福建省部分名校2023-2024学年高二上学期入学联考数学试题【含答案】

新学期高二开学检测数学注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第二册，选择性必修第一册1.1-1.3．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若复数，则的实部为（）A.13 B.11 C. D.1【答案】A【解析】【分析】利用复数的乘法运算与复数的概念即可得解.【详解】因为，所以的实部为13．故选：A.2.在空间直角坐标系中，点在坐标平面内的射影为点B，则B的坐标为（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用空间直角坐标系定义即可求得点在坐标平面内的射影点的坐标.【详解】在空间直角坐标系中，点在坐标平面内的射影为点故选：B3.某学校为了解学生对乒乓球、羽毛球运动的喜爱程度，用按比例分配的分层随机抽样法从高一、高二、高三年级所有学生中抽取部分学生做抽样调查，已知该学校高一、高二、高三年级学生人数的比例如图所示，若抽取的样本中高三年级的学生有45人，则样本容量为（）A.125 B.100 C.150 D.120【答案】A【解析】【分析】根据分层抽样的抽取比例相同运算求解.【详解】由图可知高三年级学生人数占总人数的，抽取的样本中高三年级的学生有45人，所以样本容量为．故选：A.4.抛掷一枚质地均匀的骰子1次，事件A表示“掷出的点数大于2”，则与A互斥且不对立的事件是（）．A.掷出的点数为偶数 B.掷出的点数为奇数C.掷出的点数小于2 D.掷出的点数小于3【答案】C【解析】【分析】根据已知写出对应事件的基本事件，根据互斥、对立概念判断各项与事件A的关系.【详解】由题意，，而事件，“掷出的点数为偶数”对应基本事件有，与A不互斥，“掷出的点数为奇数”对应基本事件有，与A不互斥，“掷出点数小于2”对应基本事件有，与A互斥且不对立，“掷出点数小于3”对应基本事件有，与A对立．故选：C5.若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（）A.，， B.，，C.，， D.，，【答案】C【解析】【分析】若向量共面，利用空间向量基本定理建立方程组，方程组有解.若无解则不共面.【详解】已知构成空间的一个基底，不共面，则，不共线.选项A，若向量共面，由平面向量基本定理得，存在唯一有序数对，使，则，则由空间向量基本定理得，，方程组无解.所以不共面．选项B，若向量共面，由平面向量基本定理得，存在唯一有序数对，使，则，则由空间向量基本定理得，，方程组无解.所以不共面．选项C，若向量共面，由平面向量基本定理得，存在唯一有序数对，使，则，则由空间向量基本定理得，解得，，即：，所以共面．选项D，若向量共面，由平面向量基本定理得，存在唯一有序数对，使，则，则由空间向量基本定理得，，方程组无解.所以不共面．故选：C.6.已知某圆台的上底面和下底面的面积分别为，母线长为2，则该圆台的体积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】借助圆台轴截面梯形性质求解圆台的高，再应用体积公式求解即可.【详解】因为圆台的上底面和下底面的面积分别为，所以该圆台上底面和下底面的半径分别为，所以该圆台的高为，故该圆台的体积.故选：C.7.若数据的平均数为10，则新数据的平均数为（）A.11 B.12 C.13 D.14【答案】B【解析】【分析】根据平均数公式结合已知条件求解即可【详解】因为数据的平均数为10，所以，所以新数据的平均数为．故选：B8.在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据平行关系和异面直线所成角定义可知所求角，根据长度关系，利用余弦定理可求得结果.【详解】连接，，，四边形为平行四边形，，异面直线与所成角即为直线与所成角，即（或其补角）；，，，，即异面直线与所成角的余弦值为.故选：C.二、选择题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知向量，，，，则（）A. B.C. D.在上的投影向量为【答案】AC【解析】【分析】利用平面向量加法的坐标运算可判断A选项；利用平面向量垂直的坐标表示求出的值，利用平面向量减法的坐标运算可判断B选项；求出的坐标，利用平面向量模长的坐标运算可判断C选项；利用投影向量的定义可判断D选项.【详解】对于A选项，，A正确；对于B选项，因为，所以，则，所以，B错误；对于C选项，因为，所以，C正确；对于D选项，在上的投影向量为，D错误．故选：AC.10.已知甲、乙、丙、丁四组（每组均含100个数据）数据的方差分别为6.7，8.9，3.6，5.5，关于这四组数据的波动性，下列判断正确的是（）A.乙组数据的波动性最大 B.丙组数据的波动性最大C.乙组数据的波动性最小 D.丙组数据的波动性最小【答案】AD【解析】【分析】根据方差的性质结合已知条件分析判断【详解】数据的方差越大，数据的波动性越大；数据的方差越小，数据的波动性越小．因为，所以乙组数据的波动性最大，丙组数据的波动性最小．故选：AD11.分别为内角的对边．已知，则的值可能为（）A. B. C. D.【答案】BCD【解析】【分析】根据余弦定理以及基本不等式求得正确答案.【详解】由余弦定理得．当且仅当时等号成立，所以BCD选项正确，A选项错误.故选：BCD12.已知一个正八面体如图所示，，则（）A.平面 B.点到平面的距离为1C.异面直线与所成的角为 D.四棱锥外接球的表面积为【答案】ABD【解析】【分析】根据线面平行的判定、异面直线的夹角、外接球等知识点逐项判断即可；【详解】将正八面体置于一个正方体中，如图所示，该正八面体的顶点为正方体六个面的中心，，则正方体的边长为2，由图可知，，因为平面平面，所以平面，A正确．连接，由图可知，点到平面的距离为，B正确．由图可知，，则直线与所成角即与所成角，因为为正三角形，所以，C错误．四棱锥外接球的球心为正方形的中心，所以外接球的半径为1，故四棱锥外接球表面积为，D正确．故选：ABD.【点睛】关键点睛：将正八面体放到正方体中是本题的突破点，然后根据线面平行的判定、异面直线的夹角、外接球等知识点逐项判断.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．13.截至2021年末，福建省南平市辖2个市辖区、3个县级市、5个县，南平市总面积为2.63万平方公里，其中的5个县为顺昌县、浦城县、光泽县、松溪县、政和县，它们的面积（单位：平方公里）分别为1991.95，3374.73，2232.17，1040.25，1735.01，则这5个县的面积的分位数为________平方公里．【答案】【解析】【分析】将数据从小到大排列，结合百分位数的定义和计算方法，即可求解.【详解】将这5个数据按照从小到大的顺序排列为，，，，，因为，所以这5个县的面积的分位数为平方公里．故答案为：.14.已知复数满足，则______．【答案】【解析】【分析】设复数，即可根据复数相等的充要条件列方程求解.【详解】设（，），则，所以得故．故答案为：15.在空间直角坐标系中，，若四边形为平行四边形，则________．【答案】【解析】【分析】根据平行四边形得出向量相等计算即可.

