AC=26﹣BC=26﹣10=16，∴DE=BE+CD﹣BC=6，∴PQ=DE=3．故答案为：3．【点睛】此题主要考查等腰三角形的判定和性质以及角平分线和中位线的性质，熟练掌握，即可解题．20.如图，等边三角形的一边在x轴上，且，当沿直线l平移，使一边与直线l重合得到，，．．．．．．则点的坐标是_____．【答案】【解析】【分析】过作，垂足为C，解等边三角形求出，，得出，同理依次得出，，，继而得到规律，可得结果．【详解】解：如图，过作，垂足为C，∵是等边三角形，，∴，，∴，∴，同理可得：，，，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，点坐标规律，平移的性质，解题的关键是找到相应点的坐标变化规律．三、解答题（满分60分）21.（1）计算：；（2）因式分解：．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据零指数幂、负整数指数幂、去绝对值、积的乘方运算的逆运算与平方差公式先分别化简，再由二次根式加减运算求解即可得到答案；（2）根据提公因式法和平方差公式因式分解即可得到答案．【详解】解：（1）；（2）．【点睛】本题考查实数混合运算及因式分解，熟练掌握零指数幂、负整数指数幂、去绝对值、积乘方运算的逆运算、平方差公式、二次根式加减运算及提公因式法和平方差公式因式分解是解决问题的关键．22.解不等式组，并把不等式组的解集表示在数轴上．【答案】，画数轴见解析【解析】【分析】根据一元一次不等式组的解法，分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了，确定不等式组的解集，最后在数轴上表示即可得到答案．【详解】解：由①得：，由②得：，不等式组的解集为，在数轴上表示不等式组的解集如图所示：．【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组及在数轴上表示，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小无解了的原则是解答此题的关键．23.先将化简，然后请从中选一个适当的数作为，再求值．【答案】，当时，原式=【解析】【分析】根据分式的混合运算法则先化简，再由分式有意义的条件，选取恰当的数代值求解即可得到答案．【详解】解：由分式有意义的条件可知，不能等于，则取，原式．【点睛】本题考查分式化简求值，熟练掌握分式混合运算法则及分式有意义的条件是解决问题的关键．24.如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，已知三个顶点坐标分别为．（1）画出关于y轴对称的，点A，B，C的对称点分别是点，直接写出点的坐标：（，），（，）（，）；（2）在x轴上求一点D，连接使得的值最小，则点D的坐标为．【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）先画出点A，B，C的关于y轴的对称点，再顺次连接，进而可得出相应的点的坐标；（2）作点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点D，则此时的长最小，最小为的长，然后利用待定系数法求出直线的解析式，再求出点D的坐标即可．【小问1详解】如图所示，的坐标为；故答案为：；【小问2详解】作点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点D，则此时的长最小，最小为的长，∵，∴设直线的解析式为，则，解得：，∴直线的解析式为，当时，，解得，∴点D的坐标为；故答案为：．【点睛】本题考查了轴对称作图、待定系数法求一次函数的解析式以及利用轴对称的性质求两条线段和的最小值，属于常考题型，熟练掌握上述知识是解题的关键．25.为了加快适应中考理化实验操作考查，我校对九年级学生的理化实验操作进行一次模拟测试，现随机抽查了若干名同学实验操作的得分，根据获取的样本数据，制作了如下的条形统计图和扇形统计图．请根据相关信息，解答下列问题：（1）此次抽取_____名学生，并把条形统计图补充完整；（2）此样本平均成绩为分；（3）扇形①的圆心角度数为；（4）如果九年级有名学生参加这次测试，估计该校理化实验操作得满分（分）有多少人．【答案】（1）统计图见解析（2）（3）（4）该校理化实验操作得满分的同学有名．【解析】【分析】（1）根据得分为分的学生人数及其所占的比例即可求得样本的数量，进而可求得得分为分的学生人数．（2）根据平均数的定义求解即可．（3）扇形①表示得分为分的学生人数所占的比例，根据圆心角所占比例即可求得答案．（4）可用样本中理化实验操作得满分的比例表示九年级全体学生理化实验操作得满分的比例．【小问1详解】(名)．得分为分的学生人数为(名)．补全图如下，故答案为：【小问2详解】(分)．故答案为：．【小问3详解】扇形①表示得分为分的学生人数所占的比例，则圆心角．故答案为：．【小问4详解】可用样本中理化实验操作得满分的比例表示九年级全体学生理化实验操作得满分的比例，可得(名)．答：该校理化实验操作得满分的同学有名．【点睛】本题主要考查统计调查，综合分析条形统计图和扇形统计图获取信息是解题的关键．26.综合与实践如图①，四边形是正方形，是边上一点，，且交正方形外角平分线于点，求证（不需要证明），对于本题，我们常用的思路是在上截取，如图⑦构造全等三角形进行证明．小明通过深度研究，又总结出了以下三种思路：思路一：如图②，在的延长线上截取，使连接，利用全等三角形和特殊四边形，转化得到线段之间的数量关系，获证．思路二：如图③，连接，过点作于点，，交的延长线于点，利用全等三角形，获证．思路三：如图④，连接，过点作，交于点，利用全等三角形，获证．【进一步探究】小明继续对这道题目进行了改编，请完成下面改编题目的解答．四边形是正方形，是直线上一点，交正方形外角平分线于点．（1）如图⑥，若点在边上，，则的度数为______；（2）如图⑤，若点在边的延长线上，，线段与线段存在怎样的数量关系？并加以证明；（3）如图⑧，四边形是正方形，是边上一点，，且交正方形外角平分线于点，过作垂直交的延长线与，，，则的长为_______．【答案】（1）（2），理由见解析．（3）【解析】【分析】（1）连接，过点作于点，，交的延长线于点，在线段的延长线上任取一点，先证得四边形为正方形，进而可证明，即可求得答案．（2）延长至点，使，连接，可证得，，进而可证得．（3）在线段上取一点，使，过点作，交于点，过点作，交的延长线于点，可证得，进而证得，根据，即可求得答案．小问1详解】如图所示，连接，过点作于点，，交的延长线于点，在线段的延长线上任取一点．∵平分，∴．∴．又，∴．又，∴四边形为矩形．∵，∴．∴．∴四边形为正方形．∴．在和中∴．∴．又，，∴．故答案为：．小问2详解】，理由如下：如图所示，延长至点，使，连接．根据题意可知，∴．又，，，∴．∵，，，，∴．∴．∵平分，∴．∴．在和中∴．∴．【小问3详解】如图所示，在线段上取一点，使，过点作，交于点，过点作，交的延长线于点．根据题意可知，．∵，，∴．∵，，∴．∵，，∴．∴．∵平分，∴．∴．∴．在和中∴．∴．∵