【详解】，因为四边形为平行四边形，所以，所以，故答案为：．16.已知函数，若从集合中随机选取一个元素，则函数恰有7个零点的概率是________．【答案】【解析】【分析】由，得，由，得，画出的图象结合，且，分情况求解即可.【详解】由，得，当时，的最小值为．由，得，即，因为，所以．而，当时，方程的实数解的个数分别为3，3，2；当时，方程的实数解的个数分别为3，2，2；当时，方程，的实数解的个数均为2．所以当时，函数恰有7个零点，故所求概率为．故答案为：【点睛】关键点点睛：此题考查函数与方程的综合应用，考查分段函数的性质的应用，解题的关键是画出函数图象，结合图象求解即可，考查数形结合的思想，属于较难题.四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.如图，在底面为菱形的四棱锥中，底面，为的中点，且，，以为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．（1）写出四点的坐标；（2）求．【答案】（1），，，（2）【解析】【分析】（1）根据为正三角形，由，结合空间直角坐标系中坐标的写法，即可求解；（2）利用空间向量的夹角公式，即可求解.【小问1详解】解：由题意，可得为正三角形，因为，所以，以为坐标原点，所在的直线分别为的方向为轴、轴和轴建立的空间直角坐标系，可得．【小问2详解】解：由（1）可得，所以.18.分别为内角的对边，已知．（1）求；（2）若，，求的面积．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理将已知等式统一成角的形式，化简后可求得结果，（2）利用余弦定理求出，再利用三角形的面积公式可求得结果.【小问1详解】因为，所以，即，又，所以．【小问2详解】由余弦定理得，即，解得或（舍去）．因为，，所以，所以的面积．19.在如图所示的斜三棱柱中，．（1）设，，，用表示；（2）若，，求的长．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）根据向量运算的几何表示求解；（2）根据向量模的公式及数量积运算求解.【小问1详解】在三棱柱中，侧面为平行四边形，所以，则．【小问2详解】依题意可得，则，所以长为．20.小晟统计了他6月份的手机通话明细清单，发现自己该月共通话100次，小晟将这100次通话的通话时间（单位：分钟）按照，，，，，分成6组，画出的频率分布直方图如图所示．（1）求a的值；（2）求通话时间在区间内的通话次数；（3）试估计小晟这100次通话的平均时间（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）．【答案】（1）（2）40（3）7.28分钟【解析】【分析】（1）根据频率之和为列方程来求得.（2）先求得通话时间在区间内的频率，从而求得通话时间在区间内的通话次数.（3）根据频率分布直方图求得平均数的求法求得正确答案.【小问1详解】由，得．【小问2详解】因为通话时间在区间内的频率为，所以通话时间在区间内的通话次数为．【小问3详解】这100次通话的平均时间的估计值为:分钟．21.投壶是从先秦延续至清末的汉民族传统礼仪和宴饮游戏，假设甲、乙、丙、丁是四位投壶游戏参与者，且甲、乙、丙每次投壶时，投中与不投中的机会是均等的，丁每次投壶时，投中的概率为．甲、乙、丙、丁每人每次投壶是否投中相互独立，互不影响．（1）若甲、乙、丙、丁每人各投壶1次，求只有一人投中的概率；（2）甲、丁进行投壶比赛，若甲、丁每人各投壶2次，投中次数多者获胜，求丁获胜的概率.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据独立事件乘法公式计算即可；（2）分情况根据独立重复事件公式计算即可.【小问1详解】将甲、乙、丙、丁各自在一次投壶中投中分别记为事件，则．设只有一人投中为事件，则．【小问2详解】若甲投中0次，则丁至少投中1次；若甲投中1次，则丁投中2次．设丁获胜为事件，则．22.如图，在四棱锥中，，，，，平面，分别为的中点．（1）证明：平面平面；（2）设与平面交于点，作出点（说明作法），并求的长．【答案】（1）证明见解析（2）作图及作法见解析，【解析】【